多粒子系

同種粒子系では，粒子が区別できないため，波動関数は特別な対称性を持つ必要がある． これは自然界に存在する粒子の分類とスピン-統計定理による重要な性質である．

2つの同種粒子の状態を交換する操作を交換演算子 $\hat{P}_{12}$ で表す： $$ \hat{P}_{12} \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2) = \psi(\vec{r}_2, \vec{r}_1) $$

同種粒子は物理的に区別できないため，粒子の交換によって観測可能量は変化してはならない： $$ |\hat{P}_{12} \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)|^2 = |\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)|^2 $$

これより，$\hat{P}_{12} \psi = e^{i\alpha} \psi$ が成り立つ．$\hat{P}_{12}$ を2回作用させると恒等変換になるので： $$ \hat{P}_{12}^2 \psi = e^{2i\alpha} \psi = \psi $$ したがって $e^{2i\alpha} = 1$ より $\alpha = 0$ または $\alpha = \pi$．

これにより，同種粒子の波動関数は以下のいずれかの性質を持つ：

• 対称： $\hat{P}_{12} \psi = +\psi$ （粒子交換で符号不変）
• 反対称： $\hat{P}_{12} \psi = -\psi$ （粒子交換で符号反転）

同種粒子は，その波動関数の対称性によって2つのクラスに分類される：

ボース粒子（ボソン）：

• 波動関数が対称：$\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots) = \psi(\vec{r}_2, \vec{r}_1, \ldots)$
• 整数スピン（$s = 0, 1, 2, \ldots$）を持つ
• 同一量子状態に複数の粒子が存在可能
• 例：光子（$s=1$），$^4$He原子（$s=0$），$\pi$中間子（$s=0$），$W$・$Z$ボソン（$s=1$），Higgsボソン（$s=0$）

フェルミ粒子（フェルミオン）：

• 波動関数が反対称：$\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots) = -\psi(\vec{r}_2, \vec{r}_1, \ldots)$
• 半整数スピン（$s = 1/2, 3/2, 5/2, \ldots$）を持つ
• 同一量子状態に最大1個の粒子のみ存在可能（Pauliの排斥原理）
• 例：電子（$s=1/2$），陽子（$s=1/2$），中性子（$s=1/2$），$^3$He原子（$s=1/2$），クォーク（$s=1/2$）

この分類はスピン-統計定理として知られ，相対論的場の量子論の基本的帰結である． この定理により，粒子のスピンと統計性（対称・反対称）は一意に対応づけられる．

多粒子系の波動関数は，一般に空間部分と内部自由度（スピンなど）に分離できる： $$ \Psi(\vec{r}_1, \sigma_1; \vec{r}_2, \sigma_2; \ldots) = \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots) \times \chi(\sigma_1, \sigma_2, \ldots) $$

ここで：

• $\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots)$：空間波動関数（軌道部分）
• $\chi(\sigma_1, \sigma_2, \ldots)$：内部波動関数（スピン部分）

フェルミ粒子の場合：全波動関数が反対称でなければならないため，

• 空間部分が対称 $\Rightarrow$ スピン部分は反対称
• 空間部分が反対称 $\Rightarrow$ スピン部分は対称

ボース粒子の場合：全波動関数が対称でなければならないため，

• 空間部分が対称 $\Rightarrow$ スピン部分は対称
• 空間部分が反対称 $\Rightarrow$ スピン部分は反対称

具体例（2電子系）：2つの電子（フェルミ粒子）の系を考える． 各電子の状態を軌道部分 $\phi_i(\vec{r})$ とスピン部分 $\alpha, \beta$（それぞれスピンアップ，ダウン）で表す．

空間波動関数：

• 対称： $\psi_S(\vec{r}_1, \vec{r}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}[\phi_a(\vec{r}_1)\phi_b(\vec{r}_2) + \phi_b(\vec{r}_1)\phi_a(\vec{r}_2)]$
• 反対称： $\psi_A(\vec{r}_1, \vec{r}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}[\phi_a(\vec{r}_1)\phi_b(\vec{r}_2) - \phi_b(\vec{r}_1)\phi_a(\vec{r}_2)]$

スピン波動関数：

• 対称（三重項）： $$ \chi_1 = \alpha(1)\alpha(2) $$ $$ \chi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2) + \beta(1)\alpha(2)] $$ $$ \chi_3 = \beta(1)\beta(2) $$
• 反対称（一重項）： $$ \chi_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2) - \beta(1)\alpha(2)] $$

許される全波動関数の組み合わせ：

• $\Psi_1 = \psi_S(\vec{r}_1, \vec{r}_2) \times \chi_0$ （空間対称 × スピン反対称）
• $\Psi_2 = \psi_A(\vec{r}_1, \vec{r}_2) \times \chi_{1,2,3}$ （空間反対称 × スピン対称）

物理的な結果：

• 原子の電子殻構造：各軌道（$n, l, m_l$）にスピンアップとダウンの電子が最大2個まで入る
• 金属の電気伝導：フェルミ面近傍の電子のみが伝導に寄与
• 白色矮星・中性子星：電子・中性子の縮退圧により重力崩壊を防ぐ
• 超伝導：電子がCooper対を形成してボース粒子的振る舞いを示す

一方，ボース粒子では同一状態への多重占有が可能で，これにより以下の現象が起こる：

• レーザー：多数の光子が同一モードに蓄積
• ボース-アインシュタイン凝縮：巨視的数の原子が基底状態に凝縮
• 超流動：$^4$He原子の量子凝縮による粘性ゼロの流体

$N$粒子系では，適切な対称性を持つ波動関数を構成する必要がある．

フェルミ粒子（反対称化）： 独立粒子近似での$N$粒子波動関数はSlater行列式で表される： $$ \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \phi_1(\vec{r}_1) & \phi_2(\vec{r}_1) & \cdots & \phi_N(\vec{r}_1) \\ \phi_1(\vec{r}_2) & \phi_2(\vec{r}_2) & \cdots & \phi_N(\vec{r}_2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_1(\vec{r}_N) & \phi_2(\vec{r}_N) & \cdots & \phi_N(\vec{r}_N) \end{vmatrix} $$ ここで $\phi_i(\vec{r})$ は各単一粒子軌道である．

ボース粒子（対称化）： 対称な波動関数は各項の正の符号での和として構成される： $$ \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_N) = \mathcal{C} \sum_P \phi_{n_1}(\vec{r}_{P(1)}) \phi_{n_2}(\vec{r}_{P(2)}) \cdots \phi_{n_N}(\vec{r}_{P(N)}) $$ ここで和は全ての置換$P$にわたり，$\mathcal{C}$は規格化定数である．

同種粒子系の取り扱いは，量子多体問題の基礎であり，凝縮系物理学，原子核物理学， 素粒子物理学など幅広い分野で重要な役割を果たしている． 特に，フェルミ液体理論やBCS超伝導理論などの現代物理学の基礎理論は， これらの統計性の理解の上に構築されている．