その他の1PI頂点

参考文献：Mark Srednicki. "Quantum Field Theory". Cambridge University Press. 2006.

前回，3点頂点関数 $i\bm{V}_3(k_1, k_2, k_3)$ を，外部伝播関数を除いた三本の外線を持つ全ての1粒子既約図の和として定義した．この定義は，$n$本の外線を持つ頂点 $i\bm{V}_n(k_1, \ldots, k_n)$ にも拡張できる．

$\phi^3$理論における $\bm{V}_{n>3}$ と $\bm{V}_3$ には2つの重要な違いがある．第一に，$\bm{V}_{n>3}$ にはtree-levelの寄与が存在しない．第二に，$\bm{V}_{n>3}$ の1ループ寄与は $d < 2n$ の場合有限である．特に，$d = 6$ のとき $V_{n>3}$ の1ループ寄与は有限となる．

（図を挿入）

この仕組みを $n=4$ の場合で見てみよう．すべての外部運動量を入射とし，$k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 0$ とする．寄与する1ループ図のうち1つは上に示されており，この図では $k_3$ の頂点が $k_1$ の頂点の反対側にある．他に $k_3 \leftrightarrow k_2$ および $k_3 \leftrightarrow k_4$ の入れ替えによる2つの同値でない図がある．これらを合わせて \begin{align} i\bm{V}_4=&g^4\int\frac{d^6k}{(2\pi)^6}\tilde{\Delta}((l-k_1)^2)\tilde{\Delta}((l+k_2+k_3)^2)\tilde{\Delta}(l^2) \\ &+(k_3 \leftrightarrow k_2) + (k_3 \leftrightarrow k_4) + \mathcal{O}(g^6) \end{align} となる．Feynmanの公式を使うと \begin{align} &\tilde{\Delta}((l-k_1)^2)\tilde{\Delta}((l+k_2)^2)\tilde{\Delta}((l+k_2+k_3)^2)\tilde{\Delta}(l^2) \\ =& \int dF_4\bigg[ x_1(l-k_1)^2+x_2(l+k_2)^2+x_3(l+k_2+k_3)^2+x_4l^2+m^2 \bigg]^{-4} \\ =& \int dF_4 [q^2+D_{1234}]^{-4} \end{align} ここで $q = \ell - x_1k_1 + x_2k_2 + x_3(k_2+k_3)$ であり，$x_1+x_2+x_3+x_4 = 1$ および $k_1+k_2+k_3+k_4 = 0$ を繰り返し使うと \begin{align} D_{1234} =& x_1x_4k_1^2+x_2x_4k_2^2+x_2x_3k_3^2+x_1x_3k_4^2 \\ &+ x_1x_2(k_1+k_2)^2+x_3x_4(k_2+k_3)^2+m^2 \end{align} $q$ の積分は $d < 8$ の場合有限であり，特に $d = 6$ で有限となる．$q_0$ のWick回転と一般公式を適用すると $$ \int\frac{d^6q}{(2\pi)^6}\,\frac{1}{(q^2+D)^4}=\frac{i}{6(4\pi)^3D} $$ となる．したがって $$ \bm{V}_4=\frac{g^4}{6(4\pi)^3}\int dF_4 \bigg(\frac{1}{D_{1234}}+ \frac{1}{D_{1324}}+ \frac{1}{D_{1243}} \bigg) + \mathcal{O}(g^6) $$ この式は有限かつwell-definedであり，$n>3$ のすべての $\bm{V}_n$ の1ループの寄与についても同様である．