散乱振幅とFeynman則

参考文献：Mark Srednicki. "Quantum Field Theory". Cambridge University Press. 2006.

$Z(J) = \exp iW(J)$ から，汎関数微分を使って場の時間順序積の真空期待値（相関関数）を計算する．2つの場の場合を考え，exact propagator を次のように定義する： $$ \frac{1}{i}\bm{\Delta}(x_1-x_2) \equiv \langle 0 | \mathrm{T}\varphi(x_1)\varphi(x_2) | 0 \rangle $$ 記法を簡単にするため，次のように定義する： $$ \delta_j \equiv \frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J(x_j)} $$ そうすると， \begin{align} \langle 0 | T\varphi(x_1)\varphi(x_2) | 0 \rangle &= \delta_1\delta_2 Z(J) \bigg|_{J=0} \\ &= \delta_1\delta_2 \exp iW(J) \bigg|_{J=0} - \delta_1 iW(J) \bigg|_{J=0} \delta_2 iW(J) \bigg|_{J=0} \\ &= \delta_1\delta_2 \exp iW(J) \bigg|_{J=0} \end{align} 最後の式では，LSZ公式の条件$\delta_j W(J)|_{J=0} = \langle 0|\varphi(x_j)|0\rangle = 0$ を使った．図式的には，$\delta_1$ はソースを1つ除去し，プロパゲータの端点 $x_1$ にラベル付けをする．したがって，$\frac{1}{i}\bm{\Delta}(x_1-x_2)$ は2つのソースを持つ図の和であり，そのソースを除去し端点を $x_1$ と $x_2$ にラベル付けしたものである（ラベルは2通りの方法で付ける必要がある．図が2つのソースの交換に対して対称な場合，対称性因子2はこの2通りのラベル付けで打ち消される）．最低次では，唯一の寄与は図の「バーベル」図（ただしソース除去済み）になる．したがって，明らかな事実 $\frac{1}{i}\bm{\Delta}(x_1-x_2) = \frac{1}{i}\Delta(x_1-x_2) + \mathcal{O}(g^2)$ を再現する．$\mathcal{O}(g^2)$ の補正については別で扱う．

（図を挿入）

次の非ゼロの相加関数は， \begin{align} \langle 0 | \mathrm{T}\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_3)\varphi(x_4) | 0 \rangle &= \delta_1\delta_2\delta_3\delta_4 Z(J) \bigg|_{J=0} \\ &= \bigg[ \delta_1\delta_2\delta_3\delta_4 iW \\ &\quad +(\delta_1\delta_2iW)(\delta_3\delta_4iW) \\ &\quad +(\delta_1\delta_3iW)(\delta_2\delta_4iW) \\ &\quad +(\delta_1\delta_4iW)(\delta_2\delta_3iW) \bigg] \bigg|_{J=0} \end{align} ここで$\langle 0|\varphi(x)|0\rangle = 0$ を含む項は省略した．最後の3項は，単に exact propagatorの積になっている．

これらの項を，2つの入射粒子と2つの出射粒子に対するLSZ公式に代入するとどうなるか見てみよう： \begin{align} \langle f | i \rangle &= i^4\int d^4x_1 d^4x_2 d^4x_1' d^4x_2' \, e^{i(k_1x_1+k_2x_2-k_1'x_1'-k_2'x_2')} \\ &\quad \times (-\partial_1^2+m^2)(-\partial_2^2+m^2)(-\partial_{1'}^2+m^2)(-\partial_{2'}^2+m^2) \\ &\quad \times \langle 0 | T\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_1')\varphi(x_2') | 0 \rangle \end{align} 例えば，相関関数のある項として $\frac{1}{i}\bm{\Delta}(x_1-x_1')\frac{1}{i}\bm{\Delta}(x_2-x_2')$ を考えると，次のようになる： \begin{align} &\int d^4x_1 d^4x_2 d^4x_1' d^4x_2' \, e^{i(k_1x_1+k_2x_2-k_1'x_1'-k_2'x_2')}F(x_{11'})F(x_{22'}) \\ &=(2\pi)^4\delta^4(k_1-k_1')(2\pi)^4\delta^4(k_2-k_2')\bar{F}(\bar{k}_{11'})\bar{F}(\bar{k}_{22'}) \end{align} ここで $F(x_{ij}) \equiv (-\partial_i^2+m^2)(-\partial_j^2+m^2)\bm{\Delta}(x_{ij})$，$F(k)$ はそのFourier変換，$x_{ij'} \equiv x_i-x_j'$，$\bar{k}_{ij'} \equiv (k_i+k_j')/2$ である．重要なのは，2つのデルタ関数が現れることである．これは，2つの出射粒子（$1'$と$2'$）の4元運動量が，2つの入射粒子（$1$と$2$）の4元運動量と等しいことを意味する．つまり，散乱は起こっていない．我々はこの事象の確率を計算したいわけではない．他の2つの類似の項も，散乱が起こらない事象に寄与するか，$\delta^4(k_1+k_2)$ のような因子によって消えてしまう（これは $k_1^0+k_2^0 \geq 2m > 0$ を満たすのでゼロ）．一般に，関心のある散乱過程に寄与する図は，完全に連結なものだけである．すなわち，すべての端点が他の端点から図をたどって到達できるものである．これらは，すべての $\delta$ が $W$ の1つの因子に作用したときに現れる図である．したがって，以降はこれらの図だけに注目する．そこで連結相関関数を次のように定義する： $$ \langle 0 | \mathrm{T}\varphi(x_1)\varphi(x_2)\cdots\varphi(x_E) | 0 \rangle_C \equiv \delta_1\delta_2\cdots\delta_E iW(J) \bigg|_{J=0} $$ そして，LSZ公式では $ \langle 0|T\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_E)|0\rangle $ の代わりにこれを用いることにする．

4点連結相関関数は， $$ \langle 0 | \mathrm{T}\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_3)\varphi(x_4) | 0 \rangle_C = \delta_1\delta_2\delta_3\delta_4 iW \bigg|_{J=0} $$ となる．この連結相関関数への最低次数（$g$の最低次）の非ゼロ寄与は，4つのソースと2つの頂点を持つ図から得られる．4つの$\delta$は4つのソースを除去するが，$\delta$がどこのソースを除去するかには$4!$通りある．これら24個の図は，それぞれ8個ずつ3つのグループにまとめることができる．各グループの8個の図は等価である．3つの異なる図は下に示されている．ここで，8という因子は，対称性因子 $S=8$ をちょうど打ち消すことに注意する．

（図を挿入）

これは，tree diagrams（閉じたループを持たない図）に関する一般的な結果である．ソースを除去し，端点にラベルを付けた後は，異なる端点ラベル付けを持つ各図の全体での対称性因子は1になる．ある過程に対するtree diagramsは，その過程への最低次数（$g$の最低次）の非ゼロ寄与を表す．

ここで次のようになる： \begin{align} \langle 0 | \mathrm{T}\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_3)\varphi(x_4) | 0 \rangle_C &= (ig)^2\bigg(\frac{1}{i}\bigg)^5\int d^4y d^4z \Delta(y-z) \\ &\quad \times \bigg[ \Delta(x_1-y)\Delta(x_2-y)\Delta(x_1'-z)\Delta(x_2'-z) \\ &\quad + \Delta(x_1-y)\Delta(x_1'-y)\Delta(x_2-z)\Delta(x_2'-z) \\ &\quad + \Delta(x_1-y)\Delta(x_2'-y)\Delta(x_2-z)\Delta(x_1'-z) \bigg] + \mathcal{O}(g^4) \end{align} 次に，LSZ公式を使う．各Klein-Gordon波動演算子はプロパゲータに作用して $$ (-\partial_i^2+m^2)\Delta(x_i-y)=\delta^4(x_i-y) $$ となる．外部の時空ラベル $x_1, x_2, x_1', x_2'$ についての積分は自明となり， \begin{align} \langle f | i \rangle &= (ig)^2\left(\frac{1}{i}\right)^5\int d^4y d^4z \Delta(y-z) \bigg[ e^{i(k_1y+k_2y-k_1'z-k_2'z)} \\ &\quad + e^{i(k_1y+k_2z-k_1'y-k_2'z)} \\ &\quad + e^{i(k_1y+k_2z-k_1'z-k_2'y)} \bigg] + \mathcal{O}(g^4) \end{align} これを簡単にするために， $$ \Delta(y-z) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\frac{e^{ik(y-z)}}{k^2+m^2-i\varepsilon} $$ を代入する．すると，時空座標は位相因子にしか現れず，積分するとデルタ関数が得られる： \begin{align} \langle f | i \rangle &= ig^2\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\frac{1}{k^2+m^2-i\varepsilon} \\ &\quad \times \bigg[ (2\pi)^4\delta^4(k_1+k_2+k) (2\pi)^4\delta^4(k_1'+k_2+k) \\ &\quad + (2\pi)^4\delta^4(k_1-k_1'+k) (2\pi)^4\delta^4(k'_2-k_2+k) \\ &\quad + (2\pi)^4\delta^4(k_1-k_2'+k) (2\pi)^4\delta^4(k_1'-k_2+k) \bigg] + \mathcal{O}(g^4) \\ &= ig^2(2\pi)^4\delta^4(k_1+k_2-k_1'-k_2') \\ &\quad \times \bigg[ \frac{1}{(k_1+k_2)^2+m^2}+ \frac{1}{(k_1-k_1')^2+m^2}+ \frac{1}{(k_1-k_2')^2+m^2} \bigg] + \mathcal{O}(g^4) \end{align} 記法の簡略化のため $i\varepsilon$ を省略しているが，$m^2$ は本来 $m^2-i\varepsilon$ であることに注意する．全体に掛かるデルタ関数は，散乱過程で4元運動量が保存されることを示している．これは当然期待されることである．一般の散乱過程では，散乱行列要素 $\mathcal{T}$ を次のように定義すると便利である： $$ \langle f | i \rangle = (2\pi)^4\delta^4(k_{\text{in}}-k_{\text{out}})i\mathcal{T} $$ ここで $k_{\text{in}}$ と $k_{\text{out}}$ はそれぞれ入射粒子と出射粒子の全4元運動量である．

この一連の計算から導かれる普遍的な特徴を調べることで，任意の散乱過程に対する $i\mathcal{T}$ の寄与を計算するための簡単なFeynman則を得ることができる：

1. 入射粒子と出射粒子ごとに線（外線）を描く．
2. 各外線の一端は自由にし，もう一端を必ず3本の線が集まる頂点に接続する．必要に応じて内線を追加する．このようにして，位相的に異なるすべての図を描く．
3. 入射線には頂点に向かう矢印を描き，出射線には頂点から離れる矢印を描く．内部線には任意の方向の矢印を描く．
4. 各線に4元運動量を割り当てる．外線の4元運動量は対応する粒子のものとする．
5. 4元運動量は矢印に沿って流れるものとし，各頂点で4元運動量保存を課す．tree diagramの場合，これですべての内線の運動量が決まる．
6. 図の値は以下の因子の積で与えられる：
   • 各外線について 1;
   • 運動量 $k$ を持つ各内線について $-i/(k^2 + m^2 - i\varepsilon)$;
   • 各頂点について $iZ_g g$．
7. 閉じたループが $L$ 個ある図では，ルール5で決まらない内部運動量が $L$ 個残る．それぞれの運動量 $\ell_i$ について $d^4\ell_i/(2\pi)^4$ で積分する．
8. ループ図では，内部プロパゲータや頂点の交換で図が不変になる場合，対応する対称性因子で図の値を割る．
9. 2本のプロパゲータ（同じ運動量 $k$）を接続する相殺項頂点を含める．この頂点の値は $-i(Ak^2 + Bm^2)$ で，$A = Z_\varphi - 1$，$B = Z_m - 1$，いずれも $\mathcal{O}(g^2)$．
10. $i\mathcal{T}$ の値は，これらすべての図の値の総和で与えられる．

（図を挿入）

これで散乱振幅 $\mathcal{T}$ を計算する規則が得られた．あとはこれを測定可能な物理量と結び付ければ理論が検証できる．