共形場理論と弦の相互作用

参考文献：K. Becker, M. Becker, J. Schwarz, "String Theory and M-Theory", Cambridge University Press, 2007.

Minkowski時空における自由なボソン弦は，理論の整合性のために時空の次元が$D = 26$である必要がある．それでもタキオンの問題が残ります．相互作用を含めると，この理論は安定した真空を持たない可能性がある．その欠点にもかかわらずボソン弦理論に取り組む理由は，より興味深く安定した真空を持つ理論に取り組む前の良い準備運動になるからである．ここでは，ボソン弦理論の説明を続け，簡潔に多くの内容を扱いたい．

重要な課題の1つは，26次元Minkowski時空以外のより一般的な背景を導入する可能性に関するものである．もう一つは，摂動論における相互作用の記述や散乱振幅の計算法に関するものである．また，弦の場の量子論についても議論する．このアプローチでは，場演算子が弦全体を生成・消滅させる．これらすべての話題は，世界面上の理論の共形対称性を利用し，共形場理論（CFT）の技術を活用する．そのため，まずCFTの概観から始めたい．

目次

• 共形場理論
  • $D$次元における共形群
  • 2次元における共形群
  • 共形場と演算子積拡大

共形場理論

これまで，弦の世界面にはLorentz符号の計量が仮定されてきた．これは物理的に時間発展する弦に適した選択である．しかし，世界面の計量 $h_{\alpha\beta}$ を正定値にするため，Wick回転 $\tau \to -i\tau$ を行い，Euclid符号の世界面を得るのが非常に便利である．こうすると，（局所的なパッチで）複素座標 $$ z = e^{2(\tau - i\sigma)},\quad \bar{z} = e^{2(\tau + i\sigma)} $$ を導入でき，世界面をRiemann面として扱うことができる．指数の$2$は，閉弦のパラメータ $\sigma$ の周期性を $\sigma \to \sigma + \pi$ とする慣習を反映している．これらの式で $\sigma$ を $-\sigma$ に置き換えると，左進行波と右進行波が入れ替わる．世界面が複素平面の場合，Euclid時間は半径方向に対応し，原点が無限の過去，無限遠の円が無限の未来を表す．共形ゲージで残る対称性 $\tau \pm \sigma \to f(\tau \pm \sigma)$は，今や共形写像 $z \to f(z)$ および $\bar{z} \to \bar{f}(\bar{z})$ となる．例えば，複素平面（原点を除く）は，図に示すように，無限に長い円柱と等価である．このようにして，共形不変な2次元場の理論を考察することになる．

$D$次元における共形群

ここでは2次元世界面理論の「共形対称性」を考えたい．しかし，他の次元における共形対称性も，最近の弦理論研究において重要な役割を果たしている．したがって，2次元に特化する前に，まず$D$次元における「共形群」について考察する．

$D$次元多様体は，次のような線素が書ける場合に共形平坦と呼ばれる： $$ ds^2 = e^{\omega(x)}dx\cdot dx $$ ここで「$\cdot$」は，Lorentz符号の擬Riemann多様体の場合はLorentz計量$\eta_{\mu\nu}$による縮約，Euclid符号のRiemann多様体の場合はKronecker計量$\delta_{\mu\nu}$による縮約を表すものとする． 関数 $\omega(x)$ は，一般に$x$ に依存してよい．

共形群とは，一般座標変換（または微分同相）群のうち，計量の共形平坦性を保つ部分群である．共形変換の重要な幾何学的性質は，長さを歪めつつも角度を保存することである．

共形群の一部は明らかである．すなわち，並進や回転が含まれる．「回転」には（Lorentz符号の場合）Lorentz変換も含まれることに注意する．もう一つの共形群の変換は，スケール変換 $x^\mu \to \lambda x^\mu$ である（ここで$\lambda$ は定数）．これは $\omega$ を変化させる操作とみなすこともできるし，同時に $\omega$ も適切に変換すれば計量を不変に保つ対称性とみなすこともできる．

共形群のもう一つの変換である特殊共形変換は，少し分かりにくいが，簡単な導出方法がある．これは，共形群が反転変換を含むことに着目することで得られる．反転変換は $$ x^{\mu} \to \frac{x^{\mu}}{x^2} $$ という形で表される．このとき $$ dx\cdot dx \to \frac{dx\cdot dx}{(x^2)^2} $$ となり，計量は共形的に不変となる[1]．ここでの工夫は，反転，並進，反転という変換の組み合わせを考えることである．これにより $$ x^{\mu} \to \frac{x^{\mu}+b^{\mu}x^2}{1+2b\cdot x+b^2x^2} $$ となる．$b^\mu$ を微小量とすると $$ \delta x^{\mu} = b^{\mu}x^2-2x^{\mu}b\cdot x $$ となる．

以上の結果をまとめると，以下のような無限小変換が共形変換となる： $$ \delta x^{\mu} = a^{\mu} + \omega^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu} + \lambda x^{\mu} + b^{\mu}x^2 -2x^{\mu}(b\cdot x) $$ ここで，$a^{\mu}$，$\omega^{\mu}{}_{\nu}$，$\lambda$，$b^{\mu}$ は無限小定数パラメータである．添字を$\eta_{\mu\nu}$または$\delta_{\mu\nu}$で下げた場合，回転のパラメータは$\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}$という条件を満たす必要がある． 全体として，共形群の生成子の数は $$ D+\frac{1}{2}D(D-1)+1+D=\frac{1}{2}(D+2)(D+1) $$ となり，これは共形群の線形独立な無限小変換の数である．

$D$次元における共形群の生成子の数は，$D+2$次元の回転群と同じである．実際，無限小共形変換同士の交換関係を考えればLie代数を導出でき，その結果は$SO(D+2)$の非コンパクト型となる．Lorentz符号の場合，Lie代数は$SO(D,2)$，Euclid符号の場合は$SO(D+1,1)$となる．

$D > 2$ の場合，上で議論した代数は共形群全体を生成するが，反転変換は無限小変換としては生成されない．反転変換が存在するため，これらの群は2つの連結成分を持つ．$D = 2$ の場合，$SO(2,2)$ や $SO(3,1)$ の代数は，はるかに大きな代数の部分代数となる．

2次元における共形群

すでに述べたように，2次元における共形変換は解析的な座標変換 $$ z \to f(z)\quad \bar{z} \to \bar{f}(\bar{z}) $$ から構成される．これらは，$f$ およびその逆関数が正則（すなわち $f$ が双正則）である領域において，角度を保存する変換である．

生成子を明示するために，無限小共形変換を $$ z \to z' = z-\varepsilon_nz^{n+1} \quad \bar{z} \to \bar{z}' = \bar{z}-\bar{\varepsilon}_n\bar{z}^{n+1}\quad (n\in\mathbb{Z}) $$ の形で考える．対応する無限小生成子は[2] $$ l_n=-z^{n+1}\partial \quad \bar{l}_n=-\bar{z}^{n+1}\bar{\partial} $$ ここで $\partial = \partial/\partial z$，$\bar{\partial} = \partial/\partial \bar{z}$ である．これらの生成子は古典的なVirasoro代数 $$ [l_m,l_n]=(m-n)l_{m+n} \quad [\bar{l}_m,\bar{l}_n]=(m-n)\bar{l}_{m+n} $$ を満たし，$[l_m, \bar{l}_n] = 0$ となる．量子的な場合，Virasoro代数は中心拡大（共形異常）を持つことがあり，中心電荷 $c$ を含めて $$ [L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0} $$ となる．2次元共形場理論では，Virasoro作用素はエネルギー・運動量テンソルのモードであり，したがって共形変換を生成する演算子である．「中心拡大」とは，定数項が単位演算子を掛ける形でLie代数に付加されることを意味する．「共形異常」とは，ある状況下で中心電荷が古典的な共形対称性が量子力学的に破れることを示す指標として解釈できることを指す．

2次元では共形群は無限次元である．しかし，有限次元の部分群が含まれており，これは $l_0, l_{\pm1}$ および $\bar{l}_0, \bar{l}_{\pm1}$ によって生成される．この性質は量子論の場合でも成り立つ．無限小変換は次のようになる： \begin{align} l_{-1}:&\quad z \to z -\varepsilon \\ l_{0}:&\quad z \to z -\varepsilon z \\ l_{1}:&\quad z \to z -\varepsilon z^2 \end{align} これらの変換の解釈として，$l_{-1}$ および $\bar{l}_{-1}$ は並進，$(l_0 + \bar{l}_0)$ はスケール変換，$i(l_0 - \bar{l}_0)$ は回転，$l_1$ および $\bar{l}_1$ は特殊共形変換を生成する．

群変換の有限形は次のようになる： $$ z \to \frac{az+b}{cz+d} \quad a,b,c,d \in \mathbb{C} \quad ad-bc=1 $$ これは群 $SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2 = SO(3,1)$ である[3]． $\mathbb{Z}_2$ は，パラメータ $a, b, c, d$ を符号反転しても変換が不変である自由度を表す．これは $D > 2$ のEuclid空間における共形群 $SO(D+1,1)$ の2次元の場合である．Lorentz符号の場合は $SO(2,2) = SL(2,\mathbb{R}) \times SL(2,\mathbb{R})$ となり，一方は左進行波，もう一方は右進行波に対応する．この2次元共形群の有限次元部分群は制限された共形群と呼ばれる．

以前，世界面のエネルギー・運動量テンソル $T_{\alpha\beta}$ の構成について，Weyl対称性の結果として $T_{+\,-} = T_{-\,+} = 0$ を満たすことを示した．世界面上の理論には並進対称性があるため，このテンソルは保存則も満たす： $$ \partial^{\alpha}T_{\alpha\beta}=0 $$ Wick回転後，ライトコーン添字は $(z, \bar{z})$ に置き換えられる．したがって，非自明な成分は $T_{zz}$ および $T_{\bar{z}\bar{z}}$ となり，保存条件は $$ \bar{\partial}T_{zz}=0,\quad \partial T_{\bar{z}\bar{z}}=0 $$ となる．つまり，一方は正則関数，もう一方は反正則関数となる： $$ T_{zz}=T(z),\quad T_{\bar{z}\bar{z}}=\tilde{T}(\bar{z}) $$ Virasoro生成子はこのエネルギー・運動量テンソルのモードである．

現在の記法では，$l_s =\sqrt{2\alpha'} = 1$ の場合，座標 $X$ の右進行波部分は $$ X_R^{\mu}(\sigma,\tau) \to X_R^{\mu}(z)=\frac{1}{2}x^{\mu}-\frac{i}{4}p^{\mu}\ln{z}+\frac{i}{2}\sum_{n\neq0}\frac{1}{n}\alpha_n^{\mu}z^{-n} $$ となり，同様に $$ X_L^{\mu}(\sigma,\tau) \to X_L^{\mu}(\bar{z})=\frac{1}{2}x^{\mu}-\frac{i}{4}p^{\mu}\ln{\bar{z}}+\frac{i}{2}\sum_{n\neq0}\frac{1}{n}\tilde{\alpha}_n^{\mu}\bar{z}^{-n} $$ となる．正則微分は次のように簡単な形になる： $$ \partial X^{\mu}(z,\bar{z}) = -\frac{i}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n^{\mu}z^{-n-1} $$ また $$ \bar{\partial} X^{\mu}(z,\bar{z}) = -\frac{i}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\tilde{\alpha}_n^{\mu}\bar{z}^{-n-1} $$ これらから，エネルギー・運動量テンソルの正則成分を計算できる： $$ T_X(z)=-2 : \partial X \cdot \partial X : = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{L_n}{z^{n+2}} $$ 同様に $$ \tilde{T}_X(\bar{z})=-2 : \bar{\partial} X \cdot \bar{\partial} X : = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\tilde{L}_n}{\bar{z}^{n+2}} $$ ここで添字 $X$ は，これらのエネルギー・運動量テンソルが $X$ 座標から構成されていることを強調するために付けている．

2次元の共形代数は無限次元であるため，保存される電荷も無限個存在し，それらは本質的にVirasoro生成子である．無限小共形変換 $$ \delta z = \varepsilon(z) \quad \delta\bar{z} = \tilde{\varepsilon}(\bar{z}) $$ に対応する保存電荷（この変換を生成する演算子）は $$ Q = Q_{\varepsilon} + Q_{\tilde{\varepsilon}} = \frac{1}{2\pi i} \oint [T(z)\varepsilon(z)dz + \tilde{T}(\bar{z})\tilde{\varepsilon}(\bar{z})d\bar{z}] $$ で与えられる．積分は半径一定の円周上で行う．共形変換のもとで場 $\Phi(z, \bar{z})$ の変化は $$ \delta_{\varepsilon}\Phi(z,\bar{z}) = [Q_{\varepsilon}, \Phi(z,\bar{z})] \quad \delta_{\tilde{\varepsilon}}\Phi(z,\bar{z}) = [Q_{\tilde{\varepsilon}}, \Phi(z,\bar{z})] $$ で表される．

共形場と演算子積拡大