3次元1粒子系

目次

• 中心力ポテンシャル
• 水素原子
• 3次元調和振動子

3次元系では波動関数 $\psi(\vec{r}, t)$ が粒子の状態を記述する．（時間に依存する）Schrödinger方程式は $$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(\vec{r}) \psi $$ となる．多くの物理的に重要な系では，ポテンシャルが球対称性を持ち，古典論と同様に問題は1次元系に還元される．

1次元系と同様に，ポテンシャルが時間に依存しない場合，波動関数は時間と空間で分離でき， $$ \psi(\vec{r}, t) = \psi(\vec{r}) e^{-i\frac{E}{\hbar}t} $$ となる．$\psi(\vec{r})$ は時間に依存しないSchrödinger方程式 $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(\vec{r}) \psi = E \psi $$ を満たす．

中心力ポテンシャル

中心力ポテンシャル $V(r) = V(|\vec{r}|)$ の場合，球座標系 $(r, \theta, \phi)$ で変数分離を行うことで， 3次元のSchrödinger方程式を1次元の動径方程式に帰着させることができる．

中心力ポテンシャルでは，波動関数を動径部分と角度部分に分離できる： $$ \psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y(\theta, \phi) $$

時間に依存しないSchrödinger方程式 $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(r) \psi = E \psi $$ に代入し，$r^2$ を掛けて整理すると： $$ \frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) - \frac{2mr^2}{\hbar^2}(V(r) - E) = -\frac{1}{Y}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2}\right] $$

左辺は $r$ のみの関数，右辺は $(\theta, \phi)$ のみの関数なので，両辺とも定数でなければならない． 後々のために，この分離定数を $l(l+1)$ とする．

角度部分の方程式は $$ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2} + l(l+1) Y = 0 $$ となる．これは球面調和関数の微分方程式である．

さらに $Y(\theta, \phi) = \Theta(\theta) \Phi(\phi)$ として変数分離すると： $$ \Phi(\phi) = e^{im\phi}, \quad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots, \pm l $$ $$ \Theta(\theta) = P_l^{|m|}(\cos\theta) $$ ここで $P_l^{|m|}$ は結合Legendre多項式である．

規格化された球面調和関数は $$ Y_l^m(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} P_l^{|m|}(\cos\theta) e^{im\phi} $$ で与えられ，直交正規性 $$ \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta d\theta \, [Y_l^m(\theta,\phi)]^* Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi) = \delta_{ll'}\delta_{mm'} $$ を満たす．

動径部分の方程式は $$ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) - \frac{2m}{\hbar^2}(V(r) - E) R = \frac{l(l+1)}{r^2} R $$ となる．これを整理すると： $$ \frac{d^2R}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{dR}{dr} + \left[\frac{2m}{\hbar^2}(E - V(r)) - \frac{l(l+1)}{r^2}\right] R = 0 $$

変数変換による1次元化： $u(r) = rR(r)$ と置くと， $$ \frac{dR}{dr} = \frac{1}{r}\frac{du}{dr} - \frac{u}{r^2} $$ $$ \frac{d^2R}{dr^2} = \frac{1}{r}\frac{d^2u}{dr^2} - \frac{2}{r^2}\frac{du}{dr} + \frac{2u}{r^3} $$

これらを動径方程式に代入すると： $$ \frac{1}{r}\frac{d^2u}{dr^2} - \frac{2}{r^2}\frac{du}{dr} + \frac{2u}{r^3} + \frac{2}{r}\left(\frac{1}{r}\frac{du}{dr} - \frac{u}{r^2}\right) + \left[\frac{2m}{\hbar^2}(E - V(r)) - \frac{l(l+1)}{r^2}\right] \frac{u}{r} = 0 $$

整理すると： $$ \frac{d^2u}{dr^2} + \left[\frac{2m}{\hbar^2}(E - V(r)) - \frac{l(l+1)}{r^2}\right] u = 0 $$

これは有効ポテンシャル $$ V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2} $$ を持つ1次元のSchrödinger方程式である．第2項は遠心力項と呼ばれる．

波動関数 $\psi(r, \theta, \phi) = \frac{u(r)}{r} Y_l^m(\theta, \phi)$ が原点で有限であるためには， $u(0) = 0$ でなければならない．また，束縛状態では $u(\infty) = 0$ である．

したがって，動径関数 $u(r)$ は区間 $[0, \infty)$ での境界値問題 $$ \frac{d^2u}{dr^2} + \left[\frac{2m}{\hbar^2}(E - V_{\text{eff}}(r))\right] u = 0 $$ $$ u(0) = 0, \quad u(\infty) = 0 \text{ (束縛状態)} $$ を解けばよく，これは完全に1次元の問題となる．

得られた量子数の物理的意味：

• $n$：主量子数（動径方向の節の数を決める）
• $l$：軌道角運動量量子数（$|\vec{L}|^2 = \hbar^2 l(l+1)$）
• $m$：磁気量子数（$L_z = \hbar m$，$-l \leq m \leq l$）

各エネルギー準位の縮退度は $(2l+1)$ で，これは $m$ の取りうる値の数に対応する． 球対称なポテンシャルでは，エネルギーは $n$ と $l$ のみに依存し，$m$ には依存しない．

古典力学では，中心力場での運動は軌道面内の2次元問題に帰着し， 有効ポテンシャル $V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{L^2}{2mr^2}$ を用いて 1次元問題として扱われる．

量子力学では $L^2 \rightarrow \hbar^2 l(l+1)$ に対応し， 遠心力障壁 $\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2}$ が現れる． この項により，$l > 0$ では原点近傍で波動関数が抑制される．

特に $l = 0$（s波）では遠心力項がなく，粒子は原点まで到達できる． これが s 軌道電子が核に最も近づける理由である．

しかし，s軌道電子が原点に「落ち込む」わけではない．量子力学では，以下の理由により電子の古典的な軌道崩壊は阻止される：

• 不確定性原理：電子が核の極近傍に局在すると位置の不確定性 $\Delta x$ が小さくなり， 不確定性原理により運動量の不確定性 $\Delta p \sim \hbar/\Delta x$ が増大する． これにより運動エネルギー $\sim (\Delta p)^2/(2m) \sim \hbar^2/(2m(\Delta x)^2)$ が増大し， 全エネルギーを最小化する平衡位置が存在する．
• 零点エネルギー：量子調和振動子と同様に，束縛系では必ず零点エネルギーが存在し， エネルギーがゼロ以下になることはない．水素原子の基底状態エネルギー $E_1 = -13.6$ eVは この量子効果を含んだ安定な状態である．
• 波動関数の有限性：s軌道の波動関数 $\psi_{1s}(r) \propto e^{-r/a_0}$ は原点で有限値を持つが， 確率密度 $|\psi_{1s}(0)|^2$ が有限であることは電子が「点」に局在することを意味しない． 実際には Bohr半径 $a_0 \approx 0.53$ Åのスケールで分布している．

古典電磁気学では，加速運動する電荷は電磁波を放射してエネルギーを失い， 最終的に核に落ち込むと予測される（Rutherfordの原子模型の破綻）． しかし量子力学では，定常状態では電子は加速しておらず，電磁波の放射も起こらない． これにより原子の安定性が量子力学的に説明される．

このように，中心力ポテンシャルの問題は角運動量の保存により変数分離が可能となり， 3次元問題が実質的に1次元の動径方程式に帰着される．これは水素原子，調和振動子， その他多くの重要な量子系の解析的解法を可能にする重要な性質である．

水素原子

水素原子は，原子核（陽子）の周りに1個の電子が束縛された系で， 量子力学で厳密に解くことができる最も重要な原子系である． この解は原子物理学，分子物理学，固体物理学の基礎となる．

水素原子のHamiltonianは $$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} $$ で与えられる．ここで $m$ は電子の質量，$e$ は電子の電荷，$r$ は電子と原子核の距離である．

中心力ポテンシャル $V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$ により， 3次元のSchrödinger方程式は動径方程式と角度方程式に分離される： $$ \psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) Y_l^m(\theta, \phi) $$

動径方程式は $$ \frac{d^2u}{dr^2} + \left[\frac{2m}{\hbar^2}\left(E + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\right) - \frac{l(l+1)}{r^2}\right] u = 0 $$ となる．ここで $u(r) = rR(r)$ である．

計算を簡単にするため，Bohr半径 $$ a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{me^2} \approx 0.529 \text{ Å} $$ とRydberg定数 $$ \text{Ry} = \frac{me^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2} \approx 13.6 \text{ eV} $$ を導入する．

無次元変数 $\rho = r/a_0$，無次元エネルギー $\varepsilon = E/\text{Ry}$ を用いると， 動径方程式は $$ \frac{d^2u}{d\rho^2} + \left[-\varepsilon + \frac{2}{\rho} - \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right] u = 0 $$ となる．

束縛状態（$E < 0$，$\varepsilon < 0$）では，$\varepsilon = -1/n^2$ とおいて $n$ を決定する． $\rho \to \infty$ での漸近解と $\rho \to 0$ での境界条件を考慮すると：

$\rho \to \infty$ での振る舞い： 方程式は $\frac{d^2u}{d\rho^2} \approx -\varepsilon u$ となり， 束縛状態では $u(\rho) \sim e^{-\sqrt{-\varepsilon}\rho} = e^{-\rho/n}$

$\rho \to 0$ での振る舞い： 遠心力項が支配的で $\frac{d^2u}{d\rho^2} \approx \frac{l(l+1)}{\rho^2} u$ より $u(\rho) \sim \rho^{l+1}$（$\rho = 0$ で有限であるため）

これらを組み合わせ，試行解として $$ u(\rho) = \rho^{l+1} e^{-\rho/n} v(\rho) $$ とおく．

$v(\rho)$ に対する方程式を導出すると： $$ \rho \frac{d^2v}{d\rho^2} + (2(l+1) - \frac{2\rho}{n}) \frac{dv}{d\rho} + \left(\frac{2(n-l-1)}{n}\right) v = 0 $$

これはLaguerre陪多項式の微分方程式である． 境界条件（$\rho = 0, \infty$ で有界）を満たす解が存在するためには， $n - l - 1$ が非負整数でなければならない．動径量子数 $n_r = n - l - 1 \geq 0$ は，動径方向の波動関数の節の数を表す．

水素原子のエネルギー準位は $$ E_n = -\frac{\text{Ry}}{n^2} = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) $$ で与えられる．

エネルギーは主量子数 $n$ のみに依存し，$l$ や $m$ には依存しない． これはCoulombポテンシャルの特殊性による偶然の縮退である．

各準位の縮退度は $$ g_n = \sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) = n^2 $$ となる．

規格化された動径波動関数は，Laguerre陪多項式 $L_{n-l-1}^{2l+1}$ を用いて $$ R_{nl}(\rho) = \sqrt{\left(\frac{2}{n}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}} e^{-\rho/n} \left(\frac{2\rho}{n}\right)^l L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2\rho}{n}\right) $$ と表される．

実際の座標 $r$ での表現は $\rho = r/a_0$ を代入して得られる： $$ R_{nl}(r) = \sqrt{\left(\frac{2}{na_0}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}} e^{-r/(na_0)} \left(\frac{2r}{na_0}\right)^l L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2r}{na_0}\right) $$

基底状態（1s軌道，$n=1, l=0$）： $$ R_{10}(r) = 2\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2} e^{-r/a_0} $$ $$ \psi_{100}(r,\theta,\phi) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0} $$

第1励起状態：
2s軌道（$n=2, l=0$）： $$ R_{20}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2} \left(2 - \frac{r}{a_0}\right) e^{-r/(2a_0)} $$
2p軌道（$n=2, l=1$）： $$ R_{21}(r) = \frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2} \frac{r}{a_0} e^{-r/(2a_0)} $$

2p軌道の角度依存性： $$ Y_1^0(\theta,\phi) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta \quad \text{(2p}_z\text{軌道)} $$ $$ Y_1^{\pm 1}(\theta,\phi) = \mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin\theta e^{\pm i\phi} \quad \text{(2p}_x, \text{2p}_y\text{軌道の線形結合)} $$

実際の原子軌道では，複素数の球面調和関数ではなく，実数の線形結合がよく用いられる：

$$ \text{2p}_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^{1} + Y_1^{-1}) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \sin\theta \cos\phi $$ $$ \text{2p}_y = \frac{1}{i\sqrt{2}}(Y_1^{1} - Y_1^{-1}) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \sin\theta \sin\phi $$ $$ \text{2p}_z = Y_1^{0} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta $$

動径座標の期待値（$n, l$ 状態）： $$ \langle r \rangle_{nl} = \int_0^\infty r \cdot r^2 R_{nl}^2(r) dr = \frac{a_0}{2}[3n^2 - l(l+1)] $$

基底状態（1s）では： $$ \langle r \rangle_{10} = \frac{3a_0}{2} $$

Bohrの対応原理により，大きな量子数の極限で量子力学的結果は古典力学と一致すべきである．

Bohrの原子模型： 円軌道の角運動量量子化条件 $L = n\hbar$ から軌道半径 $$ r_n = n^2 a_0 $$ が得られる．これは量子力学の $\langle r \rangle \propto n^2$ と対応する．

楕円軌道： 量子数 $n, l$ は古典的な楕円軌道の主軸と離心率に対応する． $l$ が大きいほど軌道は円に近くなり，$l = 0$ では直線往復運動に対応する．

主量子数 $n$ が非常に大きい（$n \gg 1$）状態をRydberg状態と呼ぶ． この状態では：

• 軌道サイズ：$\langle r \rangle \sim n^2 a_0$ （巨視的スケール）
• 束縛エネルギー：$|E_n| \sim 1/n^2$ （非常に小さい）
• 軌道周期：$T \sim n^3$ （長時間）
• 双極子モーメント：$\sim n^2$ （大きい）

Rydberg原子は量子・古典対応の研究，量子カオス，量子情報処理などで重要な役割を果たす．

水素原子の解は，分析化学の基礎，天体物理学における星の分光分析， レーザー物理学，プラズマ物理学など広範囲の応用を持つ． また，水素様イオン（He$^+$, Li$^{2+}$など）にも核電荷 $Z$ を考慮して同様の解析が適用できる．

さらに，水素原子は相対論的効果（微細構造），電子スピン， 外部電磁場の効果（Stark効果，Zeeman効果）を研究するための 基本的なプラットフォームとしても重要である．

代数的解法：隠れた対称性水素原子は，調和振動子と同様に生成・消滅演算子を用いて代数的に解くことができる． この方法では微分方程式を直接解く必要がなく，演算子の交換関係のみから固有値と固有状態を求められる．

水素原子のCoulombポテンシャル $V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$ は，3次元調和振動子よりも高い対称性を持つ． この隠れた対称性はRunge-Lenzベクトルによって明らかになる： $$ \vec{A} = \frac{1}{2m}\{\vec{p} \times \vec{L} - \vec{L} \times \vec{p}\} - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\hat{r} $$

束縛状態（$E < 0$）において，無次元化された演算子を定義する： $$ \vec{M} = \frac{1}{\sqrt{-2mE}} \vec{L} $$ $$ \vec{N} = \frac{1}{\sqrt{-2mE \hbar^2}} \vec{A} $$

これらは次の交換関係を満たす： $$ [M_i, M_j] = i\epsilon_{ijk} M_k $$ $$ [N_i, N_j] = -i\epsilon_{ijk} M_k $$ $$ [M_i, N_j] = i\epsilon_{ijk} N_k $$

さらに，次の演算子を定義する： $$ \vec{J}_1 = \frac{1}{2}(\vec{M} + \vec{N}), \quad \vec{J}_2 = \frac{1}{2}(\vec{M} - \vec{N}) $$

これらは互いに交換し，それぞれSU(2)の角運動量代数を満たす： $$ [J_{1i}, J_{1j}] = i\epsilon_{ijk} J_{1k}, \quad [J_{2i}, J_{2j}] = i\epsilon_{ijk} J_{2k}, \quad [J_{1i}, J_{2j}] = 0 $$

$\vec{J}_1^2$ と $\vec{J}_2^2$ はCasimir演算子であり，Hamiltonianと交換する． これらの固有値を求めることで，エネルギー準位を決定できる．

重要な関係式： $$ \vec{J}_1^2 = \vec{J}_2^2 = \frac{1}{4}(\vec{M}^2 + \vec{N}^2) $$ $$ \vec{M}^2 = \vec{L}^2/(-2mE) $$ $$ \vec{N}^2 = \vec{A}^2/(-2mE\hbar^2) $$

Coulombポテンシャルに対して，$\vec{A}^2$ は次で与えられる： $$ \vec{A}^2 = \frac{1}{(-2mE)} \left(\frac{me^4}{(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2} + \vec{L}^2\right) $$

したがって： $$ \vec{J}_1^2 = \vec{J}_2^2 = \frac{1}{4}\left(\frac{\vec{L}^2}{-2mE} + \frac{1}{(-2mE\hbar^2)} \cdot \frac{1}{(-2mE)}\left(\frac{me^4}{(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2} + \vec{L}^2\right)\right) $$

整理すると： $$ \vec{J}_1^2 = \vec{J}_2^2 = \frac{me^4}{8(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2(-E)} - \frac{1}{4} $$

SU(2)の表現論により，$\vec{J}_1$ と $\vec{J}_2$ の固有値は次の形を持つ： $$ \vec{J}_1^2 = j_1(j_1 + 1), \quad \vec{J}_2^2 = j_2(j_2 + 1) $$ ここで $j_1, j_2 = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$ である．

対称性から $j_1 = j_2 = j$ であり，カジミール演算子の固有値は： $$ j(j + 1) = \frac{me^4}{8(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2(-E)} - \frac{1}{4} $$

これを $E$ について解くと： $$ E = -\frac{me^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2} \cdot \frac{1}{(j + 1/2)^2} $$

$n = j + 1/2$ （$n = 1, 2, 3, \ldots$）とおくと，水素原子のエネルギー準位： $$ E_n = -\frac{\text{Ry}}{n^2} $$ が得られる．

各エネルギー準位 $E_n$ に対して，$j = n - 1/2$ である． $\vec{J}_1$ と $\vec{J}_2$ はそれぞれ $(2j+1) = n$ 次元の表現を持つ．

全状態空間は $\vec{J}_1$ と $\vec{J}_2$ のテンソル積で構成され， 次元は $n \times n = n^2$ となる．

これは軌道角運動量の観点から得られる縮退度 $\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1) = n^2$ と一致する．

$\vec{J}_1$ と $\vec{J}_2$ の成分から階段演算子を構成できる： $$ J_{1\pm} = J_{1x} \pm iJ_{1y}, \quad J_{2\pm} = J_{2x} \pm iJ_{2y} $$

これらは次の作用を持つ： $$ J_{1\pm}|j_1, m_1; j_2, m_2\rangle = \hbar\sqrt{j_1(j_1+1) - m_1(m_1 \pm 1)}|j_1, m_1 \pm 1; j_2, m_2\rangle $$ $$ J_{2\pm}|j_1, m_1; j_2, m_2\rangle = \hbar\sqrt{j_2(j_2+1) - m_2(m_2 \pm 1)}|j_1, m_1; j_2, m_2 \pm 1\rangle $$

基底状態 $|j,j;j,j\rangle$ から出発して，これらの演算子を繰り返し適用することで， 主量子数 $n = j + 1/2$ のすべての状態を系統的に構成できる．

代数的に得られた状態 $|j_1, m_1; j_2, m_2\rangle$ は， 通常の水素原子の量子数 $|n, l, m\rangle$ と以下の関係で結ばれる：

$$ l = |m_1 - m_2|, \quad m = m_1 + m_2 $$ $$ n = j_1 + j_2 + 1 $$

ここで $j_1 = j_2 = (n-1)/2$ である．

この対応により，代数的手法で得られた状態が， 従来の球面調和関数と動径波動関数の積として表される状態と ユニタリ変換で結ばれることが示される．

この代数的解法の美しさは，複雑な微分方程式を解くことなく， 対称性と演算子の交換関係のみから水素原子の完全な解が得られることである． また，この手法は相対論的量子力学（Dirac方程式）の解法や， より一般的な中心力場の問題への拡張の基礎となっている．

SO(4)対称性は水素原子特有のものであり，他のポテンシャル（例えば3次元調和振動子のSO(3)$\times$SO(3)対称性）とは 異なる豊かな数学的構造を提供する．この隠れた対称性の発見は， 量子力学における代数的手法の発展に大きな影響を与えた．

3次元調和振動子

3次元調和振動子は，3つの独立な1次元調和振動子の積として表される最も単純な3次元量子系の一つである． 原子核の振動モードや量子ドット内の電子の閉じ込めなど，多くの物理系のモデルとして重要である．

3次元等方調和振動子のポテンシャルは $$ V(r) = \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 = \frac{1}{2}m\omega^2(x^2 + y^2 + z^2) $$ で与えられる．Hamiltonianは $$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 $$ となる．

ポテンシャルが $V(x,y,z) = \frac{1}{2}m\omega^2(x^2 + y^2 + z^2)$ と各座標の二乗和で表されるため， 変数分離が可能である： $$ \psi(x,y,z) = \psi_x(x) \psi_y(y) \psi_z(z) $$

Schrödinger方程式 $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi + \frac{1}{2}m\omega^2(x^2 + y^2 + z^2)\psi = E\psi $$ に代入すると，3つの独立な1次元調和振動子の方程式に分離される：

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_x}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi_x = E_x \psi_x $$ $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_y}{dy^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 y^2 \psi_y = E_y \psi_y $$ $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_z}{dz^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 z^2 \psi_z = E_z \psi_z $$

ここで $E = E_x + E_y + E_z$ である．

各方程式は1次元調和振動子と同じ形なので，解は既知である： $$ E_x = \hbar\omega\left(n_x + \frac{1}{2}\right), \quad E_y = \hbar\omega\left(n_y + \frac{1}{2}\right), \quad E_z = \hbar\omega\left(n_z + \frac{1}{2}\right) $$ ここで $n_x, n_y, n_z = 0, 1, 2, \ldots$ である．

3次元調和振動子のエネルギー固有値： $$ E_{n_x,n_y,n_z} = \hbar\omega\left(n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2}\right) = \hbar\omega\left(N + \frac{3}{2}\right) $$ ここで $N = n_x + n_y + n_z$ は主量子数である．

固有関数： $$ \psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z) = \psi_{n_x}(x) \psi_{n_y}(y) \psi_{n_z}(z) $$ 各因子は1次元調和振動子の固有関数： $$ \psi_n(\xi) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \xi\right) \exp\left(-\frac{m\omega \xi^2}{2\hbar}\right) $$

低次のエネルギー準位と縮退：

• $N = 0$：$E_0 = \frac{3\hbar\omega}{2}$，縮退度 1，状態 $(0,0,0)$
• $N = 1$：$E_1 = \frac{5\hbar\omega}{2}$，縮退度 3，状態 $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$
• $N = 2$：$E_2 = \frac{7\hbar\omega}{2}$，縮退度 6，状態 $(2,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,2)$, $(1,1,0)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$

3次元調和振動子は球対称なポテンシャルを持つため，球座標系でも解くことができる． 球座標での Laplacian を用いると： $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{\hat{L}^2}{r^2}\right]\psi + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 \psi = E\psi $$ ここで $\hat{L}^2$ は軌道角運動量の二乗演算子である．

変数分離 $\psi(r,\theta,\phi) = R(r) Y_l^m(\theta,\phi)$ により， 動径方程式： $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) - \frac{l(l+1)}{r^2}R\right] + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 R = E R $$

$u(r) = rR(r)$ とおくと： $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2} + \left[\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2\right]u = E u $$

球座標での動径方程式の解は，Laguerre陪多項式を用いて表される： $$ E_{n,l} = \hbar\omega\left(2n + l + \frac{3}{2}\right) $$ ここで $n = 0, 1, 2, \ldots$ は動径量子数，$l = 0, 1, 2, \ldots$ は軌道角運動量量子数である．

動径波動関数は： $$ R_{nl}(r) = \sqrt{\frac{2^{l+2} (m\omega)^{3/2}}{\hbar^{3/2}} \frac{n!}{\Gamma(n+l+3/2)}} \left(\frac{m\omega r^2}{\hbar}\right)^{l/2} \exp\left(-\frac{m\omega r^2}{2\hbar}\right) L_n^{l+1/2}\left(\frac{m\omega r^2}{\hbar}\right) $$ ここで $L_n^{\alpha}$ はLaguerre陪多項式，$\Gamma$ はガンマ関数である．

両方の表現は同じ物理系を記述しているため，エネルギー準位は一致しなければならない： $$ N + \frac{3}{2} = 2n + l + \frac{3}{2} $$ これより $N = 2n + l$ の関係が得られる．

球座標の量子数 $(n,l,m)$ とデカルト座標の量子数 $(n_x,n_y,n_z)$ の間には， 調和振動子多項式による関係がある．例えば：

• $N = 1$：$(n,l) = (0,1)$ と $(n_x,n_y,n_z) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ が対応
• $N = 2$：$(n,l) = (1,0), (0,2)$ と 6つのデカルト状態が対応

3次元調和振動子は，各方向の生成・消滅演算子を用いてエレガントに解くことができる： $$ \hat{a}_x = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\hat{x} + \frac{i\hat{p}_x}{m\omega}), \quad \hat{a}_x^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\hat{x} - \frac{i\hat{p}_x}{m\omega}) $$ 同様に $\hat{a}_y, \hat{a}_y^\dagger$ と $\hat{a}_z, \hat{a}_z^\dagger$ を定義する．

Hamiltonianは： $$ \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}_x^\dagger \hat{a}_x + \hat{a}_y^\dagger \hat{a}_y + \hat{a}_z^\dagger \hat{a}_z + \frac{3}{2}\right) $$

基底状態 $|0,0,0\rangle$ は $\hat{a}_x|0,0,0\rangle = \hat{a}_y|0,0,0\rangle = \hat{a}_z|0,0,0\rangle = 0$ を満たし， 一般の状態は： $$ |n_x,n_y,n_z\rangle = \frac{(\hat{a}_x^\dagger)^{n_x} (\hat{a}_y^\dagger)^{n_y} (\hat{a}_z^\dagger)^{n_z}}{\sqrt{n_x! n_y! n_z!}} |0,0,0\rangle $$

物理的応用： 3次元調和振動子は以下の物理系で重要な役割を果たす：

• 原子核の集団運動：核子の振動モードのモデル
• 量子ドット：半導体中の電子の3次元閉じ込め
• 分子振動：多原子分子の基準振動の記述
• 格子振動：結晶中のフォノンの量子化
• 場の量子論：自由場の展開での基本的構成要素

特に核物理学では，調和振動子殻模型として原子核の殻構造を理解するために用いられる． また，量子光学では多モードの電磁場を記述する際の基礎となっている．

3次元調和振動子の解は，より複雑な系（非調和項を含む振動子，外部場中の振動子など）の 摂動論の出発点としても重要である．その高い対称性により， 群論的手法による解析や，様々な座標系での表現の研究にも適している．