すべての次数までの摂動論

参考文献：Mark Srednicki. "Quantum Field Theory". Cambridge University Press. 2006.

前回，一般に，すべてのLagrangian係数が正またはゼロの質量次元を持つ場合，その理論はくりこみ可能であることを示した．ここでは，6次元の$\varphi^3$理論を例にとり，$\varphi^3$結合定数$g$の任意の高次まで，散乱振幅の有限な表式をどのように構成するかを見ていく．

まず，外部線が2本のすべての1粒子既約（1PI）ダイアグラムを合計する．これにより自己エネルギー$\Pi(k^2)$が得られる．次に，外部線が3本のすべての1PIダイアグラムを合計する．これにより3点頂点関数$\bm{V}_3(k_1, k_2, k_3)$が得られる．摂動次数ごとに，Lagrangianの係数$Z_\varphi$，$Z_m$，$Z_g$の値を調整し，$\Pi(-m^2) = 0$，$\Pi'(-m^2) = 0$，および$\bm{V}_3(0, 0, 0) = g$という条件を維持する．

次に，$n$点頂点関数 $\bm{V}_n(k_1, \ldots, k_n)$（$4 \leq n \leq E$，ここで $E$ は関心のある過程の外部線の本数）を構成する．これらはスケルトン展開（skeleton expansion）を用いて計算する．すなわち，寄与するすべての1PIダイアグラムを描くが，プロパゲーターや3点頂点の補正を含むダイアグラムは除外する．つまり，1PIであるだけでなく，2PIおよび3PI（任意の1本，2本，3本の線を切っても連結なまま）でもあるダイアグラムのみを含める（3本切ることで単一の木構造頂点が孤立する場合はあるが，それ以上複雑なものはない）．そして，これらのダイアグラム内のプロパゲーターや頂点には，ツリー準位のプロパゲーター $\tilde{\Delta}(k^2) = (k^2 + m^2)^{-1}$ や頂点 $g$ ではなく，厳密なプロパゲーター $\tilde{\Delta}(k^2) = (k^2 + m^2 - \Pi(k^2))^{-1}$ および頂点 $\bm{V}_3(k_1, k_2, k_3)$ を用いる．これらのスケルトンダイアグラムを合計することで，$4 \leq n \leq E$ の $\bm{V}_n$ を得る．$g$ の各次数ごとに，この手順は通常の1PIダイアグラムの和を取る方法と同値である．

次に，関心のある過程（外部線の本数が $E$ 本）に寄与するすべてのツリー準位ダイアグラムを描く．ここでは3点頂点だけでなく，$n=3,4,\ldots,E$ の$n$点頂点も含める．これらのダイアグラムを評価する際，内部線にはexactなプロパゲーター $\tilde{\Delta}(k^2)$ を，頂点には厳密な1PI頂点関数 $\bm{V}_n$ を用いる．外部線には1の因子を割り当てる[1]．これらのツリーダイアグラムを合計することで散乱振幅が得られる．ループ補正はすでに $\tilde{\Delta}(k^2)$ および $\bm{V}_n$ に組み込まれている．$g$ の各次数ごとに，この手順は通常の寄与ダイアグラムを合計して散乱振幅を計算する方法と同値である．

以上のようにして，任意の高次まで任意の散乱振幅を計算する方法が分かった．この手順はどの量子場理論でも同様であり，異なるのは場のスピンに応じてプロパゲーターや頂点の形が変わる点だけである．

最後のステップで現れるツリー準位ダイアグラムは，量子作用（または有効作用，量子有効作用）$\Gamma(\varphi)$のFeynmanダイアグラムとみなすことができる．有効作用$\Gamma(\varphi)$と，ソース付きの連結ダイアグラムの和$iW(J)$の間には，簡単で興味深い関係がある．この関係については後で導出する．