ヘテロティック弦理論

参考文献：K. Becker, M. Becker, J. Schwarz, "String Theory and M-Theory", Cambridge University Press, 2007.

これまでの稿ではボソン弦およびI型・II型超弦理論について述べた．ボソン弦の場合，世界面理論の共形アノマリーを打ち消すことを要求することにより，$26$次元Minkowski時空が導かれる．同様の論拠により，I型およびII型超弦理論は$D = 10$であるべきであるという結論に至る．

これらの理論ではいずれも世界面の自由度は左移動モードと右移動モードに分けることができる．ただし開いた弦の場合，それらは定常波を与えるように結合することが必要である．II型超弦理論では，左移動モードと右移動モードがそれぞれ独立した保存された超対称生成子を導入し，それぞれは16個の実成分を持つMajorana-Weylスピノールである．したがってII型超弦理論はそのような保存生成子を2つ持ち，すなわち$\mathcal{N} = 2$超対称性を持つ．これは32個の保存超電荷を持つことを意味する．IIA型とIIB型は，2つのMajorana-Weylスピノールが同じカイラリティを持つか（IIB型），あるいは反対のカイラリティを持つか（IIA型）で区別される．I型超弦理論およびorientifold射影を含む関連した理論では，射影を通過して残る唯一の保存超電荷はIIB型超弦理論の左移動超電荷と右移動超電荷の和である．したがってこれらの理論は10次元で$\mathcal{N} = 1$超対称性を持つ．

10次元で$\mathcal{N} = 1$の超対称性を持つ超対称弦理論を構成する別の方法があり，本稿はそれを説明する．これらの理論はヘテロティック弦理論と呼ばれ，26次元のボソン弦理論の左移動自由度と10次元の超弦理論の右移動自由度を組み合わせることでこの超対称性を実現する．一見するとこのような組合せが妥当であるとは驚きだが，興味深い新しい超弦理論につながる．ヘテロティック弦理論は10次元で$\mathcal{N} = 1$の超対称性を持つため，以前の稿で述べたアノマリー消去による整合条件の対象となる．したがってそのスペクトルには，$SO(32)$もしくは$E_8 \times E_8$のゲージ群に基づく質量のない超Yang-Mills多重項が含まれていなければならない．

ヘテロティック構成は，$E_8 \times E_8$ゲージ対称性を持つ10次元超弦理論の唯一の構成であるが，M理論との興味深い関連があり，これは後の稿で扱われる．一方，ヘテロティック弦は$SO(32)$ゲージ対称性の別の実現を与える．この群は前の稿で導出されたI型超弦理論のゲージ群である．後の稿では，これら二つの$SO(32)$理論が実際には同一の理論の双対な定式化であることを示す．

目次

• 弦理論における非可換ゲージ対称性
  • Dブレーンとorientifold平面

弦理論における非可換ゲージ対称性

弦理論は局所ゲージ対称性のなかでも最も興味深い型を自然に生成する．これらの対称性は，重力子に対応するスピン$2$の量子に結びつく一般座標変換不変性，グラビティーノに対応するスピン$3/2$の量子に結びつく局所超対称性，そしてゲージ粒子に対応するスピン$1$の量子に結びつくYang-Mills型の局所ゲージ不変性である．実験的に未確認なのは超対称性のみだが，それに対する間接的な証拠はいくつか存在する．このような素晴らしい可能性を自然が利用していないというのは驚くべきことだろう．実際，弦理論が正しければ，超対称性は少なくともPlanckスケールでは何らかの役割を果たすはずである．確実に観測されており，したがって弦理論に組み込むべきものは局所ゲージ対称性である．実際，素粒子の標準模型は強・弱・電磁相互作用を記述するために$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$の局所ゲージ対称性に基づいている．

Dブレーンとorientifold平面

これまで示した弦理論の記述では，非可換ゲージ対称性を実現する機構は一つしか説明していない．それは端がChan-Paton量子数を持つ開いた弦が$D$ブレーン上に端を持つというものである．I型超弦理論の$SO(32)$ゲージ対称性はこの方法で実現される．この理論では開いた弦は時空を満たす$16$個の$D9$ブレーン上に端を持ち，さらに時空を満たすorientifold平面も存在する．しかし，$SO(32)$は非常に大きな群であるとはいえ，標準模型を組み込む出発点として必ずしも適切ではない．余剰次元のコンパクト化において，$D$ブレーンやorientifold平面を利用して非可換ゲージ対称性を実現する可能性ははるかに多様化する．

II型超弦理論の場合，余剰次元をコンパクト化したあと，さまざまなDブレーンが$4$つの非コンパクト次元を埋めるか，コンパクト次元内のさまざまなサイクルに巻き付くことがある．前の稿で説明したように，$N$個の重なったDブレーンはその世界体積上に$U(N)$のゲージ対称性を持つ．さらに，コンパクト化にorientifold平面や特異点が存在する場合，ほかの種類のゲージ群も現れ得る．したがって，各種のDブレーンの集合や場合によってはorientifold平面を組み込むことで，多様なゲージ理論を実現できる．これは素粒子の現実的な弦モデルを構築するために研究されている主要なアプローチの一つである．このような構成は後の章で詳述される．

内部空間の等長性

コンパクト化空間が等長性を持つ場合，ゲージ対称性を生成する別の可能性がある．そのとき，コンパクト多様体上の10次元重力子のゼロモードは非コンパクト次元においてゲージ場として現れ，その多様体の対称性をゲージ対称性として実現する．これは Kaluza–Klein コンパクト化の基本的特徴である．例えばコンパクト空間が $N$-トーラス $T^N$ の場合，$U(1)^N$ のゲージ対称性が得られる．同様に $N$-球 $S^N$ は $SO(N+1)$ のゲージ対称性を生じさせ，複素次元数 $N$ の射影空間 $\mathbb{CP}^N$ は $SU(N+1)$ のゲージ対称性を与える．$S^5$ の場合は Chapter 12 の AdS/CFT 対応において重要な役割を果たす．

ヘテロティック弦

本章で述べるヘテロティック弦理論は，局所ゲージ対称性を実現するために弦理論特有の別の機構を利用している．ヘテロティック理論は向きのある閉弦であり，左移動モードと右移動モードの性質が異なる．前述のように，超対称性の生成子は弦の右移動カレントが担う．ヘテロティック理論では Yang–Mills ゲージ対称性も同様の方法で実現される．すなわち，Yang–Mills ゲージ対称性の保存荷は弦の左移動カレントが担う．したがってゲージ荷は閉弦全体にわたって均等に分布する．これは開弦の端点にゲージ荷が局在する type I 超弦理論の場合と対照的である．

ヘテロティック弦のフェルミオン的構成

この節ではヘテロティック弦の作用を構成する． ボソニック弦を記述する共形ゲージ作用は $$ S=\frac{1}{2\pi}\int d^2\sigma \partial_{\alpha}X_{\mu}\partial^{\alpha}X^{\mu} $$ である．時空の次元は$D=26$である．これは左移動モードと右移動モードの両方に対するVirasoro制約で補われる． RNS形式の超弦に対応する共形ゲージ作用は $$ S=-\frac{1}{2\pi}\int d^2\sigma (\partial_{\alpha}X_{\mu}\partial^{\alpha}X^{\mu}+\bar{\psi}^{\mu}\rho^{\alpha}\partial_{\alpha}\psi_{\mu}) $$ である．この場合$D=10$で，左移動モードと右移動モードの両方に対するsuper-Virasoro制約がある．ワールドシート場は10個の2成分Majoranaスピノールである．この超弦作用はワールドシート超対称性を持つ．時空の超対称性はRセクターとNSセクターの両方を含め，GSO射影を課すことで生じる．Chapter 5で述べた通り．

ゲージ自由度を取り入れるため，ボソニック弦理論のやや異なる拡張を考える．具体的には，時空のローレンツ変換に対して不変（singlet）であるが内部量子数を持つワールドシートフェルミオンを追加する．$A = 1,\ldots,n$ として $n$ 個の Majorana フェルミオン $\lambda^A$ を導入すると，作用は次のようになる． $$ S=-\frac{1}{2\pi}\int d^2\sigma (\partial_{\alpha}X_{\mu}\partial^{\alpha}X^{\mu}+\bar{\lambda}^{A}\rho^{\alpha}\partial_{\alpha}\lambda^{A}) $$ この理論は明らかな全体 $SO(n)$ 対称性を持ち，$\lambda^A$ は基本表現で変換し座標 $X^\mu$ は不変である．フェルミオンは中心荷（central charge）に半単位を寄与するため，全中心荷が $26$ であるという要請は $D + n/2 = 26$ を満たすことで達成される．これはボソニック弦理論を $D< 26$ へコンパクト化した一つの記述である．

この理論をより注意深く検討すると，対称性が実際には $SO(n)$ より大きいことが分かる．実際にワールドシートを光円錐座標で明示的に書くと $$ S=\frac{1}{\pi}\int d^2\sigma (2\partial_{+}X_{\mu}\partial_{-}X^{\mu}+i\lambda_{-}^{A}\partial_{+}\lambda_{-}^{A}+i\lambda_{+}^{A}\partial_{-}\lambda_{+}^{A}) $$ のようになる．このように表記すると，左移動モードと右移動モードがそれぞれ独立に変換する（望ましくない）$SO(n)_L \times SO(n)_R$ のグローバル対称性を実際に持つことが明らかになる．例えば右移動モードを捨てて左移動フェルミオンのみで扱うことを試みることはできるが，その場合左右両方の中心荷の条件を同時に満たすことは不可能になるという問題がある．

これまでボソニック弦（臨界次元$26$）と超弦（臨界次元$10$）について述べた．両者ともワールドシートの左移動と右移動は完全にデカップルしている．この左右移動の独立性を利用して，Gross, Harvey, Martinec and Rohm は左移動にボソニック弦の構造を，右移動に超弦の構造を用いる一種の弦理論を提案した．彼らはこの混成理論をヘテロティック弦と名付けた．

時空の超対称性は超弦に対応する右移動セクターに実装される．このセクターには右移動のsuper-Virasoro制約と，通常の種類のGSO射影が関連付けられている．これによりタキオンが時空の超対称性によって除去され，タキオンの不在が保証される．

左移動モードはボソニック弦理論に対応するため，左移動の中心荷は$26$であるべきであり，左移動Virasoro代数による制約が存在する．一つの可能性として，ヘテロティック弦のフェルミオン的構成では，左移動に$10$個のボソニック自由度と$32$個の左移動フェルミオン$\lambda^A$を導入する．これにより中心荷は$10 + 32\times\frac{1}{2} = 26$となる．この記述から，10個の座標$X^\mu$が左右両方の移動自由度を持つためこの理論が10次元であることが明らかになる．残りの自由度は左移動および右移動のフェルミオンによって記述される．このヘテロティック弦の定式化については本節の残りで詳述する．

ヘテロティック弦には同等なボソニック構成も存在し，左移動ボソニック座標を$26$個用いる．左移動セクターと右移動セクターで時空次元数が異なって見える点は驚きである．この記述では本当の時空次元数がいくつなのか疑問に思うかもしれない．しかし既に述べたように，この記述はフェルミオン的構成と同値であり，フェルミオン的構成ではこの理論が$10$次元であることが明らかである．ヘテロティック弦のボソニック記述は Section 7.4 に示される．

ヘテロティック弦のフェルミオン的構成における作用は $$ S=\frac{1}{\pi}\int d^2\sigma (2\partial_{+}X_{\mu}\partial_{-}X^{\mu}+i\psi^{\mu}\partial_{+}\psi_{\mu}+i\sum_{A=1}^{32}\lambda^{A}\partial_{-}\lambda^{A}) $$ である．ここで$\mu=0,\ldots,9$は10次元ローレンツ群$SO(9,1)$のベクトル表現の添字であり，$\lambda^{A}$はローレンツ単位表現である．両者のフェルミオンはいずれも2次元ワールドシートのローレンツ群から見て1成分のMajorana–Weylスピノールである．

運動方程式を解くと，右移動するボソンが10個の $X_R(\sigma^-)$，左移動するボソンが10個の $X_L(\sigma^+)$ が存在する．さらに右移動するフェルミオンが10個の $\psi(\sigma^-)$，左移動するフェルミオンが32個の $\lambda^A(\sigma^+)$ が存在する．これらの場は右移動の中心荷 $\hat{c} = 3c/2 = 10$ および左移動の中心荷 $c = 26$ を与える，ここで各 Majorana フェルミオンは $c = 1/2$ を寄与する．左移動と右移動の両方に対して $b$ および $c$ ゴーストを導入し，さらに右移動に限って $\beta$ と $\gamma$ ゴーストを導入すると中心荷は打ち消される．したがって右移動側には超共形対称性が，左移動側には共形対称性が存在する．

前述のように，この作用は明示的な $SO(32)$ 対称性を持ち，$\lambda^A$ は基本表現で変換する．このワールドシート理論の大域的対称性は時空理論の対応する局所ゲージ対称性をもたらす．この時点で，どのようにして $E_8 \times E_8$ のゲージ対称性を得られるのか不思議に思えるかもしれない．異なる可能性を識別する鍵は，$\lambda^A$ に対する GSO 射影の選択であり，これについては Section 7.2 で説明する．

右移動モードにはワールドシートの超対称性が存在し，その変換は次のように与えられる． $$ \delta X^{\mu}=i\varepsilon\psi^{\mu},\quad \delta\psi^{\mu}=-2\varepsilon\partial_{-}X^{\mu} $$ これはゲージ固定前に存在する局所超対称性が共形ゲージで残ったものである．この本来の局所超対称性が，右移動側の制約がsuper-Virasoro代数によって与えられる理由である．左移動側には超対称性は存在しない．

$SO(32)$ ヘテロティック弦

$SO(32)$ ヘテロティック弦の解析を，Chapter 4で用いた超弦の手法に類似した方法で開始する．

右移動側

ヘテロティック弦の右移動モードは，type II 超弦の右移動側と同様の super-Virasoro 制約を満たす．その場合と同様に，NS セクターと R セクターが存在する．両セクターとも Chapter 5 で述べた GSO 射影を課す．

• NS セクターのオンシェル物理状態 $|\phi\rangle$ は，次の条件を満たす． $$ G_r|\phi\rangle=L_m|\phi\rangle=\left(L_0-\frac{1}{2}\right)|\phi\rangle=0,\quad r,m>0 $$ ここで各 super-Virasoro 生成子は Chapter 4 と同じ式で与えられる．質量殻条件は $L_0$ 方程式で与えられる． $$ \left( L_0-\frac{1}{2} \right)|\phi\rangle = \left( \frac{p^2}{8}+N_R-\frac{1}{2} \right)|\phi\rangle=0 $$ ここで $$ N_R=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{-n}\cdot\alpha_{n}+\sum_{r=1/2}^{\infty}rb_{-r}\cdot b_{r} $$
• R セクターの物理状態条件は次の通りである． $$ F_m|\phi\rangle=L_m|\phi\rangle=0,\quad m\geq0 $$ これは質量殻条件を含む． $$ L_0|\phi\rangle=\left( \frac{p^2}{8}+N_R \right)|\phi\rangle=0 $$ ここで $$ N_R=\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha_{-n}\cdot\alpha_{n}+nd_{-n}\cdot d_n) $$

あるいは，Chapter 5 の light-cone GS 形式を用いると，別々のセクターを組み合わせたり GSO 射影を課したりする必要のない，右移動モードの非常に簡単な記述が得られる．むしろ単に $L_0|\phi\rangle=\left( \frac{p^2}{8}+N_R \right)|\phi\rangle=0$ を満たす．ここで $N_R=\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha_{-n}^i\alpha_{n}^i+nS_{-n}^{a}S_{n}^a)$ である．Chapter 5 で説明したように，横方向の添字 $i$ とスピノルの添字 $a$ はそれぞれ八つの値を取る．この形式における質量殻条件は $M^2=8N_R$ であり，これにより超対称性に従ってタキオンが存在しないことが既に示される．

左移動側

左移動のフェルミオン場 $ \lambda^A $ は，RNS 形式のフェルミオン座標 $ \psi $ と同様に周期境界条件または反周期境界条件をとることができる． 周期境界条件は P セクターを定義し，これは超弦の R セクターに相当する．P セクターでのモード展開は $$ \lambda^{A}(\tau+\sigma)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\lambda_{n}^{A}e^{-2in(\tau+\sigma)} $$ である．これらのモードは反交換関係を満たす． $$ \{ \lambda_m^A,\lambda_n^B \}=\delta^{AB}\delta_{m+n,0} $$ 反周期境界条件は A セクターを定義し，これは超弦の NS セクターに相当する．A セクターでのモード展開は $$ \lambda^{A}(\tau+\sigma)=\sum_{r\in\mathbb{Z}+1/2}\lambda_{r}^{A}e^{-2ir(\tau+\sigma)} $$ である．これらのモードは反交換関係を満たす． $$ \{ \lambda_r^A,\lambda_s^B \}=\delta^{AB}\delta_{r+s,0} $$ ヘテロティック弦の左移動モードは Virasoro 制約を満たす． $$ \tilde{L}_{m}|\phi\rangle=(\tilde{L}_0-\tilde{a})|\phi\rangle=0,\quad m>0 $$ 光円錐ゲージにして Virasoro 制約を解くと，左移動側では横方向の 8 成分のみが重要になる．左移動に関しては A セクターと P セクターを別々に扱う必要がある．

• P セクターの場合 $$ (\tilde{L}_0-\tilde{a}_P)|\phi\rangle=\left( \frac{p^2}{8}+N_L-\tilde{a}_P \right)|\phi\rangle=0 $$ ここで $$ N_L=\sum_{n=1}^{\infty}\tilde{\alpha}_{-n}\cdot\tilde{\alpha}_n+\sum_{r=1/2}^{\infty}r\lambda_{-r}^A\lambda_r^A $$

左移動の正規順序定数 $\tilde{a}_A$ と $\tilde{a}_P$ を計算する．一般則は光円錐ゲージで最も理解しやすい．そこで物理的自由度のみが寄与する．周期的ボソンの零点エネルギーによる正規順序定数は $1/24$，反周期的フェルミオンは $1/48$，周期的フェルミオンは $-1/24$ を与える．これらの規則を用いると正規順序定数の値は次のようになる． $$ \begin{align*} \tilde{a}_A =& \frac{8}{24} + \frac{32}{48} = 1 \\ \tilde{a}_P =& \frac{8}{24} - \frac{32}{24} = -1 \end{align*} $$ したがって，A セクターの状態の質量公式は $$ \frac{1}{8}M^2 = N_R = N_L - 1 $$ であり，P セクターでは $$ \frac{1}{8}M^2 = N_R = N_L + 1 $$ である．これらの式は質量零の状態が $N_R = 0$ を満たす必要があることを示す．したがって A セクターには質量零状態が存在し，それらは $N_L = 1$ を満たす必要がある．一方，P セクターには質量零状態は存在しない，なぜなら $N_L$ は負になれないからである．

massless スペクトル

質量零状態はAセクターの右移動$N_R=0$の状態と左移動$N_L=1$の状態のテンソル積によって構成される，Pセクターには質量零状態が存在しない．

• 右移動側では$N_R=0$の状態はD = 10のベクトル超多重項に対応する．光円錐ゲージ表記では，$N_R=0$の質量零モードは $$ |i\rangle_R,\;|\dot{a}\rangle_R $$ で表され，これらは横方向回転群 Spin(8) のベクトル表現 $8_v$ とスピノル表現 $8_c$ に対応するボソニックおよびフェルミオニックな基底状態である．
• 左移動側で$N_L=1$を与えるモードは $$ \tilde{\alpha}_{-1}^{i}|0\rangle_L $$ （これは $SO(32)$ では singlet，$SO(8)$ ではベクトル）と $$ \lambda_{-1/2}^{A}\lambda_{-1/2}^{B}|0\rangle_L $$ （これは反対称2階テンソルで次元 $\frac{32\times31}{2}=496$）である．後者はローレンツ単位表現であり，ゲージ群 $SO(32)$ の随伴表現として変換する．

式 (7.31) に示した形の残りの496個の左移動状態 $N_L = 1$ と，右移動側で $N_R = 0$ の16状態とのテンソル積は，ゲージ群 $SO(32)$ の $D = 10$ ベクトル超多重項を与える．重要なのは，全ての質量零のベクトル状態が随伴表現に現れていることであり，これは Yang–Mills 理論が要求することである．これらの超対称性のパートナーである質量零のフェルミオンである gauginos も同様に随伴表現に属する．

GSO型射影

Aセクターのモードは $N_R = N_L - 1$ を満たすよう制約されている．この条件は左移動側に興味深い影響を与える．$N_R$ は式(7.14)で定義されるように整数固有値のみを取り，これに対して $N_L$ は奇数個の $\lambda^A$ オシレーターが真空に作用するとき半整数固有値を取り得る．$N_R = N_L - 1$ という関係は，これらの半整数固有値が物理スペクトルに寄与しないことを意味する．つまり奇数個の $\lambda^A$ オシレーターを持つ状態が射影される．これは GSO 射影を想起させるが，まさに同種の射影であり，$\lambda^A$ オシレーター励起の個数が偶数でなければならないことを意味する． 同様の射影条件が P セクターについてはワンループの単位性により要求される．これは単にレベル整合からは見出せない，なぜなら P セクターのモードはそもそも整数だからである．この場合の射影条件は $(-1)^F = 1$ であり，ここで $$ (-1)^F=\bar{\lambda}_0(-1)^{\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_{-n}^{A}\lambda_{n}^{A}} $$ かつ $$ \bar{\lambda}=\lambda_{0}^{1}\lambda_{0}^{2}\cdots\lambda_{0}^{32} $$ はフェルミオン零モードの積である．$N_L=0$ レベルは本来期待される $2^{16}$ 個のモードのうちちょうど半分のみを寄与する．これは Spin(32) の既約スピノル表現に対応する．実際，この射影条件のためにスピノルの二つの共役類のうち一方だけが物理スペクトルに現れる．結果として，理論のゲージ群はより正確には $\mathrm{Spin}(32)/\mathbb{Z}_2$ と表される．これは Spin(32) の四つの共役類のうち二つが残ることを意味する：随伴共役類（根格子に対応）と，二つのスピノル共役類のうちの一方に対応する共役類である．ベクトル表現 $32$ を含む共役類ともう一方のスピノル共役類は現れない．

$E_8\times E_8$ヘテロティック弦

Chapter 5 のアノマリー解析は，$SO(32)$ に加えてもう一つのコンパクトなLie群，すなわち $E_8\times E_8$ が十次元で一貫した超対称ゲージ理論を持ち得ることを示した．この群は現象論的応用においてより有望である，なぜなら標準模型のゲージ群 $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ が以下の埋め込み連鎖を通じて $E_8$ に含まれるからである． $$ SU(3)\times SU(2)\times U(1) \subset SU(5) \subset SO(10) \subset E_6 \subset E_7 \subset E_8 $$ この連鎖に現れる諸群は，まさに大統一対称性群の候補として最も多く研究されてきた群である．このことはヘテロティック弦のフェルミオン的記述において $E_8\times E_8$ のゲージ対称性を実現しようとする追加の動機を与える．

$SO(32)$ ヘテロティック弦の構成では，世界面作用の明示的な $SO(32)$ 対称性を，32個の左移動フェルミオン $\lambda^A$ のすべてに同じ境界条件（A または P）を各セクターで割り当てることによって解析の全段階で保持した．したがって P セクターは1つ，A セクターも1つしかなかった．$SO(32)$ 対称性を保持することが目的でなくなったなら，あるフェルミオンには A の境界条件を，残りには P の境界条件を与えるようなセクターを導入することを考えるのが自然である．もちろん，理論が超対称性を達成することを目指す限り，右移動フェルミオンの扱い，すなわち $\psi^{\mu}$ や $S^a$ の取り扱いは変えてはならない．それでは，異なる $\lambda^A$ セクターを導入する可能性を検討しよう．

フェルミオンに対する境界条件

フェルミオン $\lambda^A$ のうち $n$ 個が同じ境界条件（A または P）を満たし，残りの $(32 - n)$ 個が独立に A または P の境界条件を取るとする．これが整合な理論を与えるなら，$SO(32)$ の対称性は部分群 $SO(n)\times SO(32 - n)$ に破られると予想される．

セクターは4種類あり，AA，AP，PA，PPと表される．最初のラベルは$\lambda^A$の先頭$n$成分の境界条件を指し，二番目のラベルは残りの$(32 - n)$成分の境界条件を指す．したがって正規順序定数$\tilde{a}$に対して4通りの選択が生じる．ボソンの正規順序定数が$+1/24$であり，周期的フェルミオンが$-1/24$，反周期的フェルミオンが$+1/48$であることを再確認せよ．これを考慮すると，正規順序定数の値は次のようになる． \begin{align*} \tilde{a}_{AA} =& \frac{8}{24}+\frac{n}{48}+\frac{32-n}{48}=1 \\ \tilde{a}_{AP} =& \frac{8}{24}+\frac{n}{48}-\frac{32-n}{24}=\frac{n}{16}-1 \\ \tilde{a}_{PA} =& \frac{8}{24}-\frac{n}{24}+\frac{32-n}{48}=1-\frac{n}{16} \\ \tilde{a}_{PP} =& \frac{8}{24}-\frac{n}{24}-\frac{32-n}{24}=-1 \end{align*} ラベルAAおよびPPのセクターは，前節で議論したSO(32)理論のAおよびPに対応するが，APおよびPAのセクターは新しい．

各セクターにはレベル整合条件が存在し，形は $N_R = N_L - \tilde{a}$ である．$N_R$ の固有値は常に整数であり，$N_L$ の固有値は整数または半整数になり得る．したがって，$\tilde{a}$ が整数または半整数でない限り解は存在しない．これにより $n$ は8の倍数でなければならないことが示される．この表記では，上述したように $n=32$ または $n=0$ の場合は前節で構成した理論に対応する．$n=8$ および $n=24$ の場合はゲージ異常によりスペクトルが不整合となるため除外される．ゆえに，検討に残るのは $n=16$ の場合のみである．

$n=16$の場合

これは最も興味深い場合である．一見するとゲージ対称性は $SO(16)\times SO(16)$ のように思えるが，実際には各 $SO(16)$ 因子は $E_8$ へと拡大される．AP および PA セクターは $n=16$ のとき $\tilde{a}=0$ を持つ．この値のために質量零のスペクトルに状態を寄与させることが可能になり，これが対称性の拡大を理解するうえで極めて重要な事実となる．

今 $n = 16$ の場合の質量零スペクトルを調べる．ライトコーン GS 記述では右移動は $N_R = 0$ であり，ベクトル超多重項を寄与する．これは左移動セクターの質量零状態とテンソル積を取る必要がある．左移動は次の境界条件を取り得る．

• PP セクターは，これまでと同様に質量零スペクトルに寄与しない．
• 一方 AA セクターは $N_L = 1$ の状態を寄与する．これらには次のような状態が含まれる． $$ \tilde{\alpha}_{-1}^{i}|0\rangle_L $$ および $$ \lambda_{-1/2}^{A}\lambda_{-1/2}^{B}|0\rangle_L $$ 八つの状態 (7.41) を右移動のベクトル多重項とテンソル積にすると，SO(32) 理論の場合と同様に $N=1$ 重力超多重項が得られる．式 (7.42) にある 496 個の状態は以前に SO(32) のゲージ超多重項を与えたものであり，それらは何らかが射影されない限り再び同様の役割を果たす．どの状態が保持されるべきかを知るために，これらが $SO(16)\times SO(16)$ の下でどのように変換するかを調べる． $$ \begin{align*} (\bm{120},\bm{1}) & A,B=&1,\ldots,16 \\ (\bm{1},\bm{120}) & A,B=&17,\ldots,32 \\ (\bm{16},\bm{16}) & A=&1,\ldots,16, B=17,\ldots,32 \end{align*} $$ ここで $120 = 16\times15/2$ は反対称二階テンソル（$SO(16)$ の随伴表現）を表し，16 はベクトル表現を表す．明らかに，もしゲージ場を $SO(16)\times SO(16)$ のみとしたければ，$(120,1)$ と $(1,120)$ の多重項は物理的だが $(16,16)$ の多重項は非物理的でなければならない．これを実現するには，最初の16成分を用いる $\lambda$ 励起の個数と，後半の16成分を用いる $\lambda$ 励起の個数をそれぞれ偶数にするという規則が必要である．これは両者の和が偶数であればよいという規則よりも厳しく，$(16,16)$ 多重項を除外しながら他の二つの多重項を保持する．この規則は，望ましいゲージ対称性を得るために，全セクターに同一の GSO 射影を用いることに対応する．
• 次に PA および AP セクターの質量零状態を考える．$\tilde{a}=0$ なので，質量零状態は $N_L = 0$ を満たすべきである．周期境界条件を持つ16個の $\lambda^A$ は零モードを持つため，通常どおり Fock 基底状態は対応する $SO(16)$ 群のスピノル表現を張る．より正確にはその被覆群である $Spin(16)$ のスピノル表現を張る．二つの不等価な $SO(16)$ のスピノル表現を $128$ と $128'$ と表すと，追加の質量零状態は次のように変換する可能性がある． $$ PA:(\bm{128},\bm{1})\oplus(\bm{128}',\bm{1}) $$ $$ AP:(\bm{1},\bm{128})\oplus(\bm{1},\bm{128}') $$ しかし，前例と同様にこれらすべての状態が物理スペクトルに残るわけではない．ある GSO 的な射影により一部は除去される． 32 個のフェルミオン $\lambda^A$ は二つの16個の集合に分けられている．AA セクターの解析からすでに学んだように，各々の集合に対して個別の射影条件を課す必要がある．実際，AA セクターの解析は，A 境界条件を持つ16 個の $\lambda^A$ の集合については，$\lambda^A$ 励起の個数が偶数でなければならないことを示した．これに対応して P 境界条件の集合にも同様の規則を補う必要がある． A と P に対する規則は SO(32) 理論の場合と同じだが，それを各16成分の集合に個別に適用する点が異なる．例えば最初の16 個が P 境界条件を持つなら，物理状態は次の演算子の固有状態で固有値 +1 を持つことが要求される． $$ (-1)^{F_1}=\bar{\lambda}_0^{(1)}(-1)^{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{A=1}^{16}\lambda_{-n}^A\lambda_n^A} $$ ここで $$ \bar{\lambda}_0^{(1)}=\lambda_0^1\lambda_0^2\cdots\lambda_0^{16} $$ 当然ながら，後半の16 個についても同様の規則が適用される．もしそれらが P 境界条件であれば，物理状態は次の演算子の固有状態で固有値 +1 でなければならない． $$ (-1)^{F_2}=\bar{\lambda}_0^{(2)}(-1)^{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{A=17}^{32}\lambda_{-n}^A\lambda_n^A} $$ ここで $$ \bar{\lambda}_{0}^{(2)}=\lambda_0^{17}\lambda_0^{18}\cdots\lambda_0^{32} $$ この規則により AP と PA の各セクターから二つあるうちの一方のスピノルが除去される．したがって，それらが残した質量零スペクトルへの寄与は $$ (\bm{128},\bm{1})\oplus(\bm{1},\bm{128}) $$ となる．

左移動の各多重項 (7.49) は右移動のベクトル多重項とテンソル積を取るため，追加の質量零ベクトルを寄与する．この意味を理解するために質量零ベクトル場に注目する．質量零スペクトルには，$(120, 1)+(128, 1)$ として変換するベクトル場および $(1,120)+(1, 128)$ として変換するベクトル場が含まれる．これらが意味を持つための唯一の可能性は，これらの $248$ 個の状態があるリー群の随伴表現を成すことである．

ここで $E_8$ が登場する．このリー群は Cartan 分類における五つの例外的コンパクト単純 Lie 群の中で最大である．ランクは 8 で，次元は 248 である．さらに，随伴表現が $248 = 120 + 128$ と分解する $SO(16)$ の部分群を含む．これは我々が見出した内容とまさに一致する．したがって，ここで述べた射影を施したヘテロティック理論が $E_8 \times E_8$ ゲージ対称性を持つ十次元の整合な超対称弦理論を与える可能性は極めて高い．

これは $E_8 \times E_8$ ゲージ対称性を持つ整合なヘテロティック弦理論が存在することを示唆する．最初の兆候は既に Chapter 5 のアノマリー解析から現れており，そこでこのゲージ群は選ばれた二つの可能性の一つであった．ここで導入した GSO 型射影は，$SO(32)$ ヘテロティック理論（および RNS 形式の射影）を与えた射影の自然な一般化であり，必要な質量零スペクトルを正確に与える．

トロイダルコンパクト化

Chapter 6では円周上のコンパクト化をかなり詳細に検討した．弦理論に対する帰結は，古典的な幾何学的推論に基づいて予想されるよりもはるかに多いことが示された．重要な教訓の一つは T-duality の存在で，$R$ を $\alpha'/R$ に対応させることである．もう一つの教訓は，T-duality の後に現れる開弦に対応する D-branes の存在である．

ここで示されているのは，$n$次元トーラス $T^n$ へのコンパクト化への一般化が追加の興味深い構造をもたらすということである．T-duality 群は無限の離散群へと拡大し，非可換ゲージ対称性を実現するための新たな興味深い可能性が生じる．どのような詳細が現れるかは，どの弦理論を考えるかに依存する．

ボソニック弦

トーラスでコンパクト化した時空上の閉ボソニック弦を考える． 具体的には時空多様体は次の計量で記述される． $$ ds^2=\sum_{\mu,\nu=0}^{d-1}\eta_{\mu\nu}dX^{\mu}dX^{\nu}+\sum_{I,J=1}^{n}G_{IJ}dY^IdY^J $$ ここで $d+n=26$．最初の項は座標 $X^\mu$ でパラメータライズされた Minkowski 時空を記述し，第二項は内部トーラス $T^n$ を座標 $Y^I$ で記述するものであり，各 $Y^I$ は周期 $2\pi$ を持つ．

$T^n$ を特徴づける物理的な大きさや角度は，定数の内部計量 $G_{IJ}$ に符号化できる．例えば直交するトーラスという特殊な場合には，$n$ 個の内部円は互いに直交し，内部計量は対角行列となり，その結果 $$ G_{IJ}=R_I^2\delta_{IJ} $$ となる．ここで $R_I$ は $Y^I$ 円の半径である．非対角成分を持つより一般的な内部計量は，円が非直交なトーラスを記述する．

閉じたボソニック弦は埋め込み写像 $X^\mu(\sigma,\tau)$ と $Y^I(\sigma,\tau)$ により記述され，$0\le\sigma\le\pi$ である．弦が閉じていることは次を意味する． $$ X^{\mu}(\sigma+\pi,\tau) = X^{\mu}(\sigma,\tau) \\ Y^{I}(\sigma+\pi,\tau) = Y^{I}(\sigma,\tau)+2\pi W^I\quad W^I\in\mathbb{Z} $$ ここで $W^I$ は巻き数（winding number）であり，弦がトーラスの各周期を何回（およびどの向きに）巻いているかを表す整数である．

モード展開

外部および内部成分$X$のモード展開は，Chapter 6で円周上にコンパクト化された弦の展開のわずかな一般化である．非コンパクト座標に対する（$l_s=1$とする）モード展開は次の形をとる． $$ \begin{aligned} X^{\mu}(\sigma,\tau) &= X_L^{\mu}(\tau+\sigma)+X_R^{\mu}(\tau-\sigma)\\ X_L^{\mu}(\tau+\sigma) &= \frac{1}{2}x^{\mu}+p_L^{\mu}(\tau+\sigma)+\frac{i}{2}\sum_{n\neq0}\frac{1}{n}\tilde{\alpha}_n^{\mu}e^{-2in(\tau+\sigma)}\\ X_R^{\mu}(\tau-\sigma) &= \frac{1}{2}x^{\mu}+p_R^{\mu}(\tau-\sigma)+\frac{i}{2}\sum_{n\neq0}\frac{1}{n}\alpha_n^{\mu}e^{-2in(\tau-\sigma)} \end{aligned} $$ ここで $$ p_L^{\mu}=p_R^{\mu}=\frac{1}{2}p^{\mu} $$ コンパクト座標$Y^I$も同様の展開を持つ． $$ \begin{aligned} Y^I(\sigma,\tau) &= Y_L^I(\tau+\sigma)+Y_R^I(\tau-\sigma)\\ Y_L^I(\tau+\sigma) &= \frac{1}{2}y^I+p_L^I(\tau+\sigma)+\frac{i}{2}\sum_{n\neq0}\frac{1}{n}\tilde{\alpha}_n^I e^{-2in(\tau+\sigma)}\\ Y_R^I(\tau-\sigma) &= \frac{1}{2}y^I+p_R^I(\tau-\sigma)+\frac{i}{2}\sum_{n\neq0}\frac{1}{n}\alpha_n^I e^{-2in(\tau-\sigma)} \end{aligned} $$ これらの式において$p_L^I$と$p_R^I$は等しい必要はない．したがって$Y^I$の先頭項は次のようになる． $$ Y^I(\sigma,\tau)=Y_L^I(\tau+\sigma)+Y_R^I(\tau-\sigma)=y^I+(p_L^I+p_R^I)\tau+(p_L^I-p_R^I)\sigma+\cdots $$ 式(7.52)の第二式は$p_L^I$と$p_R^I$の差が巻き数で与えられる整数であることを示す． $$ p_L^I-p_R^I=2W^I,\quad W^I\in\mathbb{Z} $$ さらに，円方向の運動量である$p_L^I+p_R^I$は量子化されなければならず，その結果$e^{ipy}$が単価になる．直交トーラスかつ背景$B$場がない最も単純な場合には，これは次を意味する． $$ p_L^I+p_R^I=K_I,\quad K_I\in\mathbb{Z} $$ これらの量子化された内部運動量は Kaluza–Klein 励起に対応する．

定背景場を含むモード展開

上の結果は，背景の $B$ 場がなく内部計量が対角である場合に成り立つ．ここで反対称二形式 $B_{IJ}$ および内部計量 $G_{IJ}$ に定数の背景値を導入する場合を考える．巻き数や Kaluza–Klein 量子数で表される運動量の式を導くためには，この背景下における弦のワールドシート作用の該当部分を考慮する必要がある． $$ S=-\frac{1}{2\pi}\int d^2\sigma\left( G_{IJ}\eta^{\alpha\beta}-B_{IJ}\varepsilon^{\alpha\beta} \right)\partial_{\alpha}Y^I\partial_{\beta}Y^J $$ この作用から正準運動量密度が得られる． $$ p_I=\frac{\delta S}{\delta \dot{Y}^I}=\frac{1}{\pi}\left( G_{IJ}\dot{Y}^J+B_{IJ}Y'^{J} \right) $$

この運動量密度を積分すると全運動量ベクトル$K_I$が得られる．$Y^I$は周期的であるため$K_I$は整数である．内部座標のモード展開（式(7.56)に現れるもの）を用いると，次式が得られる． $$ K_I=\int_{0}^{\pi}p_I d\sigma=G_{IJ}(p_L^J+p_R^J)+B_{IJ}(p_L^J-p_R^J)\quad K_I\in\mathbb{Z} $$ これは式(7.58)の一般化である．式(7.57)と(7.61)を左移動および右移動の運動量について解くと，次を得る． \begin{align*} p_L^I =& W^I+G^{IJ}(\frac{1}{2}K_J-B_{JK}W^K) \\ p_R^I =& -W^I+G^{IJ}(\frac{1}{2}K_J-B_{JK}W^K) \end{align*} ここで，上付き添字の付いた$G^{IJ}$はいつものように$G_{IJ}$の逆行列を表す．

質量スペクトルとレベルマッチング条件

トーラスにコンパクト化したボソニック弦の質量スペクトルとレベルマッチング条件を決定する出発点は再び物理状態条件 $$ (L_0-1)|\Phi\rangle=(\tilde{L}_0-1)|\Phi\rangle=0 $$ であり，これらは現在次の形をとる． $$ \frac{1}{8}M^2=\frac{1}{2}G_{IJ}p_L^Ip_R^J+N_L-1=\frac{1}{2}G_{IJ}p_R^Ip_R^J+N_R-1 $$ ここで数演算子は通常の表現であり（背景場に依存しない）， $$ N_R=\sum_{m=1}^{\infty}\alpha_{-m}\cdot\alpha_m,\quad N_L=\sum_{m=1}^{\infty}\tilde{\alpha}_{-m}\cdot\tilde{\alpha}_m $$ 式(7.64)の二式の差はレベルマッチング条件を与える． $$ N_{R}-N_{L}=\frac{1}{2}G_{IJ}(p_L^Ip_L^J-p_R^Ip_R^J)=W^IK_I $$ 同じ二式の和をとると，質量演算子は次のようになる． $$ M^2=M_0^2+4(N_R+N_L-2),\quad M_0^2=2G_{IJ}(p_L^Ip_L^J+p_R^Ip_R^J) $$ スペクトルの対称性を示すのに便利な形で$M_0^2$を記述し直す方法は，式(7.62)を式(7.67)に代入することで得られる．インデックスを省略すると次のようになる． $$ \frac{1}{2}M_0^2=\begin{pmatrix} W & K \end{pmatrix}\mathcal{g}^{-1}\begin{pmatrix} W \\ K \end{pmatrix} $$ ここで $$ \mathcal{g}^{-1}=\begin{pmatrix} 2(G-BG^{-1}B) & BG^{-1} \\ -G^{-1}B & \frac{1}{2}G^{-1} \end{pmatrix} $$ またその逆行列は $$ \mathcal{g}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}G^{-1} & -G^{-1}B \\ BG^{-1} & 2(G-BG^{-1}B) \end{pmatrix} $$ これらは $n \times n$ ブロックで表現された $2n \times 2n$ の行列であることに注意する．