任意の2つの観測量 $\hat{A}$ と $\hat{B}$，および状態 $|\psi\rangle$ を考える． $\langle A \rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$，$\langle B \rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle$ とし， $\hat{A}' = \hat{A} - \langle A \rangle$，$\hat{B}' = \hat{B} - \langle B \rangle$ を定義する．

任意の実数 $\lambda$ に対して，$|\phi\rangle = (\hat{A}' + i\lambda \hat{B}')|\psi\rangle$ とすると， $\langle\phi|\phi\rangle \geq 0$ が成り立つ．これを展開すると： $$ \langle\phi|\phi\rangle = \langle\psi|(\hat{A}' - i\lambda \hat{B}')(\hat{A}' + i\lambda \hat{B}')|\psi\rangle $$ $$ = \langle\psi|(\hat{A}')^2|\psi\rangle + \lambda^2 \langle\psi|(\hat{B}')^2|\psi\rangle + i\lambda \langle\psi|[\hat{A}', \hat{B}']|\psi\rangle $$

ここで，$(\Delta A)^2 = \langle(\hat{A}')^2\rangle$，$(\Delta B)^2 = \langle(\hat{B}')^2\rangle$， $[\hat{A}', \hat{B}'] = [\hat{A}, \hat{B}]$ であることを用いると： $$ \langle\phi|\phi\rangle = (\Delta A)^2 + \lambda^2 (\Delta B)^2 + i\lambda \langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle \geq 0 $$

この不等式が任意の実数 $\lambda$ に対して成り立つため，判別式が非正でなければならない： $$ \langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle^2 - 4(\Delta A)^2 (\Delta B)^2 \leq 0 $$

$\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle$ は純虚数なので，$|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle|^2 = -\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle^2$ より： $$ (\Delta A)^2 (\Delta B)^2 \geq \frac{|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle|^2}{4} $$

両辺の平方根をとることで，不確定性原理が得られる： $$ \Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle| $$

エルミート演算子 $\hat{A}$ の固有値 $a$ と対応する固有状態 $|a\rangle$ を考える． すなわち，$\hat{A}|a\rangle = a|a\rangle$ とする． 両辺の左から $\langle a|$ をかけると： $\langle a|\hat{A}|a\rangle = a\langle a|a\rangle = a$ 一方，この式の複素共役をとると： $\langle a|\hat{A}|a\rangle^* = (\langle a|\hat{A}|a\rangle)^* = a^*$ ここで，エルミート演算子の定義 $\hat{A}^\dagger = \hat{A}$ を用いると： $\langle a|\hat{A}|a\rangle^* = \langle a|\hat{A}^\dagger|a\rangle = \langle a|\hat{A}|a\rangle$ したがって： $a^* = \langle a|\hat{A}|a\rangle = a$ これより $a = a^*$ が成り立つ．複素数が自分自身の複素共役と等しいということは， その数が実数であることを意味する． よって，エルミート演算子の固有値は実数である．

次に，エルミート演算子の異なる固有値に対応する固有状態が直交することを示す． $\hat{A}$ の2つの異なる固有値 $a$ と $b$ （$a \neq b$）に対応する固有状態を それぞれ $|a\rangle$ と $|b\rangle$ とする．すなわち： $\hat{A}|a\rangle = a|a\rangle$，$\hat{A}|b\rangle = b|b\rangle$ 第1式の両辺の左から $\langle b|$ をかけると： $\langle b|\hat{A}|a\rangle = a\langle b|a\rangle$ 一方，第2式の両辺の右から $|a\rangle$ をかけ，左から $\langle b|$ をかけると： $\langle b|\hat{A}|a\rangle = b\langle b|a\rangle$ エルミート演算子の性質 $\langle b|\hat{A}|a\rangle = \langle b|\hat{A}^\dagger|a\rangle = \langle b|\hat{A}|a\rangle$ より， 上の2つの式から： $a\langle b|a\rangle = b\langle b|a\rangle$ これを整理すると： $(a - b)\langle b|a\rangle = 0$ $a \neq b$ なので $a - b \neq 0$ であり，したがって $\langle b|a\rangle = 0$ でなければならない． これより，異なる固有値に対応する固有状態は直交する．

縮退がある場合： 同じ固有値 $a$ に対して複数の固有状態 $|a_1\rangle, |a_2\rangle, \ldots, |a_n\rangle$ が存在する場合 （縮退度 $n$），これらの状態は必ずしも互いに直交しているとは限らない． しかし，Gram-Schmidt の直交化法を用いることで，同じ固有値に属する固有状態の 線形結合から互いに直交する正規直交基底を構成することができる． 具体的には，$|a_1'\rangle = |a_1\rangle$ とし， $|a_2'\rangle = |a_2\rangle - \frac{\langle a_1'|a_2\rangle}{\langle a_1'|a_1'\rangle}|a_1'\rangle$ のように順次直交化を行う． このようにして得られた正規直交基底 $\{|a_i'\rangle\}$ もまた同じ固有値 $a$ の固有状態であり， 互いに直交する．異なる固有値に対応する固有状態との直交性は上記の証明により保証される． したがって，エルミート演算子の固有状態は適切に選ぶことで完全な正規直交系を構成できる．

エルミート演算子の固有状態が完全系を成すことは，Hilbert空間上の有界自己共役演算子に対する スペクトル定理の帰結である．ここでは有限次元の場合の証明を示す． $n$次元Hilbert空間における$n \times n$エルミート行列$\hat{A}$を考える． エルミート行列は対角化可能であることが知られており，適切な正規直交基底 $\{|v_1\rangle, |v_2\rangle, \ldots, |v_n\rangle\}$を選ぶことで $\hat{A}|v_i\rangle = \lambda_i |v_i\rangle$と表せる． このとき，任意のベクトル$|\psi\rangle$は正規直交基底の線形合成として $|\psi\rangle = \sum_{i=1}^n c_i |v_i\rangle$ と一意に表現できる．ここで$c_i = \langle v_i|\psi\rangle$である． これは完全性関係$\sum_{i=1}^n |v_i\rangle\langle v_i| = \hat{I}$（恒等演算子） が成り立つことと同値である． 無限次元の場合，連続スペクトルも含めたより一般的なスペクトル定理が適用され， 積分形式の完全性関係 $\int |E\rangle\langle E| dE = \hat{I}$ が成り立つ．ここで積分は演算子のスペクトラム全体にわたる． したがって，エルミート演算子の固有状態（連続スペクトルの場合は一般化固有状態を含む）は 完全系を成し，任意の物理状態はこれらの線形結合として表現できる．つまり，完全性関係より任意の状態$|\psi \rangle$について $$ |\psi\rangle = \int |E\rangle\langle E|\psi\rangle dE $$ が成り立つ．