RNS形式

参考文献：K. Becker, M. Becker, J. Schwarz, "String Theory and M-Theory", Cambridge University Press, 2007.

ボソン弦理論は，2つの点で不満足である．第一に，閉弦のスペクトルにタキオンが含まれている．開弦を含める選択をした場合，追加の開弦タキオンが現れる．タキオンは真空の不安定性を意味するため非物理的である．スペクトルからの開弦タキオンの除去は，D-braneの閉弦への崩壊という観点から理解されている．しかし，閉弦タキオンの運命はまだ決定されていない．

ボソン弦理論の第二の不満足な特徴は，開弦と閉弦の両方のスペクトルにフェルミオンが含まれていないことである． フェルミオンは当然ながら自然界で重要な役割を果たしている． その結果，弦理論を自然界の記述に用いたい場合，フェルミオンを組み込む必要がある．弦理論では，フェルミオンを理論に組み込むには超対称性，すなわちボソンとフェルミオンを関係づける対称性を必要とすることが分かり，その結果得られる弦理論は超弦理論と呼ばれる．弦理論に超対称性を組み込むために，次の2つの基本的なアプローチが開発されている[1]：

• Ramond-Neveu-Schwarz（RNS）形式は，弦の世界面上で超対称的である．
• Green-Schwarz（GS）形式は，10次元Minkowski時空で超対称的である．これは他の背景時空幾何学に一般化できる．

これら2つのアプローチは，少なくとも10次元Minkowski時空においては等価である．ここでは，世界面超対称性に基づく超弦理論のRNS定式化について述べる．

目次

• Ramond-Neveu-Schwarz弦
• 大域的な世界面超対称性
  • 超空間
• 拘束方程式と共形不変性
• 境界条件とモード展開
  • 開弦
  • 閉弦
• RNS弦の正準量子化
  • 超Virasoro生成子と物理状態
  • 負ノルム状態の除去
• RNS弦の光円錐ゲージ量子化
  • スペクトルの解析
  • ゼロ点エネルギー
  • GSO射影
• SCFTとBRST

Ramond-Neveu-Schwarz弦

RNS形式では，ボソン場 $X^\mu(\sigma, \tau)$ とフェルミオンのパートナー $\psi^\mu(\sigma, \tau)$ とを組み合わされる．新しい場 $\psi^\mu(\sigma, \tau)$ は，世界面上の2成分スピノールであり，$D$次元時空のLorentz変換の下でベクトルとして変換される．これらの場は反交換的であり，スピン統計に整合している．$D = 10$次元でのスピン統計との整合性も達成されるが，この時点ではそれほど明白ではない．

共形ゲージ$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$におけるボソン弦の作用は（$\alpha' = 1/2$ すなわち $T = 1/\pi$ の場合） $$ S=-\frac{1}{2\pi}\int d^2\sigma \partial_{\alpha}X_{\mu}\partial^{\alpha}X^{\mu} $$ であり，これにはVirasoro拘束条件を課される．これは2次元の自由なボソン場の理論とみなせる．この作用を一般化するために，世界面上のフェルミオンを記述する追加の内部自由度を導入する． 具体的には，Lorentz群 $SO(1,D-1)$ のベクトル表現に属する $D$ 個のMajoranaフェルミオンを組み込むことができる．すぐ後に示す2次元Dirac代数の表現では，Majoranaスピノールは実スピノールと等価である．作用は，$D$ 個の質量のないボソンの自由な理論に，$D$ 個の質量のないフェルミオンの標準的なDirac作用を加えることで得られる： $$ S=-\frac{1}{2\pi}\int d^2\sigma \left(\partial_{\alpha}X_{\mu}\partial^{\alpha}X^{\mu} +\bar{\psi}^{\mu}\rho^{\alpha}\partial_{\alpha}\psi_{\mu}\right) $$ ここで $\rho^\alpha$（$\alpha = 0, 1$）は，Dirac代数を満たす2次元Dirac行列である[2]： $$ \{\rho^{\alpha},\rho^{\beta}\} = 2\eta^{\alpha\beta} $$ 明示的に示すために，これらの行列が次の形を取る代数の基底を選ぶ： $$ \rho^{0} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \rho^{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ 古典的には，フェルミオンの世界面上の場 $\psi$ はGrassmann数で構成されており，次の反交換関係を満たす． $$ \{\psi^{\mu},\psi^{\nu}\} = 0 $$ もちろん，これは量子化後に変化する．

スピノール $\psi$ は2つの成分 $\psi_{-}, \psi_{+}$ を持つ： $$ \psi^{\mu} = \begin{pmatrix} \psi^{\mu}_{-} \\ \psi^{\mu}_{+} \end{pmatrix} $$ ここで，スピノールのDirac共役を次のように定義する： $$ \bar{\psi}=\psi^{\dagger}\beta,\quad \beta=i\rho^{0} $$ これはMajoranaスピノールの場合，単に $\psi^T\beta$ となる．Dirac行列が純粋に実数であるため，上記の式はMajorana表現であり，Majoranaスピノール $\psi$ は実（Grassmann）数である： $$ \psi^*_+=\psi_+,\quad \psi^*_-=\psi_- $$ この記法では，作用のフェルミオン部分は（Lorentz添え字を省略して）次のように表される： $$ S_f=\frac{i}{\pi}\int d^2\sigma \left(\psi_{-}\partial_{+}\psi_{-} +\psi_{+}\partial_{-}\psi_{+}\right) $$ ここで $\partial_{\pm}$ は，世界面の光円錐座標である．2つのスピノール成分の運動方程式はDirac方程式の形を取り，次のようになる： $$ \partial_{+}\psi_{-} = 0,\quad \partial_{-}\psi_{+} = 0 $$ これらの方程式は左移動波と右移動波を記述する．2次元のスピノールにおいて，これらはWeyl条件に対応する．したがって，場 $\psi$ はMajorana-Weylスピノールである[3]．

大域的な世界面超対称性

この作用は，次の無限小変換に対して不変である： $$ \delta X^{\mu} = i\varepsilon\bar{\psi}^{\mu}, \quad \delta \psi^{\mu} = \rho^{\alpha}\partial_{\alpha}X^{\mu}\varepsilon $$ ここで $\varepsilon$ は反交換なGrassmann数からなる定数の無限小Majoranaスピノールである： $$ \varepsilon = \begin{pmatrix} \varepsilon_{-} \\ \varepsilon_{+} \end{pmatrix} $$ 超対称変換は次の形になる： $$ \delta X^{\mu} = i(\varepsilon_{+}\psi^{\mu}_{-} - \varepsilon_{-}\psi^{\mu}_{+}) $$ $$ \delta \psi^{\mu}_{-} = -2\partial_{-}X^{\mu}\varepsilon_{+} $$ $$ \delta \psi^{\mu}_{+} = 2\partial_{+}X^{\mu}\varepsilon_{-} $$

この対称性は，適切な境界条件のもとでは全微分項を無視できるために成立している．$\varepsilon$が$\sigma$や$\tau$に依存しないので，これは世界面上の大域的な対称性である[4]．この超対称変換は，ボソン場とフェルミオン場を混ぜ合わせる．2次元RNS作用のこのフェルミオン対称性は，1971年にGervaisとSakitaによって指摘され，ほぼ同時期にソ連のGolfandとLikhtmanによって4次元超Poincaré代数が導入された．これらの研究以前は，相対論的場の理論において異なるスピンの粒子を関係づける対称性は不可能だと考えられていた．

超空間

作用は超対称変換の下で不変である．こうした成分表示の作用では，超対称性は明示的には現れない．最も簡単にこの対称性を明示的にする方法は，超空間形式を用いて作用を書き直すことである．超空間とは，通常の時空に加えて反交換（Grassmann）座標を含むような拡張された空間であり，超場は超空間上で定義される場である．超場定式化では，世界面理論にoff-shellの自由度を追加するが，物理的内容は変わらない．この利点は，超対称変換の代数が運動方程式を使わずにoff-shellで閉じることを保証する点にある．

超場定式化は，超対称性を明示的にしたい場合に非常に便利である．保存される超電荷の数が比較的少ない理論では特に有用である．今の場合では超電荷は2つある．空間次元が4より大きい場合，超対称理論では超電荷の数が必然的に4より多くなるため，超場定式化は非常に扱いにくくなったり，場合によっては不可能になることもある．

超世界面座標は $(\sigma^\alpha, \theta_A)$ で与えられる．ここで $$ \theta_A=\begin{pmatrix} \theta_{-} \\ \theta_{+} \end{pmatrix} $$ は反交換なGrassmann座標であり， $$ \{\theta_A,\theta_B\} = 0 $$ で，Majoranaスピノールである．スピノール添字の上下はここでは区別しなくてよく，$\theta^A = \theta_A$ である．通常，これらの添字は省略されることが多い．通常のボソン的な世界面座標については，$\sigma^0 = \tau$，$\sigma^1 = \sigma$ と定義する．このとき，超場 $Y^\mu(\sigma^\alpha, \theta)$ を導入できる．最も一般的なこの関数は，$\theta$ の級数展開を持ち， $$ Y^{\mu}(\sigma^{\alpha},\theta)=X^{\mu}(\sigma^{\alpha}) + \theta_{-}\psi^{\mu}_{-}(\sigma^{\alpha})+\frac{1}{2}\bar{\theta}\theta B^{\mu}(\sigma^{\alpha}) $$ となる．ここで $B^\mu(\sigma^\alpha)$ は補助場であり，理論の物理的内容は変わらない．この場は超対称性を明示的にするために必要である．$\theta$ のより高次の項は，Grassmann数 $\theta_A$ の反交換性により自動的に消えている．Majoranaスピノールの場合，$\bar{\psi}\theta = \bar{\theta}\psi$ となるため，$\theta$ に線形な項は$\bar{\theta}$の線形項と等価である．

超世界面座標の超対称変換の生成子は超電荷と呼ばれ，次のように定義される： $$ Q_A=\frac{\partial}{\partial\bar{\theta}^A}-(\rho^{\alpha}\theta)_A\partial_{\alpha} $$ 世界面超対称変換は，この $Q_A$ を使って表すことができる．超空間上で$\bar{\varepsilon}Q$ は次のような変換を生成する： $$ \delta\theta^A=[\bar{\varepsilon}Q,\theta^A]=\varepsilon^A $$ $$ \delta\sigma^{\alpha}=[\bar{\varepsilon}Q,\sigma^\alpha]=-\bar{\varepsilon}\rho^\alpha\theta=\bar{\theta}\rho^\alpha\varepsilon $$ これは超空間座標の変換であり，超対称変換が超空間の幾何学的な変換として解釈できることを示している．超電荷 $Q$ は超場に対して次のように作用する： $$ \delta Y^{\mu}=[\bar{\varepsilon}Q,Y^\mu]=\bar{\varepsilon}QY^{\mu} $$ この式を成分展開し，2次元のFierz変換 $$ \theta_A\bar{\theta}_B=-\frac{1}{2}\delta_{AB}\bar{\theta}_C\theta_C $$ を用いると，超対称変換は次のようになる： $$ \delta X^{\mu}=\bar{\varepsilon}\psi^{\mu} $$ $$ \delta\psi^{\mu}=\rho^{\alpha}\partial_{\alpha}X^{\mu}\varepsilon+B^{\mu}\varepsilon $$ $$ \delta B^{\mu}=\bar{\varepsilon}\rho^{\alpha}\partial_{\alpha}\psi^{\mu} $$ 最初の2つの式は，補助場 $B^{\mu}$ を含まない場合，前述の超対称変換に一致する．

この作用は，超場の言葉で超共変微分を用いて書くことができる： $$ D_A=\frac{\partial}{\partial\bar{\theta}^A}+(\rho^{\alpha}\theta)_A\partial_{\alpha} $$ ここで $\{D_A, Q_B\} = 0$ であるため，任意の超場 $\Phi$ の超共変微分 $D_A\Phi$ は，超対称性の下で $\Phi$ 自身と同じように変換する．作用は超場で次のように表される： $$ S=\frac{i}{4\pi}\int d^2{\sigma} d^2\theta \bar{D}Y^{\mu}DY_{\mu} $$ Grassmann座標に関する積分の定義は直ぐ後に述べる．これは，$\theta$ 微分の積分がゼロになるという性質を持つ．この超空間作用は超対称性が明示的であり，変分は $$ \delta S = \frac{i}{4\pi}\int d^2\sigma d^2\theta \bar{\varepsilon}Q(\bar{D}Y^{\mu}DY_{\mu}) $$ となる．$Q$ の定義の両方の項は全微分となる：一方は $\sigma$ の全微分，もう一方は $\theta_A$ の全微分である．境界条件によっては，世界面超対称性が破れる場合と保たれる場合があり，どちらも重要である．Grassmann積分に関しては境界項は現れない．

超空間形式の作用は，超場 $Y$ の展開を代入し，Grassmann積分を実行することで成分表示に書き換えることができる．Grassmann積分の基本的なルールは，座標が1つの場合 $$ \int d\theta (a+\theta b)=b $$ となることである．今回の場合，Grassmann座標が2つあり，唯一非ゼロとなる積分は $$ \int d^2\theta \bar{\theta}\theta = -2i $$ である．このルールと次の展開式を用いることで成分表示の作用が導出できる： $$ DY^{\mu}=\psi^{\mu}+\theta B^{\mu}+\rho^{\alpha}\theta\partial_{\alpha}X^{\mu}-\frac{1}{2}\bar{\theta}\theta\rho^{\alpha}\partial_{\alpha}\psi^{\mu} $$ $$ \bar{D}Y^{\mu}=\bar{\psi}^{\mu}+ B^{\mu}\bar{\theta}-\bar{\theta}\partial_{\alpha}X^{\mu}\rho^{\alpha}+\frac{1}{2}\bar{\theta}\theta\partial_{\alpha}\psi^{\mu}\rho^{\alpha} $$ 計算すると， $$ S=-\frac{1}{2\pi}\int d^2\sigma (\partial_{\alpha}X_{\mu}\partial^{\alpha}X^{\mu}+\bar{\psi}^{\mu}\rho^{\alpha}\partial_{\alpha}\psi_{\mu}-B_{\mu}B^{\mu}) $$ となる．この作用から，補助場 $B^{\mu}$ の運動方程式は $B^{\mu} = 0$ となることが分かる．したがって，補助場 $B^{\mu}$ は理論から消去できる．この操作の代償として，超対称性の明示性と超対称代数のoff-shellでの閉性が失われる．

拘束方程式と共形不変性

ここからボソン弦と同様に議論を進める．運動方程式から場のモード展開を導き，標準的な量子化によって理論のスペクトルを構成することができる．負ノルム状態の問題は超対称理論でも現れる．ボソン弦理論の場合，スペクトルに負ノルム状態が含まれているように見えたが，これらは非物理的であることが示された．具体的には，負ノルム状態がdecoupleし，$D=26$でLorentz不変性が維持されることが示された．RNS弦は超共形対称性を持ち，同様の方法で議論を進めることができる．負ノルム状態は，臨界次元$D=10$における超共形対称性から導かれる超Virasoro拘束条件によって除去される．あるいは，光円錐ゲージを固定することで$D=10$でローレンツ不変性を維持することもできる．

RNS弦に対する共形不変性の適切な一般化を議論するために，まず作用の大域的対称性に対応する保存則カレントを構成することから始める．これらは，エネルギー・運動量テンソル（並進対称性に対応）と超カレント（超対称性に対応）である．特に，RNS弦のエネルギー・運動量テンソルは $$ T_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}X^{\mu}\partial_{\beta}X_{\mu}+\frac{1}{4}\bar{\psi}^{\mu}\rho_{\alpha}\partial_{\beta}\psi_{\mu}+\frac{1}{4}\bar{\psi}^{\mu}\rho_{\beta}\partial_{\alpha}\psi_{\mu}-(\text{trace}) $$ で与えられる．RNS弦の世界面超対称性に対応する保存則カレントは，世界面超カレントである．これはNoetherの定理を用いて構成できる．具体的には，超対称性パラメータ $\varepsilon$ を非定数として作用の変化を計算すると，全微分を除いて作用の変分は $$ \delta S \sim \int d^2\sigma (\partial_{\alpha}\bar{\varepsilon})J^{\alpha} $$ となる．ここで $$ J_{A}^{\alpha}=-\frac{1}{2}(\rho^{\beta}\rho^{\alpha}\psi_{\mu})_A\partial_{\beta}X^{\mu} $$ このカレントは $$ (\rho_{\alpha})_{AB}J_B^{\alpha}=0 $$ を満たす．これは $\rho^\alpha\rho^\beta\rho^\alpha = 0$ という恒等式の結果であり，$T_{\alpha\beta}$ のトレースレス性の類似である．実際，これは局所世界面超対称性を持つ定式化における局所超Weyl不変性に由来する．その結果，$J_A^\alpha$ は独立な成分が2つだけとなり，$J_+$ と $J_-$ で表すことができる．

世界面の光円錐座標で書くと，エネルギー・運動量テンソルの非ゼロ成分は \begin{align} T_{++} &= \partial_+ X_\mu \partial_+ X^\mu + \frac{i}{2} \psi^\mu_+ \partial_+ \psi_{+\mu} \\ T_{--} &= \partial_- X_\mu \partial_- X^\mu + \frac{i}{2} \psi^\mu_- \partial_- \psi_{-\mu} \end{align} 同様に，超カレントの非ゼロ成分は $$ J_+=\psi_+^{\mu}\partial_+X_{\mu} \quad J_-=\psi_-^{\mu}\partial_-X_{\mu} $$ 超カレントは保存されており，運動方程式の結果として $$ \partial_-J_+=\partial_+J_- = 0 $$ エネルギー・運動量テンソルも同様の関係を満たす： $$ \partial_-T_{++}=\partial_+T_{--} = 0 $$ これらの関係は運動方程式から直ちに導かれる．しかし，超共形対称性の要請はこれよりも強い条件を課し，超カレントとエネルギー・運動量テンソルの消失を要求する．

理論を量子化するためには，世界面フェルミオン場に対して標準的な反交換関係を導入することができる： $$ \{\psi^{\mu}_A(\sigma,\tau),\psi^{\nu}_B(\sigma',\tau)\} = \pi\eta^{\mu\nu}\delta_{AB}\delta(\sigma-\sigma') $$ これは，世界面ボソン場 $X^\mu(\sigma, \tau)$ の交換関係に加えて課されるものである．$\eta^{00} = -1$ であるため，時間成分フェルミオン $\psi^0$ から負ノルム状態が生じるが，これは時間成分ボソン $X^0$ の場合と同様である．因果的な理論を得るためには，これらの負ノルム状態が物理スペクトルに現れないようにしなければならない．

ここでも冗長な対称性があるため，不要な負ノルム状態を除去することができる．ボソン理論の場合，$T_{+-} = T_{-+} = 0$ という条件はWeyl不変性から導かれ，$T_{++} = T_{--} = 0$ という条件は世界面計量の運動方程式から導かれる．後者の条件は共形不変性を意味することが示された．この対称性を利用して光円錐ゲージを選ぶことができ，量子論では明示的に正ノルムのスペクトルが得られる．RNSの場合も同じ手順を試してみよう．

最初のステップは，時間成分の $\psi$ および $X$ を除去するための拘束条件を定式化することである．ボソンの場合，26次元で Virasoro 拘束 $T_{++} = T_{--} = 0$ を用いて時間成分を除去した．超対称の場合も同様の手順を試み，適切に一般化された Virasoro 条件を用いて時間成分を除去するのが自然である．RNS理論では，対応する条件は $$ J_+ = J_- = T_{++} = T_{--} = 0 $$ となる．この条件はカレントの代数との整合性という観点から理解できる．しかし，より深い理解は，世界面作用が局所超対称性を持つ場合から得られる．これは，世界面超対称性をゲージ化し，世界面のRarita-Schwingerゲージ場と，スピノールを含む理論のために世界面計量の代わりとなるzweibeinを導入することで構成できる．詳細な式は[GSW]に記載されている．共形ゲージにおいて，計量の運動方程式がエネルギー・運動量テンソルの消失を与えるのと同様に，Rarita-Schwinger場の運動方程式は超カレントの消失を与える．

境界条件とモード展開

ボソン場 $X^\mu$ の可能な境界条件とモード展開は，ボソン弦理論の場合と全く同じであるため，ここではその議論は繰り返さない．

Lorentz添字を省略すると，フェルミオン場 $\psi$ の光円錐世界面座標での作用は $$ S_f \sim \int d^2\sigma (\psi_-\partial_+\psi_-+\psi_+\partial_-\psi_+) $$ 場の変分を考えることで，運動方程式が満たされるとき作用が停留することが分かる．作用の変分に現れる境界項は $$ \delta S \sim \int d\tau (\psi_+\delta\psi_+-\psi_-\delta\psi_-)|_{\sigma=\pi}-(\psi_+\delta\psi_+-\psi_-\delta\psi_-)|_{\sigma=0} $$ であり，これも消滅しなければならない．この条件を満たす方法はいくつかあり，次の節で議論する．

開弦

開弦の場合，2つの項は，弦の両端それぞれで独立に消滅しなければならない．この条件は，弦の各端点で $$ \psi_+^{\mu} = \pm \psi_-^{\mu} $$ を課すことで満たされる．$\psi_+$と$\psi_-$の符号は慣習の問題であり，一般性を失うことなく $$ \psi_+^{\mu}|_{\sigma=0} = \psi_-^{\mu}|_{\sigma=0} $$ と選ぶことができる．他方の端点での符号の違いが物理的意味を持ち，次の2つの場合がある：

• Ramond境界条件：この場合，弦のもう一方の端点で $$ \psi_+^{\mu}|_{\sigma=\pi} = \psi_-^{\mu}|_{\sigma=\pi} $$ を課す．後述するように，Ramond（R）境界条件は時空フェルミオンを生じる．Rセクターでのフェルミオン場のモード展開は \begin{align} \psi_-^{\mu}(\sigma,\tau) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}} d_n^{\mu} e^{-in(\tau-\sigma)} \\ \psi_+^{\mu}(\sigma,\tau) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}} d_n^{\mu} e^{-in(\tau+\sigma)} \end{align} となる．Majorana条件により，これらの展開係数は実数であり，$d_{-n}^{\mu} = (d_n^{\mu})^{\dagger}$ となる．規格化係数は後の都合で選ばれている．
• Neveu-Schwarz境界条件：この場合，弦のもう一方の端点で符号が逆になり $$ \psi_+^{\mu}|_{\sigma=\pi} = -\psi_-^{\mu}|_{\sigma=\pi} $$ を課す．後述するように，Neveu-Schwarz（NS）境界条件は時空ボソンを生じる．NSセクターでのモード展開は \begin{align} \psi_-^{\mu}(\sigma,\tau) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{r\in\mathbb{Z}+1/2} b_r^{\mu} e^{-ir(\tau-\sigma)} \\ \psi_+^{\mu}(\sigma,\tau) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{r\in\mathbb{Z}+1/2} b_r^{\mu} e^{-ir(\tau+\sigma)} \end{align} となる．以降，$m,n$は整数，$r,s$は半整数として $$ m,n\in\mathbb{Z} \quad r,s\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2} $$ とする．

閉弦

閉弦の場合，フェルミオンのモードは左・右の2つのセクターに分かれる．境界項が消えるための境界条件は2通りあり， $$ \psi_{\pm}(\sigma)=\pm\psi_{\pm}(\sigma+\pi) $$ となる．正符号は周期的（Ramond），負符号は反周期的（Neveu-Schwarz）境界条件を表す．右・左の各セクターで周期性（R）または反周期性（NS）を独立に選ぶことができる．右向き成分については $$ \psi_{-}^{\mu}(\sigma,\tau)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}d_n^{\mu}e^{-2in(\tau-\sigma)} \quad\text{または}\quad \psi_{-}^{\mu}(\sigma,\tau)=\sum_{r\in\mathbb{Z}+1/2}b_r^{\mu}e^{-2ir(\tau-\sigma)} $$ 左向き成分については $$ \psi_{+}^{\mu}(\sigma,\tau)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\bar{d}_n^{\mu}e^{-2in(\tau+\sigma)} \quad\text{または}\quad \psi_{+}^{\mu}(\sigma,\tau)=\sum_{r\in\mathbb{Z}+1/2}\bar{b}_r^{\mu}e^{-2ir(\tau+\sigma)} $$ 左右の組み合わせにより，閉弦には4つの異なるセクターが存在する．NS-NSおよびR-Rセクターの状態は時空ボソン，NS-RおよびR-NSセクターの状態は時空フェルミオンとなる．

RNS弦の正準量子化

空間座標のFourier展開に現れるモードは，ボソン弦の場合と同じ交換関係を満たす．すなわち， $$ [\alpha_{m}^{\mu},\alpha_{n}^{\nu}]=m\delta_{m+n,0}\eta^{\mu\nu} $$ 閉弦の場合は，もう一組のモード$\tilde{\alpha}_{m}^{\mu}$が存在する．

フェルミオン座標は世界面上の自由なDirac方程式に従う．その結果，正準的な反交換関係で与えられ，Fourier係数は次の関係を満たす： $$ \{b_r^{\mu},b_s^{\nu}\}=\eta^{\mu\nu}\delta_{r+s,0}\quad\text{および}\quad \{d_n^{\mu},d_m^{\nu}\}=\eta^{\mu\nu}\delta_{n+m,0} $$ 上記の反交換関係の右辺に時空計量が現れるため，フェルミオンモードの時間成分はボソンモードの時間成分と同様に負ノルム状態を生じる．これらの負ノルム状態は，共形不変性の適切な一般化によってdecoupleされる．具体的には，ボソン弦の共形対称性はRNS弦の超共形対称性へと一般化され，これがまさに必要な条件となる．

2つのセクターにおける振動子の基底状態は次のように定義される： $$ \alpha_{m}^{\mu}|0\rangle_{\text{R}}=d_{m}^{\mu}|0\rangle_{\text{R}}=0 \quad\text{for } m>0 $$ および $$ \alpha_{m}^{\mu}|0\rangle_{\text{NS}}=b_{m}^{\mu}|0\rangle_{\text{NS}}=0 \quad\text{for } m,r>0 $$ 励起状態は，振動子の負のモード（または生成演算子）を作用させることで構成される．負のモードを作用させると，状態の質量が増加する．NSセクターでは，基底状態は一意であり，これは時空におけるスピン0の状態に対応する．すべての振動子は時空ベクトルとして変換するため，生成演算子を作用させて得られる励起状態も時空ボソンとなる．

対照的に，Rセクターでは基底状態が縮退している．$d_0^{\mu}$ 演算子は，後述する数演算子 $N$ と可換であり，状態の質量を変えずに作用できる．数演算子 $N$ の固有値が質量二乗を決定する．これらのゼロモードは次の代数を満たす： $$ \{d_{0}^{\mu},d_{0}^{\nu}\}=\eta^{\mu\nu} $$ これは係数2を除けば，Dirac代数 $$ \{\Gamma^{\mu},\Gamma^{\nu}\}=2\eta^{\mu\nu} $$ と同一である．したがって，Rセクターの基底状態はこの代数の表現を与えなければならない．つまり，縮退した基底状態の集合があり，スピノール添字 $a$ で $|a\rangle$ と書けて， $$ d_0^{\mu}|a\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Gamma^{\mu}_{ba}|b\rangle $$ となる．よって，Rセクターの基底状態は時空フェルミオンである．すべての振動子（$\alpha_n^{\mu}$ や $d_n^{\mu}$）は時空ベクトルとして変換し，Rセクターのすべての状態はRセクター基底状態に生成演算子を作用させて得られるため，Rセクターのすべての状態は時空フェルミオンとなる．

超Virasoro生成子と物理状態

超Virasoro生成子は，エネルギー・運動量テンソル $T_{++}$ および超カレント $J_+$ のモード展開で定義される．開弦の場合，次のように与えられる： $$ L_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} d\sigma\, e^{im\sigma} T_{++} = L_m^{(b)} + L_m^{(f)} $$

• ボソンモードからの寄与は $$ L_m^{(b)} = \frac{1}{2} \sum_{n\in\mathbb{Z}} :\alpha_{-n} \cdot \alpha_{m+n}: \quad m\in\mathbb{Z} $$
• NSセクターのフェルミオンモードからの寄与は $$ L_m^{(f)} = \frac{1}{2} \sum_{r\in\mathbb{Z}+1/2} \left(r+\frac{m}{2}\right) :b_{-r} \cdot b_{m+r}: \quad m\in\mathbb{Z} $$ NSセクターの超カレントのモードは $$ G_r = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} d\sigma\, e^{ir\sigma} J_+ = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \alpha_{-n} \cdot b_{r+n} \quad r \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2} $$ $L_0$ 演算子は次のように書ける： $$ L_0 = \frac{1}{2} \alpha_0^2 + N $$ ここで数演算子 $N$ は $$ N = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{-n} \cdot \alpha_n + \sum_{r=1/2}^{\infty} r b_{-r} \cdot b_r $$ ボソン弦理論と同様に，$N$ の固有値が励起した弦状態の質量二乗を決定する．
• Rセクターでは $$ L_m^{(f)} = \frac{1}{2} \sum_{n\in\mathbb{Z}} \left( n+\frac{m}{2} \right) :d_{-n} \cdot d_{m+n}: \quad m\in\mathbb{Z} $$ 超カレントのモードは $$ F_m = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} d\sigma\, e^{im\sigma} J_+ = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \alpha_{-n} \cdot d_{m+n} \quad m\in\mathbb{Z} $$ $F_0$ の定義には正規順序化の曖昧さはないことに注意．

RNS弦の量子化では，物理状態に対してVirasoro生成子の正のモードのみが消滅することを要求する．したがって，NSセクターの物理状態条件は \begin{align} G_r|\phi\rangle=0 \quad r>0 \\ L_m|\phi\rangle=0 \quad m> 0 \\ (L_0-a_{\text{NS}})|\phi\rangle=0 \end{align} 最後の条件は $M^2 = N - a_{\text{NS}}$ を意味し，ここで $M$ は状態 $|\phi\rangle$ の質量，$N$ はその状態に対する数演算子の固有値である． 同様に，Rセクターの物理状態条件は \begin{align} F_n|\phi\rangle=0 \quad n\geq 0 \\ L_m|\phi\rangle=0 \quad m> 0 \\ (L_0-a_{\text{R}})|\phi\rangle=0 \end{align} 上記の式に現れる $a_{\text{NS}}$ および $a_{\text{R}}$ は正規順序化の曖昧さを考慮した定数であり，決定する必要がある．実際，Rセクターでは $a_{\text{R}}=0$ となることは $L_0=F_0^2$ と $F_0$ の条件からすぐに分かる．$F_0$ の条件は次のように書ける： $$ \bigg( p\cdot \Gamma + \frac{2\sqrt{2}}{l_s}\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha_{-n}\cdot d_n+d_{-n}\cdot \alpha_n) \bigg)|\phi\rangle = 0 $$ これはDirac方程式の弦理論的な一般化であり，Dirac-Ramond方程式として知られている．

負ノルム状態の除去

ボソン弦の場合と同様に，特定の$a$と$D$の値ではスペクトルにゼロノルム状態が追加で現れる．臨界次元は$D=10$であり，$a$の値はセクターによって異なる： $$ a_{\text{NS}}=\frac{1}{2}\quad\text{および}\quad a_{\text{R}}=0 $$ 以前と同様，理論が光円錐ゲージでLorentz不変となるのは，$a_{\text{NS}}$，$a_{\text{R}}$，$D$がこれらの値を取る場合のみである．

ゼロノルムの偽の状態の簡単な例をいくつか考えてみよう．これらの状態は物理状態と直交しており，物理状態条件を満たしていても理論からdecoupleする．

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RNS弦の光円錐ゲージ量子化

ボソン弦の場合と同様に，共形ゲージ固定後にも余分な対称性が残り，光円錐ゲージ条件 $$ X^{+}(\sigma,\tau)=x^{+}+p^{+}\tau $$ を課すことができる．このことはRNS弦にも当てはまる．さらに，残ったフェルミオン対称性も存在し， $$ \psi^{+}(\sigma,\tau)=0 $$ を同時に課すことができる[5]．Virasoro拘束条件により，光円錐ゲージでは $X^{-}$ 座標は（ゼロモードを除き）独立な自由度ではない．RNS理論を光円錐ゲージで解析した場合も同様である．したがって，すべての独立な物理的励起は，光円錐ゲージにおいて，ボソンおよびフェルミオン振動子の横方向の生成モードを基底状態に作用させることで得られる．

スペクトルの解析

この小節では，光円錐ゲージにおける開弦の最初のいくつかの状態について説明する．フェルミオン場には2種類の境界条件があり，NSセクターとRセクターが生じることに注意．

Neveu-Schwarzセクター

$a_{\text{NS}} = \frac{1}{2}$ であることを思い出すと，NSセクターの質量は $$ \alpha'M^2=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{-n}^{i}\alpha_{n}^{i}+\sum_{r=1/2}^{\infty}r b_{-r}^{i}b_{r}^{i}-\frac{1}{2} $$ このセクターの最初の2つの状態は以下の通り：

• 基底状態は正のモードによって消滅される，すなわち $$ \alpha_{n}^{i}|0;k\rangle_{\text{NS}}=b_{r}^{i}|0;k\rangle_{\text{NS}}=0 \quad n,r>0 $$ また $$ \alpha_0^{\mu}|0;k\rangle_{\text{NS}}=\sqrt{2\alpha'}k^{\mu}|0;k\rangle_{\text{NS}} $$ NSセクターの基底状態は時空におけるスカラーである．質量公式から，NSセクター基底状態の質量 $m$ は $$ \alpha'M^2=-\frac{1}{2} $$ となる．したがって，NSセクターのRNS弦の基底状態は再びタキオンとなる．次の小節でこの状態がスペクトルから除去される方法を説明する．
• NSセクターの最初の励起状態を構成するには，最も低い振動数を持つ生成演算子 $b_{-1/2}^i$ を基底状態に作用させる： $$ b_{-1/2}^i|0;k\rangle_{\text{NS}} $$ ここでは光円錐ゲージなので，添字 $i$ は $D-2=8$ の横方向を表す．$b_{-r}^i$ 演算子は $L_0$ の値を $r$ だけ増加させ，$\alpha_{-m}^i$ は $m$（正の整数）だけ増加させる．したがって，最初の励起状態は $b_{-1/2}^i$ で構成される．この演算子は時空の横方向ベクトルであり，基底状態がスカラーなので，得られる状態は時空ベクトルとなる．10次元で質量のないベクトルに必要な8つの偏極状態があることに注意．ボソン弦の場合と同様，この状態を使って $a_{\text{NS}}$ の値を独立に決定できる．実際，この状態は$SO(8)$の時空ベクトルなので質量がゼロでなければならない．一般に質量は $$ \alpha'M^2=\frac{1}{2}-a_{\text{NS}} $$ で与えられる．したがって，ローレンツ不変性のためにこの状態が質量ゼロであることを要求すると，再び $a_{\text{NS}} = \frac{1}{2}$ が得られる．

Ramondセクター

光円錐ゲージでのRセクターの質量殻条件は $$ \alpha'M^2=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{-n}^{i}\alpha_{n}^{i}+\sum_{n=1}^{\infty}nd_{-n}^{i}d_{n}^{i} $$ となる．このセクターの状態は以下の通り：

• 基底状態は $$ \alpha_n^i|0;k\rangle_{\text{R}}=d_n^i|0;k\rangle_{\text{R}}=0 \quad n>0 $$ および質量のないDirac方程式の解である．状態には表示していないスピノール添字が付いている．前述の通り，これらの方程式の解は一意ではなく，ゼロモードが10次元Dirac代数を満たすため，拘束条件の解は$Spin(9,1)$スピノールとなる．$d_0$での作用は10次元Dirac行列による作用と同じであり，これは$32\times 32$行列である．したがって，Rセクターの基底状態は32成分スピノールで記述される． 10次元ではスピノールはMajorana条件とWeyl条件で制限できる．Majorana条件はすでに暗黙的に課されているが，Weyl射影の可能性はここまでの説明を超える．これを考慮すると，10次元の2つのカイラリティに対応する2つの基底状態がある．両方のカイラリティが許される場合も考えられるが，実際にはそうならない．さらに，Dirac-Ramond方程式も解かなければならない．基底状態では励起振動子は寄与しないため，これは質量のないDirac方程式に帰着する．この方程式を解くことで$Spin(9,1)$スピノールの成分の半分が除去され，$Spin(8)$スピノールが残る．したがって，最終的にRamond基底状態の最小の物理的自由度は$Spin(8)$の既約スピノールに対応する8個となる．この選択（より多くの自由度を持つRセクター基底状態ではなく）は後で必要であることが分かる．
• Rセクターの励起状態は，$\alpha_{-n}^i$や$d_{-n}^i$をRセクター基底状態に作用させることで得られる．これらの演算子は時空ベクトルなので，得られる状態も時空スピノールとなる．さらに，GSO条件（後述）によって様々な可能性が制限される．

ゼロ点エネルギー

ボソン弦の質量殻条件 $(L_0 - a)|\phi\rangle = 0$ におけるパラメータ $a$ は $a=1$ であった．この理由は，世界面上に24個の横方向の周期的なボソン自由度があり，それぞれがゼロ点エネルギー $\frac{1}{2}\zeta(-1)=-\frac{1}{24}$ に寄与するためである．

RNS弦のNSセクターでは $a_{\text{NS}} = \frac{1}{2}$ となり，ゼロ点エネルギーの合計は $-\frac{1}{2}$ となる．このうち $-\frac{8}{24} = -\frac{1}{3}$ は8つの横方向の周期的なボソンに由来する．残りの $-\frac{1}{6}$ は8つの横方向の反周期的な世界面フェルミオンによるもので，それぞれ $-\frac{1}{48}$ を寄与する．

RNS弦のRセクターでは $a_{\text{R}} = 0$ となり，ゼロ点エネルギーの合計は 0 となる．各横方向の周期的な世界面ボソンの寄与は $-\frac{1}{24}$，各横方向の周期的な世界面フェルミオンの寄与は $+\frac{1}{24}$ である．これらが打ち消し合う理由は，R境界条件では世界面超対称性が破れずに保たれているためである．

ここで導出したフェルミオンのゼロ点エネルギーは，ゼータ関数正則化によっても得ることができる．他の文脈では必要となることがあるが，今回必要としなかった反周期的なボソンの場合は，$+1/48$ となることも示せる．

GSO射影

前節では，超Virasoro拘束を満たすRNS弦の状態のスペクトルについて説明した．しかし，このスペクトルにはいくつか問題があることに注意が必要である．まず，NSセクターの基底状態はタキオン，すなわち虚数質量を持つ粒子である．また，スペクトルは時空超対称的ではない．例えば，タキオンと同じ質量を持つフェルミオンはスペクトルに存在しない．質量のないグラビティーノ（局所超対称性のゲージ場の量子）がスペクトルに含まれているため，相互作用する理論として一貫性を保つには超対称性が必要である．この不整合は様々な形で現れる．これは，質量のないYang-Mills場を不完全なゲージ多重項に結合することに類似しており，ゲージ不変性や因果律の破綻につながる．この小節では，スペクトルを非常に特定の方法で切り詰め（射影し），タキオンを除去し，10次元時空で超対称的な理論を得ることでRNS弦理論を一貫した理論にする方法を説明する．この射影はGSO射影と呼ばれ，Gliozzi, Scherk, Oliveによって導入されたものである．

スペクトルの切り詰め（射影）を説明するために，まずGパリティと呼ばれる演算子を定義する[6]．NSセクターでは次のように定義される： $$ G = (-1)^{F+1} = (-1)^{\sum_{r=1/2}^{\infty} b_{-r}^i b_r^i + 1} \quad \text{(NS)} $$ ここで $F$ は $b$ 振動子励起の数，すなわち世界面フェルミオン数である．この演算子は，状態が偶数個か奇数個の世界面フェルミオン励起を持つかを判定する．Rセクターでは対応する定義は $$ G = \Gamma_{11} (-1)^{\sum_{n=1}^{\infty} d_{-n}^i d_n^i} \quad \text{(R)} $$ ここで $$ \Gamma_{11} = \Gamma_0 \Gamma_1 \cdots \Gamma_9 $$ は10次元におけるDirac行列の類似であり，4次元の $\Gamma_5$ に対応するものである．

行列 $\Gamma_{11}$ は次の関係を満たす： $$ (\Gamma_{11})^2=1 \quad \text{かつ} \quad \{\Gamma_{11},\Gamma^{\mu}\}=0 $$ スピノールが $$ \Gamma_{11}\psi=\pm\psi $$ を満たすとき，それぞれ正または負のカイラリティを持つという．カイラリティ射影演算子は $$ P_{\pm}=\frac{1}{2}(1\pm\Gamma_{11}) $$ で与えられる．カイラリティが定まったスピノールはWeylスピノールと呼ばれる．

GSO射影は，NSセクターでは正のGパリティを持つ状態のみを残すことからなる．すなわち， $$ (-1)^{F_{\text{NS}}} = -1 $$ となる状態のみを残し，負のGパリティを持つ状態は除去する．言い換えれば，NSセクターのすべての状態は$b$-振動子励起の数が奇数でなければならない．Rセクターでは，スピノール基底状態のカイラリティに応じて，正または負のGパリティを持つ状態に射影することができる．この選択は純粋に慣習の問題である．

GSO射影によって，開弦のタキオンはスペクトルから除去される．なぜなら，タキオン状態は負のGパリティを持つからである： $$ G|0\rangle_{\text{NS}} = -|0\rangle_{\text{NS}} $$ 一方，最初の励起状態 $b_{-1/2}|0\rangle_{\text{NS}}$ は正のGパリティを持ち，GSO射影後も残る．この結果，GSO射影後にはこの質量ゼロのベクトルボソンがNSセクターの基底状態となる．これは，フェルミオンセクターの基底状態が質量ゼロのスピノールであることとよく対応している．GSO射影によってスペクトルが時空超対称的になる可能性が初めて示唆される．現時点ではGSO射影は一見すると任意の条件のように見えるが，実際には理論の一貫性のために不可欠である．1ループや2ループのモジュラー不変性を要求することで導出することも可能である．より簡単な説明としては，GSO射影によって超対称的なスペクトルが得られる点が挙げられる．すでに述べたように，閉弦スペクトルには質量ゼロのグラビティーノ（または2つ）が含まれており，超対称性がなければ相互作用する理論として一貫性が保てない．特に，各質量レベルで物理的なボソンとフェルミオンの自由度の数が等しいことが必要である．これが実現可能かどうかを確認するため，スペクトルの最低位の状態を調べてみよう．

Rセクターの基底状態は質量ゼロのスピノールであり，NSセクターの基底状態は質量ゼロのベクトルである．物理的自由度の数を比較してみよう．GSO射影後のNSセクターの基底状態は $b_{-1/2}|0;k\rangle$ であり，伝播する自由度は8つだけである．これは光円錐ゲージで最も簡単に確認でき，先に述べたように8つの横方向励起 $b_{-1/2}^i|0;k\rangle$ だけが存在する．この自由度の数はフェルミオンの自由度の数と一致しなければならない．

10次元のフェルミオンは32個の複素成分を持つ．一般に，$D$次元のスピノールは$2^{D/2}$個の複素成分を持つ（$D$が偶数の場合）．しかし，スピノールはさらにMajorana条件とWeyl条件によって制限でき，それぞれ成分数が半分になる．10次元ではこの2つの条件が両立可能であり，Majorana-Weylスピノールは16個の実成分を持つ[7]．Majorana表現では，Majorana条件はスピノールが実数であることを意味する．したがって，この制限により10次元で32個の実成分が残る．Weyl条件はスピノールが定まったカイラリティ（$\Gamma_{11}$の固有状態）を持つことを意味する．前述の通り，10次元ではMajorana条件とWeyl条件を同時に満たすことができ，Majorana-Weylスピノールは16個の実成分となる．さらにDirac方程式を課すと，これらの成分の半分が除去され，8個の実成分が残る．これはNSセクターの基底状態の自由度の数と一致する．したがって，基底状態，すなわち質量ゼロのセクターでは，物理的on-shellのボソンとフェルミオンの自由度の数が等しくなる．これらは$Spin(8)$の2つの同値でない実8次元表現を構成する．ボソンとフェルミオンの自由度の一致は，超対称性多重項を構成するための必要条件だが十分条件ではない．超対称性の証明は別で述べる．

一見すると明らかではないが，GSO射影によって各質量レベルでボソンとフェルミオンの自由度の数が等しくなることは事実であり，これは時空超対称性が要求する条件である．これは時空超対称性の強い証拠となるが，証明ではない．証明は別で述べる．別のアプローチ，Green-Schwarz（GS）形式では時空超対称性が明示的に現れるという利点がある．

質量のない閉弦のスペクトル

閉弦のスペクトルを解析するには，左向き成分と右向き成分を考慮する必要がある．その結果，4つのセクター（R-R，R-NS，NS-R，NS-NS）が存在する．NSセクターで正のGパリティを持つ状態に射影することで，タキオンは除去される．Rセクターでは，基底状態のカイラリティに応じて，正または負のGパリティを持つ状態に射影できる．したがって，左・右のRセクターのGパリティが同じか異なるかによって，2種類の理論が得られる．

type IIB理論では，左向き・右向きのRセクター基底状態は同じカイラリティ（ここでは正とする）を持つ．そのため，両方のRセクターは同じGパリティとなる．これらを $|+\rangle_{\text{R}}$ と表すことにする．この場合，type IIB閉弦スペクトルの質量ゼロ状態は次の通り： \begin{align} |+\rangle_{\text{R}}\otimes|+\rangle_{\text{R}} \\ \tilde{b}_{-1/2}^{i}|0\rangle_{\text{NS}}\otimes b_{-1/2}^j|0\rangle_{\text{NS}} \\ \tilde{b}_{-1/2}^{i}|0\rangle_{\text{NS}}\otimes |+\rangle_{\text{R}} \\ |+\rangle_{\text{R}}\otimes b_{-1/2}^i|0\rangle_{\text{NS}} \end{align} $|+\rangle_{\text{R}}$ は8成分スピノールなので，各セクターには $8 \times 8 = 64$ 個の物理状態が含まれる．

type IIA理論では，左向き・右向きのRセクター基底状態が逆のカイラリティを持つように選ばれる．スペクトルの質量ゼロ状態は次の通り： \begin{align} |-\rangle_{\text{R}}\otimes|+\rangle_{\text{R}} \\ \tilde{b}_{-1/2}^{i}|0\rangle_{\text{NS}}\otimes b_{-1/2}^j|0\rangle_{\text{NS}} \\ \tilde{b}_{-1/2}^{i}|0\rangle_{\text{NS}}\otimes |+\rangle_{\text{R}} \\ |-\rangle_{\text{R}}\otimes b_{-1/2}^i|0\rangle_{\text{NS}} \end{align} これらの状態はtype IIB弦のものと非常によく似ているが，フェルミオン状態が2種類の異なるカイラリティを持つ点が異なる．

各type II閉弦理論の質量ゼロスペクトルには，2つのMajorana-Weylグラビティーノが含まれており，したがって$\mathcal{N}=2$超重力多重項を構成する．これら多重項の各状態は理論の中で重要な役割を果たす．各質量ゼロセクターには64個の状態があり，以下にまとめる．

• NS-NSセクター：このセクターはtype IIAとtype IIBの両方で同じである．スペクトルにはディラトンと呼ばれるスカラー（1状態），反対称2次形式ゲージ場（28状態），対称トレースレス2次形式テンソルであるグラビトン（35状態）が含まれる．
• NS-RおよびR-NSセクター：それぞれのセクターにはスピン3/2のグラビティーノ（56状態）とディラティーノと呼ばれるスピン1/2フェルミオン（8状態）が含まれる．IIBの場合，2つのグラビティーノは同じカイラリティを持ち，IIAの場合は逆のカイラリティを持つ．
• R-Rセクター：これらの状態は，2つのMajorana-Weylスピノールのテンソル積によって得られるボソンである．IIAの場合，2つのMajorana-Weylスピノールは逆のカイラリティを持ち，1形式（ベクトル）ゲージ場（8状態）と3形式ゲージ場（56状態）が得られる．IIBの場合，2つのMajorana-Weylスピノールは同じカイラリティを持ち，0形式（スカラー）ゲージ場（1状態），2形式ゲージ場（28状態），および自己双対な場強を持つ4形式ゲージ場（35状態）が得られる．

SCFTとBRST