スピン系

スピン1/2粒子の状態空間は2次元複素ベクトル空間である．スピンのz成分の固有状態を基底として選ぶと： $$ |\pm\rangle = \left|\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{2}\right\rangle $$ これらは以下を満たす： $$ \hat{S}_z |+\rangle = +\frac{\hbar}{2} |+\rangle, \quad \hat{S}_z |-\rangle = -\frac{\hbar}{2} |-\rangle $$

スピン1/2の演算子はPauli行列を用いて表現される： $$ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

スピン演算子は： $$ \hat{S}_i = \frac{\hbar}{2} \sigma_i \quad (i = x, y, z) $$

Pauli行列は以下の重要な性質を満たす：

反交換関係： $\{\sigma_i, \sigma_j\} = 2\delta_{ij}$
交換関係： $[\sigma_i, \sigma_j] = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_k$
固有値： すべて $\pm 1$
トレース： $\text{tr}(\sigma_i) = 0$
行列式： $\det(\sigma_i) = -1$

基底状態 $|+\rangle, |-\rangle$ を列ベクトルで表現すると： $$ |+\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |-\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

各スピン演算子の基底状態への作用：

$\hat{S}_z$ の作用： $$ \hat{S}_z |+\rangle = \frac{\hbar}{2} |+\rangle, \quad \hat{S}_z |-\rangle = -\frac{\hbar}{2} |-\rangle $$

$\hat{S}_x$ の作用： $$ \hat{S}_x |+\rangle = \frac{\hbar}{2} |-\rangle, \quad \hat{S}_x |-\rangle = \frac{\hbar}{2} |+\rangle $$

$\hat{S}_y$ の作用： $$ \hat{S}_y |+\rangle = \frac{i\hbar}{2} |-\rangle, \quad \hat{S}_y |-\rangle = -\frac{i\hbar}{2} |+\rangle $$

軌道角運動量と同様に，スピンについても昇降演算子を定義できる： $$ \hat{S}_+ = \hat{S}_x + i\hat{S}_y = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ \hat{S}_- = \hat{S}_x - i\hat{S}_y = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

これらの作用は： $$ \hat{S}_+ |+\rangle = 0, \quad \hat{S}_+ |-\rangle = \hbar |+\rangle $$ $$ \hat{S}_- |+\rangle = \hbar |-\rangle, \quad \hat{S}_- |-\rangle = 0 $$

一般的な公式 $\hat{S}_\pm |s, m\rangle = \hbar\sqrt{s(s+1) - m(m \pm 1)} |s, m \pm 1\rangle$ において， $s = 1/2$ の場合： $$ \hat{S}_+ \left|\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right\rangle = \hbar\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}} \left|\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle = \hbar |+\rangle $$ $$ \hat{S}_- \left|\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle = \hbar\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \left|\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right\rangle = \hbar |-\rangle $$

任意の方向 $\hat{n} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ のスピン成分： $$ \hat{S} \cdot \hat{n} = \frac{\hbar}{2}(\sin\theta\cos\phi \cdot \sigma_x + \sin\theta\sin\phi \cdot \sigma_y + \cos\theta \cdot \sigma_z) $$ $$ = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta e^{-i\phi} \\ \sin\theta e^{i\phi} & -\cos\theta \end{pmatrix} $$

この行列の固有値は $\pm\hbar/2$ で，対応する正規化された固有状態は： $$ |+; \hat{n}\rangle = \cos\frac{\theta}{2} |+\rangle + \sin\frac{\theta}{2} e^{i\phi} |-\rangle $$ $$ |-; \hat{n}\rangle = \sin\frac{\theta}{2} |+\rangle - \cos\frac{\theta}{2} e^{i\phi} |-\rangle $$

特別な場合：

x方向： $|+; \hat{x}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$, $|-; \hat{x}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle - |-\rangle)$
y方向： $|+; \hat{y}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + i|-\rangle)$, $|-; \hat{y}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle - i|-\rangle)$

任意のスピン1/2状態はBloch球上の点として表現できる： $$ |\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2} |+\rangle + \sin\frac{\theta}{2} e^{i\phi} |-\rangle $$ ここで $0 \leq \theta \leq \pi$, $0 \leq \phi < 2\pi$ はBloch球上の極座標である．

期待値ベクトル： $$ \vec{s} = \langle\psi|\vec{\sigma}|\psi\rangle = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) $$ は単位ベクトルで，Bloch球表面上の点を表す．

重要な状態：

北極 $(0,0,1)$：$|+\rangle$ （z方向スピンアップ）
南極 $(0,0,-1)$：$|-\rangle$ （z方向スピンダウン）
赤道上 $(1,0,0)$：$\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$ （x方向スピンアップ）
赤道上 $(0,1,0)$：$\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + i|-\rangle)$ （y方向スピンアップ）

状態 $|\psi\rangle = \alpha |+\rangle + \beta |-\rangle$ において：

z方向スピンの測定：

$+\hbar/2$ が得られる確率：$|\alpha|^2$
$-\hbar/2$ が得られる確率：$|\beta|^2$

任意方向 $\hat{n}$ のスピンの測定： $$ P(+\hbar/2) = |\langle +; \hat{n}|\psi\rangle|^2 $$ $$ P(-\hbar/2) = |\langle -; \hat{n}|\psi\rangle|^2 $$

例：状態 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$ でx方向のスピンを測定すると， $$ P(+\hbar/2) = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}(\langle +| + \langle -|) \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(1 + 1)\right|^2 = 1 $$ 確実に $+\hbar/2$ が得られる．

一様磁場 $\vec{B} = B\hat{z}$ 中でのスピンのHamiltonianは： $$ \hat{H} = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} = -\gamma \hbar \hat{S}_z B = -\frac{\gamma \hbar B}{2} \sigma_z $$ ここで $\gamma$ は磁気回転比である．

時間発展演算子： $$ \hat{U}(t) = \exp\left(-i\hat{H}t/\hbar\right) = \exp\left(i\frac{\gamma B t}{2} \sigma_z\right) $$ $$ = \cos\frac{\gamma B t}{2} I + i\sin\frac{\gamma B t}{2} \sigma_z = \begin{pmatrix} e^{i\gamma B t/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\gamma B t/2} \end{pmatrix} $$

初期状態 $|\psi(0)\rangle = |+; \hat{x}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$ の時間発展： $$ |\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{i\gamma B t/2} |+\rangle + e^{-i\gamma B t/2} |-\rangle\right) $$ $$ = \frac{e^{i\gamma B t/2}}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + e^{-i\gamma B t} |-\rangle\right) $$

期待値の時間変化： $$ \langle \hat{S}_x \rangle(t) = \frac{\hbar}{2}\cos(\gamma B t) $$ $$ \langle \hat{S}_y \rangle(t) = \frac{\hbar}{2}\sin(\gamma B t) $$ $$ \langle \hat{S}_z \rangle(t) = 0 $$ スピンは磁場周りに角周波数 $\omega = \gamma B$ で歳差運動を行う．

スピン1/2系は量子情報理論におけるqubit（量子ビット）の物理的実現として極めて重要である．量子コンピュータ，量子暗号，量子テレポーテーションなどの量子技術の基礎となっている．

また，スピン1/2系は以下の物理現象の理解にも不可欠である：

電子スピン共鳴（ESR）：磁場中での電子スピンの共鳴吸収
核磁気共鳴（NMR）：原子核スピンの磁気共鳴現象
スピントロニクス：電子のスピン自由度を利用した電子工学
量子ドット：半導体中の単一電子スピン制御
磁性体：局在スピン間の相互作用による磁気秩序

Stern-Gerlach実験

Stern-Gerlach実験（1922年）は，原子のスピンの存在を直接的に実証した歴史的な実験である．この実験は量子力学における空間量子化（space quantization）の概念を初めて実験的に確認し，古典物理学では説明できない量子現象を明確に示した．

実験セットアップ

実験装置は以下の主要な構成要素からなる：

1. 原子線源（Atomic Beam Source）： 銀原子を加熱した炉から，細いスリットを通して原子ビームを生成する．銀原子（Ag）は最外殻に不対電子を1個持ち，総角運動量 $J = 1/2$ を持つため理想的な実験対象である．炉の温度は約1000K程度で，原子の熱運動速度は： $$ v = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}} \approx 600 \text{ m/s} $$

2. 非一様磁場（Inhomogeneous Magnetic Field）： 実験の核心部分である．磁場の強さが空間的に変化する領域を作るため，一方の磁極を鋭利に加工し，もう一方を平面状にした特殊な電磁石を使用する．これにより，z方向に強い磁場勾配 $\frac{\partial B_z}{\partial z}$ が生じる．典型的な値：$B \sim 1$ T，$\frac{\partial B_z}{\partial z} \sim 10^3$ T/m

3. 検出スクリーン（Detection Screen）： 磁場領域を通過した原子が堆積する金属板またはガラス板．銀原子の堆積パターンを可視化するため，化学的現像処理を行う．

理論的解析

磁気モーメント $\vec{\mu}$ を持つ原子が非一様磁場中で受ける力は： $$ \vec{F} = \nabla(\vec{\mu} \cdot \vec{B}) $$ 磁場がz方向のみに依存し，$\vec{B} = B_z(z) \hat{z}$ の場合： $$ F_z = \mu_z \frac{\partial B_z}{\partial z} $$

スピン1/2原子の磁気モーメントは： $$ \vec{\mu} = -g_J \mu_B \vec{J} = -g_J \mu_B \vec{S} $$ ここで $g_J \approx 2$（Landé g因子），$\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}$（Bohr磁子）である．

z成分は量子化されており： $$ \mu_z = -g_J \mu_B m_J = \mp g_J \mu_B \frac{1}{2} $$ したがって，z方向の力は： $$ F_z = \mp g_J \mu_B \frac{1}{2} \frac{\partial B_z}{\partial z} $$

古典的予測 vs 量子力学的予測

古典的予測： 古典物理学では，原子の磁気モーメントは任意の方向を向くことができる．磁場に対する角度を $\theta$ とすると，$\mu_z = \mu \cos\theta$ で連続的な値を取る．したがって，検出スクリーン上では連続的な分布が観測されると予想される．

量子力学的予測： 量子力学では，角運動量のz成分は量子化されている．$J = 1/2$ の場合： $$ m_J = +\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} $$ のみが許される．これにより，原子ビームは2つの離散的な軌道に分離される．

実験結果と物理的意義

実際の実験結果：検出スクリーン上に2本の明確に分離した線が観測された．これは量子力学の予測と完全に一致し，古典物理学の連続分布予測を明確に否定した．

軌道の分離距離の計算：磁場領域の長さを $L$，磁場通過時間を $t = L/v$ とすると， z方向の加速度は： $$ a_z = \frac{F_z}{m} = \pm \frac{g_J \mu_B}{2m} \frac{\partial B_z}{\partial z} $$ 磁場通過後のz方向変位： $$ \Delta z = \frac{1}{2} a_z t^2 = \pm \frac{g_J \mu_B L^2}{4mv^2} \frac{\partial B_z}{\partial z} $$

典型的な実験パラメータでの見積もり：

$L = 3$ cm（磁場領域の長さ）
$v = 600$ m/s（原子の速度）
$\frac{\partial B_z}{\partial z} = 10^3$ T/m（磁場勾配）
$m_{Ag} = 1.8 \times 10^{-25}$ kg（銀原子の質量）

これらの値を用いると： $$ \Delta z \approx \pm 0.1 \text{ mm} $$ すなわち，2本の線は約0.2 mmの間隔で分離される．

拡張実験：連続Stern-Gerlach測定

複数のStern-Gerlach装置を直列に配置した実験は，量子測定の非可換性を示す：

実験1：SGz → SGz 最初のSGzで$m_J = +1/2$を選択し，2番目のSGzに入力すると，出力は100%が$m_J = +1/2$となる（状態は変化しない）．

実験2：SGz → SGx → SGz 最初のSGzで$m_J = +1/2$を選択し，SGxを通過させた後，再度SGzで測定すると， $m_J = \pm 1/2$がそれぞれ50%の確率で観測される．これは中間のSGx測定によって元の情報が「消去」されることを示している．

この結果は量子力学の不確定性原理と相補性の直接的な実証である： $$ \Delta S_x \Delta S_z \geq \frac{|\langle S_y \rangle|}{2} $$ 異なる方向のスピン成分は同時に確定した値を持つことができない．

HEP-NOTE