HEP-NOTE

弦理論

目次

系譜

以下では，各テーマについての主要な参考文献を簡潔に示す．弦理論の教科書としては[GSW87]，[Pol98]，および[Zwi04]がある．これらに加えて，[Kak88,Kak91,Kak99,Kak00]，[Pol87]，[LT89]，[Kir98]，[Joh03]，[Hor+03]，[Dou+04]，および[Sza04]などがある．

ボソン弦理論

弦理論前史は重要であり[GSW87]で議論されているが，弦理論の始まりは[Ven68]における開弦の$4$粒子散乱振幅の発見にある．これが急速に多粒子振幅や閉弦振幅へ一般化された．これらの振幅が実際には一次元の伸長した対象（strings）を記述しているとの認識は，[Nam70a]，[Nie70]および[Sus70]によって独立に行われた．

弦の作用を世界面の面積として与える式は，[Nam70b]，[Got71]および[Har71]によって独立に導入された．弦のスペクトルと振幅の調和振動子演算子による記述は，[FGV69]で導入され，[FV69],[FV70],[FV71]で発展した．Virasoro の制約は[Vir70]に初めて現れる．Virasoro 代数における中心拡張（あるいは共形異常）は J. Weis（未発表）によって発見された．臨界次元 $D = 26$ の最初の指標は[Lov71]において得られた．no-ghost theorem の異なる二つの証明は[Bro72]および[GT72]により示された．後者が本文で述べられているものである．臨界次元と基底状態の質量の関係を零点振動として解釈する説明は[BN73]により与えられた．

Nambu-Goto作用のライトコーンゲージ量子化は[GGRT73]によって示された．弦のシグマ模型作用は，補助的な$2$次元世界面計量テンソルを導入して[BDH76]および[DZ76]によって独立に構成された．実際，彼らは RNS string への一般化も提示している．

$1970$年代初期の進展を概説した総説は[AALO71]，[Sch73]，[Ven74]，[Reb74]，[Man74]および[Sch75]である．これらのうち最初の$5$件は[Jac74]に再録されており，最後の$1$件（Scherk）は[Sch85]に再録されている．

共形場理論と弦の相互作用

現代的な経路積分による弦理論の扱いは，ボソン弦についてはPolyakov (1981a) によって，RNS弦についてはPolyakov (1981b) によって始められた．これにより共形対称性の重要性と共形異常の意義が認識された．Polyakov の手法は Friedan (1984) と Alvarez (1983) で発展した．

二次元共形場理論の手法を発展させた重要なオリジナル論文としては Belavin, Polyakov and Zamolodchikov (1984) と Friedan, Qiu and Shenker (1984) がある．特に最小モデルはこれらの論文で初めて登場する．Lie群に関連する共形場理論の構成は Witten (1983, 1984) によって発展した．一方，本文で示したコセット構成は Goddard, Kent and Olive (1985) に基づく．二次元共形場理論の有用なレビューとしては Goddard and Olive (1986)，Moore and Seiberg (1989)，Lüst and Theisen (1989)，Ginsparg (1991) などがある．

Becchi, Rouet and Stora (1974, 1976) と Tyutin (1975) による BRST 対称性は，Kato and Ogawa (1983) で弦理論に初めて適用された．

$2$次元シグマ模型の$\beta$関数の計算は Alvarez-Gaumé，Freedman and Mukhi (1981) および Friedan (1985) で説明されている． これは背景場を含む弦の世界面作用に Callan，Friedan，Martinec and Perry (1985) で適用された． この主題のレビューは Callan and Thorlacius (1989) および Tseytlin (1989) にある． 線形ダイラトン理論は Chodos and Thorn (1974) および Myers (1987) で議論されている．

Wittenの開弦場理論はWitten (1986)に示されている．

RNS形式

RNS形式は，Ramond (1971) によるフェルミオン弦の自由波動方程式の構築と，Neveu and Schwarz (1971) による相互作用するボソン部位の発見に起源を持つ．形式主義は Neveu，Schwarz and Thorn (1971) でさらに発展し，super-Virasoro 制約の実装方法が明確にされた．no-ghost theorem は Goddard and Thorn (1972)，Schwarz (1972) および Brower and Friedman (1973) によって証明された．

ゲージ固定されたRNS模型の全局的ワールドシート超対称性は Gervais and Sakita (1971) で最初に説明されている．この超対称理論は，四次元のスーパー・ポアンカレ代数が Gol'fand and Likhtman (1971) で発見された頃にほぼ同時に理解された．さらに Gervais and Sakita の仕事は Wess and Zumino (1974) における四次元での超対称理論の構築を促した．二次元超空間は Fairlie and Martin (1973) および Montonen (1974) に導入され，四次元超空間は Salam and Strathdee (1974) で初めて現れる．四次元における $N=1$ 超重力の発展（Freedman, van Nieuwenhuizen and Ferrara (1976) および Deser and Zumino (1976a)）に続き，局所超対称なワールドシート作用が Brink, Di Vecchia and Howe (1976) および Deser and Zumino (1976b) によって構築された．この作用は Polyakov (1981b) で利用されている．

Gliozzi, Scherk and Olive (1976, 1977) は，本文で述べた方法で射影すると，$10$次元RNS弦スペクトルにおいてボソンとフェルミオンの数がすべての質量レベルで一致することを発見した．これは破れていない時空の超対称性に必要な条件である．また，彼らは$10$次元のsuper Yang–Mills theory（およびその様々な次元縮小とトランケーション）を構築した．同様の構築はBrink, Schwarz and Scherk (1977) によっても示された．

フェルミオン放出頂点演算子の構成へのBRST形式の適用は，Friedan, Martinec and Shenker (1986) および Knizhnik (1985) によって展開された．これは本書では記述されていない．

GS形式

時空に明示的な超対称性を持つ形式主義は Green and Schwarz によって $1979$–$1984$ 年頃に発展した．まずライトコーンゲージ形式が見つかり，GSO 射影理論の超対称性を証明するために用いられた．特に，Type I，Type IIA，Type IIB の超弦理論が同定され命名された．これらの理論のスペクトルが解析され，種々の振幅が Green and Schwarz ($1981$a，$1981$b，$1982$) で計算された．この仕事は Schwarz ($1982$b) と Green ($1984$) でレビューされている．

Brink and Schwarz (1981) は質量ゼロの superparticle に対する共変的かつ超対称な作用を見つけた．これは本文で述べた $D0$-brane の作用の質量ゼロ極限に対応する．Siegel (1983) がこの作用が局所的な $\kappa$ 対称性を持つことを指摘したことに続き，Green and Schwarz (1984a) は局所 $\kappa$ 対称性を持つ共変的な superstring の作用を構成した．この作用をゲージ固定すればライトコーンゲージの結果を得られるが，GS 作用の共変量子化は困難である．

ゲージ理論におけるアノマリーの歴史は GSW で論じられている．任意次元における重力アノマリーは Alvarez-Gaumé and Witten (1984) によって初めて系統的に調査された．特に，重力アノマリーが type IIB supergravity において打ち消され，したがって type IIB superstring theory においても打ち消されることが示された．これに続き，Green and Schwarz (1985) は type I superstring theory におけるゲージアノマリーへの六角形図の寄与を計算し，円筒と Möbius 帯の寄与がゲージ群 $SO(32)$ の場合に打ち消し合うことを見いだした．Alvarez-Gaumé and Witten (1984) の結果を用いて，Green and Schwarz (1984b) はゲージ群が $SO(32)$ または $E_8 \times E_8$ のいずれかであればすべてのゲージおよび重力アノマリーが打ち消されうることを示した．本文で示す解析は元の論文よりやや単純化されており，その理由は Morales, Scrucca and Serone (1999)，Stefanski (1999) および Schwarz and Witten (2001) によって後に開発された手法を利用しているためである．Harvey (2005) がアノマリーの概説を提供している．

T-dualityとD-brane

T-dualityの対称性はGreen, Schwarz and Brink (1982) に示された式の中で明確であるが，最初に明示的に議論されたのはKikkawa and Yamasaki (1984) である．定常的な背景場のT-duality変換はBuscher (1987, 1988) で導かれた．T-dualityはGiveon, Porrati and Rabinovici (1994) およびAlvarez, Alvarez-Gaumé and Lozano (1995) で総説されている．

D-branes に関する主題は Dai, Leigh and Polchinski (1989) および Leigh (1989) の研究に起源がある．しかし，Polchinski (1995) が超弦理論における D-branes が R-R charges を持つことを指摘するまで大きな注目は集めなかった．いくつかの結果は Shenker (1991) で予見されている．D-brane 物理への他の洞察は Bachas (1996) および Douglas, Kabat, Pouliot and Shenker (1997) によってもたらされた．D-branes の主題は Polchinski (1997) で総説されている．Johnson (2003) は D-branes に関する書籍である．非-BPS D-branes の性質に関する総説は Sen (1999) と Schwarz (2001) を参照．

Chan–Paton因子は弦理論の初期にPaton and Chan (1969)で導入され，$U(N)$対称性を記述するためのものだったが，これらの規則が重なり合ったD-branesを記述することをWitten (1996a)が指摘するまでさらに四半世紀以上を要した．その間にNeveu and Scherk (1972)はChan–Paton対称性が局所ゲージ対称性であることを指摘した．Chan–Patonの構成はSchwarz (1982a)およびMarcus and Sagnotti (1982)で直交群およびシンプレクティック群へ一般化された．

Diracの量子化条件の$p$-braneへの一般化は，Nepomechie (1985) と Teitelboim (1986a, 1986b) によって独立に発見された． $D$-braneの電荷が数学的にはK-theoryのクラスとして理解されるべきであるという指摘は，Minasian and Moore (1997) によってなされ，Witten (1998c) と Horava (1999) によって解明された．Sen (1998c, 1998d, 1999) も重要な洞察を与えた．

Born–Infeld作用が弦理論における有効作用として現れることは Fradkin and Tseytlin (1985a，1985b，1985c) による．それは Callan，Lovelace，Nappi and Yost (1987，1988) により超弦へ拡張された．κ-対称性を持つ D-brane の作用は複数のグループによって構成された: Cederwall，von Gussich，Nilsson and Westerberg (1997)，Aganagic，Popescu and Schwarz (1997a，1997b)，Bergshoeff and Townsend (1997)，および Cederwall，von Gussich，Nilsson，Sundell and Westerberg (1997)．弦理論における非可換（nonabelian）Born–Infeld理論の研究は Tseytlin (1997) によって先駆された．共存する D-brane の非可換ワールドボリューム理論に関する研究と Myers effect の発見は Myers (1999) に含まれる．Born–Infeld理論とブレーン力学の総説としては Giveon and Kutasov (1999) と Tseytlin (2000) がある．

ヘテロティック弦理論

Green and Schwarz (1984b) が10次元でアノマリーのない超対称理論がゲージ群 $SO(32)$ または $E_8 \times E_8$ を持ち得ることを示した直後に，heterotic string theory は Gross, Harvey, Martinec and Rohm (1985a, 1985b, 1986) によって構築された．彼らはフェルミオン構成とボソン構成の両方を提示した．ボソン構成に必要な数学的背景の一部は，先に Goddard and Olive (1985) が物理学者向けに解説している．

ヘテロティック弦のトーラス状コンパクト化は Narain (1986) が最初に研究した．対応するモジュライ空間は定常的な背景場によってパラメータ化され，Narain, Sarmadi and Witten (1987) が同定した．これは Maharana and Schwarz (1993) によって低エネルギー有効作用の形で記述された．

M理論と弦の双対性

$11$次元超重力の作用は Cremmer，Julia and Scherk (1978) で構成された．Type IIA 超重力作用は $11$次元超重力の次元還元によって得られる．本文で示した式は文献のものと若干異なる．Type I 超重力と super Yang–Mills 理論の結合した有効作用は Bergshoeff，de Roo，de Wit and Van Nieuwenhuizen (1982) および Chapline and Manton (1983) で構成された．これは Green and Schwarz (1984b) においてアノマリー消去のために必要な高次元項で補完された．Type IIB 超重力は Schwarz and West (1983)，Schwarz (1983) および Howe and West (1984) によって構成された．ヘテロティック弦の有効作用とそれが Type I 超重力作用へ持つ S-双対性の関係は Witten (1995) で与えられた．

Electric–magnetic duality symmetry in Yang–Mills theory was first proposed in Montonen and Olive (1977)．この予想は Osborn (1979) によって $N=4$ 理論へと精緻化された．本主題は Harvey (1997) でレビューされている．

弦理論におけるS-双対性の概念は，heterotic string を $T^6$ 上でコンパクト化した場合について Font, Ibanez, Lust and Quevedo (1990) により最初に提唱された．その後この主題は Sen (1994a, 1994b) および Schwarz (1993) によって追究された．この双対性は Seiberg and Witten (1994a, 1994b) によって $N=2$ ゲージ理論の文脈で説明された．Hull and Townsend (1995) は Type IIB 超弦理論における $SL(2,\mathbb{Z})$ によるS-双対性および $E_n(\mathbb{Z})$ によるU-双対性への一般化を提案した．Type I 超弦理論と $SO(32)$ heterotic string theory の間のS-双対性の関係に対する証拠は Polchinski and Witten (1996) によって示された．

Type IIA superstring theory が強結合で $11$ 次元になるという提案は Townsend (1995) と Witten (1995) によりなされた．この関係は Duff，Howe，Inami and Stelle (1987) で示唆されており，そこで Bergshoeff，Sezgin and Townsend (1987, 1988) の $11$ 次元 supermembrane が $10$ 次元の type IIA GS string と関連づけられている．M-theory という用語は Witten が IAS で行った 1995 年の講義で導入した．強結合の $E_8 \times E_8$ heterotic string を $11$ 次元として解釈する考えは Horava and Witten (1996a, 1996b) による．

M-theory を $T^2$ 上に置くことと Type IIB superstring theory を $S^1$ 上に置くことの双対性を，Type IIB 理論の S-双対性を理解する手段として用いる考えは Aspinwall (1996) と Schwarz (1996a, 1996b) で示された．Schwarz (1995) は Type IIB 弦の無限の $SL(2,\mathbb{Z})$ 多重項の存在を指摘している．結合状態としての解釈は Witten (1996a) に与えられている．M-theory と超弦の双対性を論じる総説には Townsend (1996b)，Schwarz (1997)，Vafa (1997)，Sen (1998b) および Obers and Pioline (1999) がある．

弦の幾何学

Kaluza (1921) と Klein (1926) は，$5$次元のEinstein重力を円でコンパクト化することで，電磁気学とEinsteinの重力理論を$4$次元で統一することを提案した．この考えを$11$次元超重力へ一般化して適用することは，1980年代前半に活発な研究課題だった．Kaluza-Klein超重力の総説としては Duff，Nilsson，Pope (1986) ，Townsend (1996b) ，および Overduin と Wesson (1997) などがある．

弦理論を内部に$6$次元のCalabi-Yau多様体を持つかたちでコンパクト化することは，Candelas, Horowitz, Strominger and Witten (1985) によって示された．Calabi-Yau多様体に関する文献は非常に膨大である．基本的な事項は GSW の第$16$章や Candelas (1987) に載っている．より詳しい議論は Hübsch (1992) にあり，さらに高度で詳細な記述は Hori et al. (2003) にある． orbifold は Dixon, Harvey, Vafa and Witten (1985, 1986) で最初に導入され，その CFT による記述は Dixon, Friedan, Martinec and Shenker (1987) において発展した．特殊holonomy多様体の総説としては Joyce (2000), Acharya and Gukov (2004), および Gubser (2004) がある．

局所的な拘束条件は$\mathcal{N}=2, D=4$の超対称性によって課され，De Wit, Lauwers and van Proeyen (1985) が特殊座標で導いた． 特殊幾何の全体的記述はStrominger (1990) によって示された． プレポテンシャルの形状とCalabi-Yau多様体のモジュライ空間の幾何は，Candelas, De la Ossa, Green and Parkes (1991) がミラー対称性を用いて導いた． 同論文では，古典的弦真空のモジュライ空間にコニフォールド特異点が現れることも示した． ミラー対称性の最初の証拠はCandelas, Lynker and Schimmrigk (1990) および Greene and Plesser (1990) で見出された． Strominger, Yau and Zaslow (1996) はミラー対称性をT-dualityの観点から解釈した．

Strominger (1995) は，Becker, Becker and Strominger (1995) で導入された超対称サイクルに巻かれたブレーンから生じる無質量ブラックホールが低エネルギー有効作用に非摂動的修正を与えること，および Becker, Becker and Strominger (1995) で指摘された特異点が解消されることを示した．これについては Greene, Morrison and Strominger (1995) でさらに検討された．

M-theoryの$K3$上とヘテロティック弦の$T^3$上の双対性は，Witten (1995)で導入された多くの双対性の一つである． F-theoryは，Greene, Shapere, Vafa and Yau (1990)による宇宙弦の関連研究に続いて，Vafa (1996)で導入された．

フラックスコンパクト化

フラックスコンパクト化は Strominger (1986) および De Wit, Smith and Hari Dass (1987) により，従来の Calabi-Yau コンパクト化の一般化として導入された．こうしたコンパクト化ではワープ因子を含むため，$10$次元計量は外部空間と内部空間の直積ではなくなる．ノーゴー定理は多くの場合においてそのような理論が通常の Calabi-Yau コンパクト化に還元されることを示唆した．しかし，非摂動的弦理論や M-theory の発展に伴い，ノーゴー定理は回避可能であることが明らかになった．フラックスコンパクト化は M-theory の文脈では Becker and Becker (1996)，F-theory の文脈では Dasgupta, Rajesh and Sethi (1999) によって最初に詳しく研究された．Giddings, Kachru and Polchinski (2002) はフラックスコンパクト化が大きなスケール階層を生み出す仕組みを説明した．Graña (2006) はフラックスコンパクト化の概説を提供している．

Gukov, Vafa and Witten (2001) は，フラックスコンパクト化がモジュライ空間の問題を解く可能性があることを示した．その理由はモジュライ場に対して非零のポテンシャルが生成されるためである．これにより，Susskind (2003) で導入された string theory landscape が生まれ，膨大な数の可能な弦理論真空を記述する．これらの性質は Douglas (2003) において統計的手法で解析された．フラックスコンパクト化は，Klebanov and Strassler (2000) および Polchinski and Strassler (2000) が指摘したように，閉じ込めを示すゲージ理論の双対的な超重力記述である．ブレーンワールドがコンパクト化の代替を提供するという考えは Randall and Sundrum (1999b) で導入された．

フラックスコンパクト化の宇宙論への応用は活発な研究分野である．Kachru, Kallosh, Linde and Trivedi (2003) は長寿命の準安定な de Sitter 真空の構成を論じ，Kachru, Kallosh, Linde, Maldacena, McAllister and Trivedi (2003) はインフレーションへの応用を論じた．弦宇宙論の総説としては Linde (1999)，Quevedo (2002)，および Danielsson (2005) がある．

弦理論におけるブラックホール

Wald (1984) と Carroll (2004) の一般相対性理論の教科書は有用な背景を提供する．Bekenstein (1973) はブラックホールのエントロピーが事象の地平面の面積に比例すると提案した．Hawking (1975) によるブラックホール放射の発見は，Bardeen，Carter and Hawking (1973) が示したブラックホールの熱力学的振る舞いに関する従前の示唆を裏付けた．情報消失問題は量子力学の破綻の可能性を含意するもので，Hawking (1976) によって指摘された．ストリング理論の手法を用いたブラックホールエントロピーの統計的導出は Strominger and Vafa (1996) が最初に与えた．この件および弦理論におけるブラックホールの他の側面を概説する総説は Sen (1998b)，Maldacena (1998a)，Peet (2001)，Mathur (2006) にある．

アトラクタ機構は Ferrara，Kallosh，Strominger (1995) に導入された．本文の提示は Denef (2000) に従う．黒環（black-ring）解は Emparan and Reall (2002) によって発見された．微視的縮退度とトポロジカル・ストリングを結びつける予想は Ooguri，Strominger，Vafa (2004) によって提案された．この主題の総説は Pioline (2006) にある．微視的ブラックホールの議論は Dabholkar，Denef，Moore，Pioline (2005) に従う．

ゲージ理論/弦理論 双対性

Black $p$-brane 解は Horowitz and Strominger (1996) において構成された． 関連するレビューには Townsend (1996b)，Duff (1996)，および Stelle (1998) がある．

Matrix theoryはBanks, Fischler, Shenker and Susskind (1997)で導入された．離散光錐量子化の解釈で有限$N$に対するものはSusskind (1997)により提案された．Matrix theoryの総説としてはBigatti and Susskind (1997)，Taylor (1998)，Banks (1998)，およびBilal (1999)がある．なぜMatrix theoryが正しいかの説明はSeiberg (1997)およびSen (1998a)に与えられている．Matrix string theoryはDijkgraaf, Verlinde and Verlinde (1997)によって定式化された．Berenstein, Maldacena and Nastase (2002)は，平面波背景のM-theoryを記述するMatrix theoryの一般化を与えた．

U(N)ゲージ理論の大規模$N$展開は 't Hooft (1974) によって示された．AdS/CFT 対応は Maldacena (1998) によって明確に示された．それ以前にも Maldacena and Strominger (1997a, 1997b) および Douglas, Polchinski and Strominger (1997) においてそのような関連性を示唆する指摘があった．AdS/CFT のいくつかの側面は Klebanov (1997)，Gubser, Klebanov and Tseytlin (1997) および Gubser and Klebanov (1997) にも現れる．重要な詳細は Gubser, Klebanov and Polyakov (1998) と Witten (1998b) によって解明された．AdS/CFT 対応および関連主題の詳しい総説は Aharony, Gubser, Maldacena, Ooguri and Oz (2000) にある．本文で扱っていないいくつかの最近の発展には Kazakov, Marshakov, Minahan and Zarembo (2004)，Lin, Lunin and Maldacena (2004)，Beisert and Staudacher (2005) および Hofman and Maldacena (2006) がある．

Type IIB superstring theory on $AdS_5 \times T^{1,1}$，すなわち the conifold の場の理論双対は Klebanov and Witten (1998) により同定された． fractional branes の追加に伴う双対性カスケードは Klebanov and Strassler (2000) で説明され，これは Polchinski and Strassler (2000)，Klebanov and Nekrasov (2000)，および Klebanov and Tseytlin (2000) の先行研究に基づく．

Blau, Figueroa-O'Farrill, Hull and Papadopoulos (2002a) は，Type IIB superstring theory が最大超対称な平面波解を許すことを発見した．Metsaev (2002) は，この背景に対する world-sheet action がライトコーンの GS 形式において自由理論になることを示した．AdS/CFT 双対性の平面波極限は Berenstein, Maldacena and Nastase (2002) によって導入された．

幾何学的遷移は Gopakumar and Vafa (1999) で初めて議論された． それらは大規模$N$極限の研究において Vafa (2001) や Maldacena and Nuñez (2001b) などで利用されている．

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