Dirac方程式
参考文献：David Tong. Quantum Field Theory. 2007
Lorentz変換$x^{\mu} \to (x')^{\mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu}$の下で，場は次のように変換される： $$ \phi(x) \to \phi'(x)= \phi(\Lambda^{-1}x) $$ このような場の量子化によりスピン0粒子が生じる．しかし，自然界のほとんどの粒子は固有の角運動量，つまりスピンを持っています．これらは場の理論において，Lorentz群の下で非自明に変換する場を考えることで自然に現れる．ここでは，Dirac方程式について説明する．この方程式の量子化により，フェルミオンであるスピン1/2粒子が生じる．Dirac方程式を動機付けるために，まずLorentz群の適切な表現を研究することから始める．
一般に，場は次のように変換される： $$ \phi^a(x) \to D[\Lambda]^{a}{}_{b} \phi^b(\Lambda^{-1}x) $$ ここで，行列$D[\Lambda]$はLorentz群の表現である： $$ D[\Lambda_1] D[\Lambda_2]=D[\Lambda_1 \Lambda_2] $$ 逆元は$D[\Lambda^{-1}] = D[\Lambda]^{-1}$，単位元は$D[1] = 1$である．具体的な表現を見つける方法は，通常，Lorentz群の無限小変換を調べ，その結果として得られる扱いやすいLie代数を研究することである．無限小Lorentz変換は次のように書ける： $$ \Lambda^{\mu}{}_{\nu} = \delta^{\mu}{}_{\nu} + \omega^{\mu}{}_{\nu} $$ 無限小$\omega$に対して，Lorentz変換の条件$\Lambda^{\mu}{}_{\rho} \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} \eta^{\rho\sigma} = \eta^{\mu\nu}$は$\omega$が反対称である必要があるという条件になる： $$ \omega^{\mu}{}_{\nu} = -\omega^{\nu}{}_{\mu} $$ 反対称な$4 \times 4$行列は$6$個の独立した成分を持ち，これはLorentz群の6つの変換（3つの回転と3つのブースト）に対応している．これらの6つの$4 \times 4$反対称行列を生成する（抽象的な）Lie代数の基底を導入するのが便利である： $$ (\mathcal{M}^{\rho\sigma})^{\mu\nu} = \eta^{\rho\mu}\eta^{\sigma\nu} - \eta^{\sigma\mu}\eta^{\rho\nu} $$ 実際にこれらの行列を使用する場合，通常は1つの添え字を下げる必要がある： $$ (\mathcal{M}^{\rho\sigma})_{\mu\nu} = \eta^{\rho\mu}\delta^{\sigma}_{\nu} - \eta^{\sigma\mu}\delta^{\rho}_{\nu} $$ これにより，負符号が生じ，行列は必ずしも反対称ではなくなる．これらの基底の例として， $$ (\mathcal{M}^{01})^{\mu}{}_{\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad (\mathcal{M}^{12})^{\mu}{}_{\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ がある．最初の行列$M^{01}$は$x^1$方向のブーストを生成する．これは実数で対称である．2番目の行列$M^{12}$は$(x^1, x^2)$平面での回転を生成する．これは実数で反対称である．任意の$\omega^{\mu}{}_{\nu}$は次のように表現される： $$ \omega^{\mu}{}_{\nu} = \frac{1}{2} \Omega_{\rho\sigma} (\mathcal{M}^{\rho\sigma})^{\mu}{}_{\nu} $$ ここで$\Omega_{\rho\sigma}$は生成子の各係数（添え字が反対称）で，どのようなLorentz変換を生成するかを示す．生成子は次のLorentz Lie代数を定めている： $$ [\mathcal{M}^{\rho\sigma}, \mathcal{M}^{\tau\nu}] = \eta^{\sigma\tau} \mathcal{M}^{\rho\nu} - \eta^{\rho\tau} \mathcal{M}^{\sigma\nu} + \eta^{\rho\nu} \mathcal{M}^{\sigma\tau} - \eta^{\sigma\nu} \mathcal{M}^{\rho\tau} $$ 有限Lorentz変換は次の指数関数として表現できる： $$ \Lambda = \exp\left(\frac{1}{2} \Omega_{\rho\sigma} \mathcal{M}^{\rho\sigma}\right) $$
目次
スピノール表現
Lorentz代数の交換関係を満たす他の行列を見つける．ここではスピノール表現を構成する．そのために，まず一見Lorentz群とは関係なさそうなものを定義する： $$ \{\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}\} = 2\eta^{\mu\nu} \mathbb{1} $$ これをClifford代数と呼ぶ．ここで$\gamma^{\mu}$（$\mu=0,1,2,3$）は4つの行列であり，右辺の$1$は単位行列を表す．つまり，4つの行列$\gamma^{\mu}$を見つける必要があり，これらは $$ \gamma^{\mu}\gamma^{\nu}=-\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}\quad (\mu \neq \nu) $$ および $$ (\gamma^0)^2=1, \quad (\gamma^i)^2=-1 \quad (i=1,2,3) $$ を満たさなければならない．$2\times 2$や$3\times 3$行列ではClifford代数の表現は存在しない．最も単純なClifford代数の表現は$4\times 4$行列によるもので，反交換関係を満たすものは多数ある．例えば次のように取ることができる： $$ \gamma^0=\begin{pmatrix} \bm{0} & \bm{1} \\ \bm{1} & \bm{0} \end{pmatrix}, \quad \gamma^i=\begin{pmatrix} \bm{0} & \sigma^i \\ -\sigma^i & \bm{0} \end{pmatrix} $$ ここで各要素は$2\times 2$行列であり，$\sigma^i$はPauli行列である： $$ \sigma^1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^2=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ これらPauli行列自身もLie代数$\{\sigma^i, \sigma^j\} = 2\delta^{ij}$を成している．
Clifford代数の他の多くの表現は，任意の可逆行列$V$に対して$V \gamma^\mu V^{-1}$の形で構成できる．これらは同値な表現と呼ばれ基底の取り方を変えただけの同じ表現である．実は，Clifford代数の既約表現は本質的に一意である．上の基底での行列表現はその一例であり，これはWeyl表示またはカイラル表示（名称の由来は後で分かる）として知られている．今後は同値な表現のクラスを制限し，カイラル表示とユニタリ変換$V$で関係付けられるユニタリ同値なClifford代数の表示のみを考えることにする．
では，Clifford代数はLorentz群とどのような関係があるのだろうか？2つの$\gamma^{\mu}$の交換子を考えてみよう： $$ S^{\rho\sigma}=\frac{1}{4}[\gamma^{\rho}, \gamma^{\sigma}]=\frac{1}{2}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma} - \frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma} $$ これらの行列がどのような性質を持つか見てみよう：
ガンマ行列の性質1
$$ [S^{\mu\nu},\gamma^{\rho}]=\gamma^{\mu}\eta^{\nu\rho} - \gamma^{\nu}\eta^{\mu\rho} $$
ガンマ行列の性質2
行列$S^{\mu\nu}$はLorentz代数の表現を成す： $$ [S^{\mu\nu}, S^{\rho\sigma}] = \eta^{\nu\rho} S^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho} S^{\nu\sigma} + \eta^{\mu\sigma} S^{\nu\rho} - \eta^{\nu\sigma} S^{\mu\rho} $$
$S^{\mu\nu}$は$4\times 4$行列である．これは$\gamma^\mu$自体が$4\times 4$行列だからである．これまで，これらの行列の行や列に対応する添え字を付けていなかったが，今後はこれらの添え字を$\alpha, \beta = 1, 2, 3, 4$と呼ぶことにする．
これらの$S^{\mu\nu}$行列が作用するための場（表現空間）が必要である．ここで，4つの複素成分を持つDiracスピノール$\psi(x)$を導入する．この成分には$\alpha = 1, 2, 3, 4$という添え字が付く．Lorentz変換の下で，この場は次のように変換される： $$ \psi^\alpha(x) \to S[\Lambda]^{\alpha}{}_{\beta} \psi^\beta(\Lambda^{-1}x) $$ ここで， $$ \Lambda = \exp\left(\frac{1}{2} \Omega_{\rho\sigma} \mathcal{M}^{\rho\sigma}\right) $$ $$ S[\Lambda] = \exp\left(\frac{1}{2} \Omega_{\rho\sigma} S^{\rho\sigma}\right) $$ 時空上の表現$\mathcal{M}^{\rho\sigma}$と，スピノール空間上の表現$S^{\rho\sigma}$は区別されるが，どちらも同じ6つのパラメータ$\Omega_{\rho\sigma}$を使っている．これは，同じLorentz変換に対応していることを表す．なお，生成子$S^{\rho\sigma}$とLorentz変換$S[\Lambda]$の両方を「$S$」で表すが（前者はLie代数の元，後者はLie群の元である），後者は必ず角括弧$[\Lambda]$付きで表記することで区別することにする．
$\mathcal{M}$も$S[\Lambda]$も$4\times 4$行列である．この2つの表現が本当に異なることを確かめるために，いくつか具体的な変換で確かめる：
回転： $$ S^{ij}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \sigma^j \\ -\sigma^j & 0 \end{pmatrix} = -\frac{i}{2}\varepsilon^{ijk}\begin{pmatrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & \sigma^k \end{pmatrix} \quad (i\neq j) $$ 回転パラメータを$\Omega_{ij} = -\varepsilon_{ijk} \varphi^k$ （例えば$\Omega_{12} = -\varphi^3$ など）と書くと， 回転に対応する表現は次のようになる： $$ S[\Lambda] = \exp\left(\frac{1}{2} \Omega_{\rho\sigma} S^{\rho\sigma}\right)=\begin{pmatrix} e^{+i\vec{\varphi}\cdot\vec{\sigma}/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\vec{\varphi}\cdot\vec{\sigma}/2} \end{pmatrix} $$ 例えば$x^3$軸まわりの$2\pi$回転を考えると，$\vec{\varphi} = (0, 0, 2\pi)$となり，対応する群のスピノール表現は $$ S[\Lambda] = \begin{pmatrix} e^{+i\pi\sigma^3} & 0 \\ 0 & e^{+i\pi\sigma^3} \end{pmatrix} = -\bm{1} $$ したがって，$2\pi$回転の下で $$ \psi^{\alpha}(x) \to -\psi^{\alpha}(x) $$ となる．これはベクトルの場合とは明らかに異なる． 2の因子の扱いが正しいか確認するため，ベクトルが$x^3$軸まわりに$\varphi^3$だけ回転したときの変換を確認すると， $$ \Lambda=\exp\left(\frac{1}{2} \Omega_{\rho\sigma} \mathcal{M}^{\rho\sigma}\right)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \varphi^3 & 0 \\ 0 & -\varphi^3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ よって，ベクトルを$\varphi^3 = 2\pi$だけ回転すると，$\Lambda = 1$となり，期待通り元に戻る． このように，$S[\Lambda]$は通常のベクトル表現とは異なる表現であることが分かる．
ブースト： $$ S^{0i}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -\sigma^i & 0 \\ 0 & \sigma^i \end{pmatrix} $$ ブーストパラメータを$\Omega_{i0} = -\Omega_{0i} = \chi_i$と書くと， $$ S[\Lambda] =\begin{pmatrix} e^{+\vec{\chi}\cdot\vec{\sigma}/2} & 0 \\ 0 & e^{-\vec{\chi}\cdot\vec{\sigma}/2} \end{pmatrix} $$ となる．
回転の場合，$S[\Lambda]$はユニタリであり，$S[\Lambda]^\dagger S[\Lambda] = 1$を満たす．しかし，ブーストの場合，$S[\Lambda]$はユニタリではない．実際，Lorentz群の有限次元ユニタリ表現は存在しない．なぜなら， $$ S[\Lambda]=\exp\left(\frac{1}{2} \Omega_{\rho\sigma} S^{\rho\sigma}\right) $$ であり，表現がユニタリとなるためには$S^{\mu\nu}$が反エルミート，すなわち$(S^{\mu\nu})^\dagger = -S^{\mu\nu}$でなければならない．しかし実際には， $$ (S^{\mu\nu})^{\dagger} = -\frac{1}{4}[(\gamma^{\mu})^{\dagger}, (\gamma^{\nu})^{\dagger}] $$ となり，すべての$\gamma$がエルミートまたはすべてが反エルミートであれば$S^{\mu\nu}$も反エルミートとなる．しかし，これは実現できない．なぜなら $$ (\gamma^0)^2=1 \implies \text{固有値は実数} $$ $$ (\gamma^i)^2=-1 \implies \text{固有値は虚数} $$ となるからである．したがって，$\gamma^0$をエルミートに取ることはできるが，$\gamma^i$は反エルミートにしかできない．実際，カイラル表示ではこの性質を持ち，$(\gamma^0)^\dagger = \gamma^0$かつ$(\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i$となる．このように，$S^{\mu\nu}$が反エルミートとなるような$\gamma$を選ぶことはできない．
作用の構成
coming soon...Dirac方程式
coming soon...カイラルスピノール
coming soon...Majoranaフェルミオン
我々が扱ってきたスピノール$\psi$は複素数である．これは，表現$S[\Lambda]$自体が複素であるためである．したがって，例えば$\psi = \psi^*$のように実数条件を課そうとしても，Lorentz変換を行うとその条件は保たれない．しかし，Diracスピノールに実数条件を課す方法が存在する：Clifford代数の新しい基底，すなわちMajorana基底をとる： $$ \gamma^0=\begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix} , \quad \gamma^1=\begin{pmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{pmatrix} , \quad \gamma^2=\begin{pmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix} , \quad \gamma^3=\begin{pmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{pmatrix} $$ これらの行列はClifford代数を満たしている．特に重要なのは，これらがすべて純虚数（$\gamma^\mu{}^* = -\gamma^\mu$）である点である．したがって，Lorentz群の生成子$S^{\mu\nu} = \frac{1}{4}[\gamma^\mu, \gamma^\nu]$および$S[\Lambda]$が実行列となる．この基底を用いれば，単に $$ \psi = \psi^* $$ という条件を課すことで，Lorentz変換の下でも実数であることが保持される実スピノールを構成できる．このようなスピノールをMajoranaスピノールと呼ぶ．
一般に抽象的なClifford代数の基底を用いた場合は，基底が $$ (\gamma^0)^\dagger = \gamma^0,\quad (\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i $$ を満たすと仮定する．このとき，Diracスピノールの荷電共役を次のように定義する： $$ \psi^{(c)} = C \psi^* $$ ここで$C$は$4\times 4$行列であり，次を満たす： $$ C^\dagger C = 1,\quad C^\dagger \gamma^\mu C = -(\gamma^\mu)^* $$ まず，$\psi^{(c)}$がLorentz変換の下で正しく変換することを確認しよう．Lorentz変換の下で $$ \psi^{(c)} \to C S[\Lambda]^* \psi^* = S[\Lambda] C \psi^* = S[\Lambda] \psi^{(c)} $$ ここで，$C$の性質を用いて$S[\Lambda]$と$C$の順序を入れ替えている． 実際，$\psi^{(c)}$はLorentz群の下で正しく変換するだけでなく，もし$\psi$がDirac方程式を満たすなら，$\psi^{(c)}$もDirac方程式を満たす： \begin{align} (i\partial\!\!\!/-m)\psi=0 &\Rightarrow (-i\partial\!\!\!/^*-m)\psi^{*}=0 \\ &\Rightarrow C(-i\partial\!\!\!/^*-m)\psi^{*}=(+i\partial\!\!\!/-m)\psi^{(c)}=0 \end{align} 最後に，DiracスピノールにLorentz不変な実数条件 $$ \psi^{(c)} = \psi $$ を課すことで，Majoranaスピノールが得られる． 量子化後，Majoranaスピノールは自身が反粒子であるフェルミオンを記述する． これはスカラー場の場合と全く同じで，実スカラー場が自身が反粒子であるスピン0ボソンを与えるのと対応している．
この行列$C$とは何だろうか？Clifford代数の表現が与えられれば，$C$は比較的簡単に見つけることができる．ガンマ行列が純虚数となるMajorana表示では，単に$C_{\text{Maj}} = 1$となり，Majorana条件$\psi = \psi^{(c)}$は$\psi = \psi^*$となりこれまでの結果と整合する．カイラル表示では，$\gamma^2$のみが虚数であり，$C_{\text{chiral}} = i\sigma^2 = \begin{pmatrix} 0 & i\sigma^2 \\ -i\sigma^2 & 0 \end{pmatrix}$と取ることができる（ここで現れる$i\sigma^2$は反対称行列$\varepsilon_{\alpha\beta}$そのものである）．Majorana条件が，左右のWeylスピノールへの分解でどのように見えるかを確認すると，各定義を代入することで$u_+ = i\sigma^2 u_-^*$および$u_- = -i\sigma^2 u_+^*$となる．つまり，MajoranaスピノールはWeylスピノールを用いて $$ \psi = \begin{pmatrix} u_+ \\ -i\sigma^2 u_+^* \end{pmatrix} $$ のように書ける．なお，Majorana条件$\psi = \psi^{(c)}$とWeyl条件（$u_- = 0$または$u_+ = 0$）を同時に課すことはできないことに注意する．Majorana条件は$u_-$と$u_+$を結びつける関係式となっている．
DiracスピノールにMajorana条件やWeyl条件を課せるかどうかは，時空の次元や符号に依存する．偶数次元のMinkowski時空では，すべての他のガンマ行列を掛け合わせることで適切な$\gamma^5$行列を常に構成できるため，Weyl条件は必ず課すことができる．一方，Majorana条件を課せるかどうかはやや不規則なパターンとなる．興味深いことに，4次元ではMajorana条件とWeyl条件を同時に課すことはできないが，2次元・10次元・18次元etc.といったMinkowski時空では両方を同時に課すことができる．特に10次元は超弦理論において重要な次元であり，そこではスピノールがMajorana-Weylスピノールと呼ばれる特別なスピノールになっている．