頂点に対するループ補正

参考文献：Mark Srednicki. "Quantum Field Theory". Cambridge University Press. 2006.

図の $O(g^3)$ 図（$\phi^3$ 頂点に対する補正）を考える．ここでは，この図を評価する．

（図を挿入）

exactな三点頂点関数 $i\bm{V}_3(k_1, k_2, k_3)$ を，運動量 $k_1, k_2, k_3$（すべて入射粒子の運動量で運動量保存より $k_1 + k_2 + k_3 = 0$を満たす）を持つ三つの外線に対する，一次粒子既約（1PI）図の和として定義できる（この記法では，$k^0_i$ は符号を持ちうる．もし $k_i$ が外部粒子の運動量なら，粒子が入射なら $k^0_i$ は正，出射なら負となる）．元の頂点 $iZ_{gg}$ がこの和の第1項であり，図が第2項である．したがって， $$ i\bm{V}_3(k_1,k_2,k_3) = iZ_{gg} + (ig)^3\left(\frac{1}{i}\right)^2 \int \frac{d^d l}{(2\pi)^d} \tilde{\Delta}((l-k_1)^2)\tilde{\Delta}((l+k_2)^2)\tilde{\Delta}(l^2) + \mathcal{O}(g^5) $$ 第2項では $Z_g = 1 + \mathcal{O}(g^2)$ とした．プロパゲーターに対する補正の一連のテクニックを使って，この積分の評価に進む．

まず，Feynmanの公式を使って次のように書く： \begin{align} &\tilde{\Delta}((l-k_1)^2)\tilde{\Delta}((l+k_2)^2)\tilde{\Delta}(l^2) \\ &= \int dF_3 \bigg[ x_1(l-k_1)^2+x_2(l+k_2)^2+x_3l^2+m^2 \bigg]^{-3} \end{align} ここで $$ \int dF_3 = 2\int_0^1 dx_1dx_2dx_3\, \delta(x_1+x_2+x_3-1) $$ 右辺を整理すると， \begin{align} &\tilde{\Delta}((l-k_1)^2)\tilde{\Delta}((l+k_2)^2)\tilde{\Delta}(l^2) \\ &=\int dF_3 \bigg[ l^2-2l\cdot(x_1k_1-x_2k_2)+x_1k_1^2+x_2k_2^2+m^2 \bigg]^{-3} \\ &=\int dF_3 \bigg[ (l-x_1k_1+x_2k_2)^2+x_1(1-x_1)k_1^2+x_2(1-x_2)k_2^2+2x_1x_2k_1\cdot k_2+m^2 \bigg]^{-3} \\ &=\int dF_3 [q^2+D]^{-3} \end{align} 最後の行では，$q \equiv \ell - x_1k_1 + x_2k_2$ と定義し， \begin{align} D &\equiv x_1(1-x_1)k_1^2+x_2(1-x_2)k_2^2+2x_1x_2k_1\cdot k_2+m^2 \\ &= x_3x_1k_1^2+x_3x_2k_2^2+x_1x_2k_3^2+m^2 \end{align} ここで $k_3^2 = (k_1 + k_2)^2$ および $x_1 + x_2 + x_3 = 1$ を使って2行目を簡略化した．

$q_0$ の経路を Wick 回転した後，次のようになる： $$ \bm{V}_3(k_1,k_2,k_3)/g=Z_g+g^2\int dF_3 \int \frac{d^d\bar{q}}{(2\pi)^d}\,\frac{1}{(\bar{q}^2+D)^3}+\mathcal{O}(g^4) $$ ここで $\bar{q}$ はEuclidベクトルである．この積分は $d \geq 6$ で発散する．したがって $d < 6$ で評価し，一般的に知られた公式を使うと， $$ \int\frac{d^d\bar{q}}{(2\pi)^d}\,\frac{1}{(\bar{q}^2+D)^3}=\frac{\Gamma(3-d/2)}{2(4\pi)^{d/2}}D^{-(3-d/2)} $$ ここで $d = 6 - \varepsilon$ とする．$g$ を無次元に保つため，$g \to \tilde{g}\mu^{\varepsilon/2}$ と置き換える．すると $$ \bm{V}_3(k_1,k_2,k_3)/g = Z_g+\frac{1}{2}\alpha\Gamma(\frac{\varepsilon}{2})\int dF_3 \bigg(\frac{4\pi\bar{\mu}^2}{D}\bigg)^{\varepsilon/2}+\mathcal{O}(\alpha^2) $$ ここで $\alpha = g^2/(4\pi)^3$ である．$\varepsilon \to 0$ の極限を取ると， $$ \bm{V}_3(k_1,k_2,k_3)/g = Z_g+\frac{1}{2}\alpha\bigg[\frac{2}{\varepsilon}+\int dF_3 \ln\bigg(\frac{4\pi\bar{\mu}^2}{e^{\gamma}D}\bigg)\bigg]+\mathcal{O}(\alpha^2) $$ ここで $\int dF_3 = 1$ を用いた．$\mu^2 = 4\pi e^{-\gamma} \tilde{\mu}^2$ とし， $$ Z_g = 1+C $$ と置き換えて整理すると， \begin{align} \bm{V}_3(k_1,k_2,k_3)/g=&1+\bigg\{ \alpha\bigg[ \frac{1}{\varepsilon}+\ln(\mu/m) \bigg]+C \bigg\} \\ &-\frac{1}{2}\alpha\int dF_3 \ln\bigg(\frac{D}{m^2}\bigg)+\mathcal{O}(\alpha^2) \end{align} ここで $C$ を $$ C = -\alpha\bigg[ \frac{1}{\varepsilon}+\ln(\mu/m)+\kappa_C \bigg]+\mathcal{O}(\alpha^2) $$ （$\kappa_C$ は純粋な定数）とすると， $$ \bm{V}_3(k_1,k_2,k_3)/g=1-\frac{1}{2}\alpha\int dF_3 \ln\bigg(\frac{D}{m^2}\bigg)-\kappa_C\alpha+\mathcal{O}(\alpha^2) $$ この $C$ の選び方により，$\bm{V}_3(k_1, k_2, k_3)$ は有限かつ $\mu$ に依存しなくなる．

次に，$\kappa_C$ の値を決めるために，$\tilde{\Delta}(-m^2) = 0$ や $\tilde{\Delta}'(-m^2) = 0$ といった条件に類するものが必要となる．これらの条件は，exactなプロパゲーターの既知の性質から要求されたが，頂点関数については直接対応するものはない．$\kappa_C$ の異なる選択は，結合定数 $g$ の定義の違いに対応する．なぜなら，$g$ を測定するには，$g$ に依存する断面積を測定することになるが，これらの断面積もまた $\kappa_C$ に依存するからである．したがって，実験結果と計算結果を比較する際に，皆が同じ値を使う限り，$\kappa_C$ の値は任意に選んでよい．最も便利なのは，単に $\kappa_C = 0$ とすることである．この条件は $$ \bm{V}_3(0,0,0)=g $$ に対応する．この条件は，$Z_g$ の高次（$g$ の高次）項を決めるためにも使うことができる．

Feynmanパラメータ積分は閉じた形では計算できないが，例えば $|k_1^2| \gg m^2$ の場合には， $$ \bm{V}_3(k_1,k_2,k_3)/g\simeq 1-\frac{1}{2}\alpha\bigg[\ln(k_1^2/m^2)+\mathcal{O}(1)\bigg]+\mathcal{O}(\alpha^2) $$ となる．したがって，頂点関数への1ループ補正の大きさは $|k_i^2| \gg m^2$ のとき $|k_i^2|$ に対して対数的に増加する．この振る舞いは，以前 $\Sigma(k^2)/(k^2 + m^2)$ について見たものと同じである．