Aharonov-Bohm効果

Aharonov-Bohm効果（アハラノフ・ボーム効果）は，1959年にYakir AharonovとDavid Bohmによって理論的に予言された量子力学的現象である． この効果は，荷電粒子が磁場の存在しない領域を通過する際にも，その領域の外側にある磁場によって波動関数の位相が変化し， 干渉パターンに影響を与えることを示している．

古典物理学では，ポテンシャル$\phi$（スカラーポテンシャル）と $\mathbf{A}$（ベクトルポテンシャル）は単なる計算上の便宜にすぎない． しかし量子力学では，ベクトルポテンシャル$\mathbf{A}$自体が物理的に観測可能な効果を持つ． これは量子力学における位相の物理的重要性を示す顕著な例である．

目次

• 古典論との違い
• 電磁場を結合する量子系の構成
• ゲージ対称性と位相因子
• 電磁場のない場合との比較
• Aharonov-Bohm効果

古典論との違い

古典電磁気学

古典電磁気学では，荷電粒子に働く力はLorentz力 $$ \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) $$ で与えられる．ここで$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$はポテンシャルから $$ \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $$ $$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} $$ で導かれる．

古典論では，$\mathbf{B} = 0$の領域では$\mathbf{A}$の値は物理に影響しない． なぜなら，ゲージ変換$\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla \Lambda$によって$\mathbf{A}$を任意に変更できるからである．

電磁場を結合する量子系の構成

質量$m$の自由粒子の古典Lagrangianは $$ L_0 = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 $$ である．対応するHamiltonianは $$ H_0 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} $$ となる．

電磁場との相互作用を導入するために，最小結合原理（minimal coupling principle）を適用する． これは以下の置換を行うことを意味する： $$ \mathbf{p} \to \mathbf{p} - q\mathbf{A} $$ $$ H \to H + q\phi $$

この置換により，電磁場中の荷電粒子のLagrangianは $$ L = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 + q\dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{A} - q\phi $$ となる．

Lagrangianから正準運動量を定義すると $$ \boldsymbol{\pi} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}} = m\dot{\mathbf{r}} + q\mathbf{A} = \mathbf{p} + q\mathbf{A} $$ ここで$\mathbf{p} = m\dot{\mathbf{r}}$は従来の運動量である．

対応するHamiltonianは $$ H = \boldsymbol{\pi} \cdot \dot{\mathbf{r}} - L = \frac{(\boldsymbol{\pi} - q\mathbf{A})^2}{2m} + q\phi $$ となる．

古典系を量子化するために，正準交換関係 $$ [\hat{r}_i, \hat{\pi}_j] = i\hbar \delta_{ij} $$ を課す．波動関数表示では $$ \hat{\boldsymbol{\pi}} = -i\hbar \nabla $$ となる．

したがって，電磁場中の荷電粒子のSchrödinger方程式は $$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}{2m}(-i\hbar \nabla - q\mathbf{A})^2 \psi + q\phi \psi $$ となる．これは $$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}{2m}\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 \psi + q\phi \psi $$ と書ける．

ゲージ対称性と位相因子

電磁ポテンシャルのゲージ変換は $$ \mathbf{A} \to \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla \Lambda $$ $$ \phi \to \phi' = \phi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t} $$ で定義される．ここで$\Lambda(\mathbf{r}, t)$は任意のスカラー関数である．

このゲージ変換の下で，電場と磁場は不変である： $$ \mathbf{E}' = -\nabla \phi' - \frac{\partial \mathbf{A}'}{\partial t} = \mathbf{E} $$ $$ \mathbf{B}' = \nabla \times \mathbf{A}' = \mathbf{B} $$

Schrödinger方程式がゲージ変換に対して不変であるためには， 波動関数が以下のように変換される必要がある： $$ \psi(\mathbf{r}, t) \to \psi'(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}, t) \exp\left(\frac{iq\Lambda(\mathbf{r}, t)}{\hbar}\right) $$

この変換は局所ゲージ変換と呼ばれ，各点で異なる位相因子を持つ．

電磁場がない場合との比較

電磁場中では，最小結合原理により運動量$\mathbf{p}$が$\mathbf{p} - q\mathbf{A}$に置き換えられる． このとき，波動関数は電磁場がない場合の解に位相因子を掛けた形で表される： $$ \psi(\mathbf{r}, t) = \psi_0(\mathbf{r}, t) \exp\left(\frac{iq}{\hbar} \int^{\mathbf{r}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}\right) $$ 実際，これをSchrödinger方程式に代入すると，元の方程式と同じ形になる：

$\psi = \psi_0 e^{iq\chi/\hbar}$とし，$\chi = \int^{\mathbf{r}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$とする．

運動量演算子の作用： $$ (-i\hbar \nabla - q\mathbf{A}) \psi = (-i\hbar \nabla - q\mathbf{A}) \psi_0 e^{iq\chi/\hbar} $$ $$ = e^{iq\chi/\hbar} \left[(-i\hbar \nabla \psi_0) + \psi_0(-i\hbar \frac{iq}{\hbar}\nabla \chi) - q\mathbf{A}\psi_0\right] $$

$\nabla \chi = \mathbf{A}$なので： $$ = e^{iq\chi/\hbar} \left[(-i\hbar \nabla \psi_0) + q\psi_0\mathbf{A} - q\mathbf{A}\psi_0\right] = e^{iq\chi/\hbar} (-i\hbar \nabla \psi_0) $$

2乗すると： $$ (-i\hbar \nabla - q\mathbf{A})^2 \psi = e^{iq\chi/\hbar} (-i\hbar \nabla)^2 \psi_0 $$

したがって，$\psi_0$が自由粒子のSchrödinger方程式を満たせば， $\psi$は電磁場中のSchrödinger方程式を満たす．

この位相因子は，波動関数を経路に沿って「並行移動」させるために必要な変換である． 異なる経路を通った場合の位相差は，ホロノミー（holonomy）と呼ばれる幾何学的量である．

Aharonov-Bohm効果

2つの異なる経路$C_1$と$C_2$を通る波動関数を考える． 各経路に沿った位相因子は： $$ U_1 = \exp\left(\frac{iq}{\hbar} \int_{C_1} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}\right) $$ $$ U_2 = \exp\left(\frac{iq}{\hbar} \int_{C_2} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}\right) $$

2つの波動関数の干渉における位相差は： $$ \Delta \phi = \frac{q}{\hbar} \left(\int_{C_1} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} - \int_{C_2} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}\right) = \frac{q}{\hbar} \oint_{C_1 - C_2} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} $$

閉路積分にStokesの定理を適用すると： $$ \oint_{C_1 - C_2} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \int_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S} = \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = \Phi $$ ここで$S$は2つの経路で囲まれた面，$\Phi$はその面を貫く磁束である．

したがって，位相差は磁束にのみ依存し，具体的な経路の詳細には依存しない： $$ \Delta \phi = \frac{q\Phi}{\hbar} = \frac{2\pi \Phi}{\Phi_0} $$ ここで$\Phi_0 = h/q = 2\pi\hbar/q$は磁束量子である．

この結果は驚くべきことを示している：

• 粒子が磁場ゼロの領域のみを通過しても位相差が生じる
• 位相差は経路で囲まれた領域の磁束にのみ依存
• これはベクトルポテンシャルの物理的実在性を示す
• 古典力学では全く予想できない量子効果

最後に位相差のゲージ不変性を示しておく：ゲージ変換$\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla \Lambda$の下での位相差： $$ \Delta \phi' = \frac{q}{\hbar} \oint (\mathbf{A} + \nabla \Lambda) \cdot d\mathbf{l} = \Delta \phi + \frac{q}{\hbar} \oint \nabla \Lambda \cdot d\mathbf{l} $$

閉路積分では$\oint \nabla \Lambda \cdot d\mathbf{l} = 0$（$\Lambda$が一価関数の場合）なので， $\Delta \phi' = \Delta \phi$となり，位相差はゲージ不変である．