1次元1粒子系

目次

• 自由粒子
• 無限井戸型ポテンシャル
• 調和振動子
• 有限井戸型ポテンシャル
• デルタ関数ポテンシャル
• 階段型ポテンシャル

量子力学では，1次元系の状態は抽象的なHilbert空間$\mathcal{H}$のベクトル$|\psi\rangle$で記述される． このベクトルは抽象的な存在だが，具体的な計算のためには適切な「表示」を選ぶ必要がある． 最も重要な表示が位置表示と運動量表示である．

1次元1粒子系の状態空間は，複素関数の空間$L^2(\mathbb{R})$と同型な無限次元Hilbert空間$\mathcal{H}$である．

位置演算子$\hat{x}$と運動量演算子$\hat{p}$は，このHilbert空間上の自己共役演算子として定義され， 正準交換関係$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$を満たす．これらの演算子の固有状態は 物理的に重要な完全系を形成する．

位置演算子$\hat{x}$の固有状態$|x\rangle$を基底として状態を係数で表すことを位置表示という． これらの固有状態は「形式的に」$\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$を満たし， 連続固有値$x \in \mathbb{R}$を持つ一般化固有状態である．

任意の状態$|\psi\rangle$の位置表示は波動関数$\psi(x,t) = \langle x|\psi\rangle$で与えられ， $|\psi(x,t)|^2 dx$は粒子が時刻$t$に区間$[x, x+dx]$に見つかる確率を表す（Born則）．

一方で運動量演算子$\hat{p}$の固有状態$|p\rangle$を基底とする表示を運動量表示という． これらの固有状態は$\hat{p}|p\rangle = p|p\rangle$を満たし， 連続固有値$p \in \mathbb{R}$を持つ．

任意の状態$|\psi\rangle$の運動量表示は$\tilde{\psi}(p,t) = \langle p|\psi\rangle$で与えられ， $|\tilde{\psi}(p,t)|^2 dp$は粒子が時刻$t$に運動量区間$[p, p+dp]$を持つ確率を表す．

この関係は，位置の確定した状態では運動量が完全に不確定となり， 逆に運動量の確定した状態では位置が完全に不確定となることを示している． これはHeisenbergの不確定性原理の具体的な現れである．

どの表示を選ぶかは問題の性質によって決まる：

• 位置表示：ポテンシャル$V(x)$が位置の関数として与えられる場合に便利
• 運動量表示：運動エネルギーや自由粒子の問題で有用
• エネルギー表示：Hamiltonianの固有状態での記述（定常状態）

重要なのは，どの表示を選んでも物理的な予測（期待値，確率など）は同じになることである．

さて，1次元1粒子系の位置表示での（時間に依存する）Schrödinger方程式は $$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x) \psi $$ となる．時間に依存しないポテンシャル $V(x)$ の場合，変数分離により定常状態の方程式 $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi $$ が得られる（$\psi(x,t)$も$\psi(x)$も同じ記号で書いているが正確には違うものである；引数で区別される）．これを時間に依存しないSchrödinger方程式と呼ぶ．この解$\psi(x)$を用いると，元の時間に依存する波動関数は$\psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ で与えられる．

以下では様々なポテンシャル$V(x)$に対する解を考え，量子系における粒子の振る舞いを理解する．1次元系なんで考える意味があるのかと思われるかもしれないが，3次元系では古典論の場合のように，中心力ポテンシャルを持つ場合，問題は1次元系に還元されることが後で示される．また簡単なtoyモデルを考えることで，量子力学の基本的な性質を理解するのに役立つ．

自由粒子

ポテンシャル $V(x) = 0$ の自由粒子の場合，Schrödinger方程式は $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} = E \psi $$ となる．$k = \sqrt{2mE}/\hbar$ とおくと，一般解は $$ \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} $$ で与えられる．これは運動量 $p = \pm\hbar k$ を持つ波である．

エネルギーは $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$ で，古典的な自由粒子と同じ形である． ただし，エネルギーは連続的な値をとり，$\psi(x)$ は規格化できない．この問題は以下の方法で解消される：

周期的境界条件： 長さ $L$ の区間 $[0, L]$ で周期的境界条件 $\psi(0) = \psi(L)$ を課すと， 波数が量子化される：$k_n = \frac{2\pi n}{L}$ （$n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$）

規格化された固有関数は $$ \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{L}} e^{ik_n x} = \frac{1}{\sqrt{L}} e^{i2\pi nx/L} $$ となり，これらは離散的な完全正規直交系を形成する： $$ \int_0^L \psi_m^*(x) \psi_n(x) dx = \delta_{mn} $$

$L \to \infty$ の極限で連続スペクトルが回復する．この手法は固体物理学の Born-von Karman境界条件として広く用いられる．

波束の構成： 平面波の線形合成として局在化した波束を構成することで， 規格化可能な自由粒子の状態を作ることができる： $$ \psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\psi}(k) e^{ikx - i\omega(k)t} dk $$ ここで $\omega(k) = \frac{\hbar k^2}{2m}$ は分散関係と呼ばれる．

例として，Gaussian波束を考える： $$ \tilde{\psi}(k) = \left(\frac{2\sigma^2}{\pi}\right)^{1/4} \exp\left(-\sigma^2(k-k_0)^2 - ik_0 x_0\right) $$ これにより，$x_0$ の周りに局在し，平均運動量 $\hbar k_0$ を持つ波束が得られる．

波束は時間とともに分散し，位置の不確定性は $$ \Delta x(t) = \sqrt{\sigma^2 + \frac{\hbar^2 t^2}{4m^2\sigma^2}} $$ のように増大する．これは自由粒子の量子力学的拡散を表している．

これらの手法により，自由粒子の問題も厳密な量子力学的記述が可能となる． 物理的には，実際の粒子は常に有限の空間領域に局在しているか， 何らかの境界条件の下にあると考えられる．[2]

無限井戸型ポテンシャル

区間 $[0, a]$ 内でポテンシャルがゼロ，その外で無限大となる系を考える： $$ V(x) = \begin{cases} 0 & (0 < x < a) \\ \infty & (x \leq 0, x \geq a) \end{cases} $$ 境界条件は $\psi(0) = \psi(a) = 0$ である．

井戸内部での解は $\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$ であり， 異なる領域の境界で波動関数は連続的でなければならない．したがって境界条件から $B = 0$，$\sin(ka) = 0$ となる． これより $k = n\pi/a$ （$n = 1, 2, 3, \ldots$）が得られる．

エネルギー固有値と規格化された固有関数は $$ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2} $$ $$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) $$ となる．エネルギーは離散的で，最低エネルギー（零点エネルギー）は $E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}$ である．

調和振動子

ポテンシャル $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$ を持つ調和振動子のSchrödinger方程式は $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi = E \psi $$ である．

無次元変数 $\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x$ を導入し，$\lambda = \frac{2E}{\hbar\omega}$ とすると， 方程式は $$ \frac{d^2 \psi}{d \xi^2} + (\lambda - \xi^2) \psi = 0 $$ となる．解析解はHermite多項式 $H_n(\xi)$ を用いて表される．

エネルギー固有値と固有関数は $$ E_n = \hbar\omega \left(n + \frac{1}{2}\right) \quad (n = 0, 1, 2, \ldots) $$ $$ \psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x\right) \exp\left(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right) $$ となる．零点エネルギーは $E_0 = \frac{\hbar\omega}{2}$ である．

調和振動子の問題は，生成・消滅演算子を用いることで代数的に解くことができる． この方法は微分方程式を解く必要がなく，エレガントで物理的洞察に富んでいる．

位置演算子$\hat{x}$と運動量演算子$\hat{p}$から，次の演算子を定義する： $$ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(\hat{x} + \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right) $$ $$ \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(\hat{x} - \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right) $$ $\hat{a}$を消滅演算子，$\hat{a}^\dagger$を生成演算子と呼ぶ．

逆関係式： $$ \hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (\hat{a} + \hat{a}^\dagger) $$ $$ \hat{p} = i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}} (\hat{a}^\dagger - \hat{a}) $$

$\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}$を数演算子（number operator）と定義する． Hamiltonianは $$ \hat{H} = \hbar\omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2}\right) $$ と表される．

数演算子は次の性質を満たす： $$ [\hat{N}, \hat{a}] = -\hat{a}, \quad [\hat{N}, \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger $$

固有値$n$は非負でなければならない．なぜなら： $$ n = \langle n|\hat{N}|n\rangle = \langle n|\hat{a}^\dagger \hat{a}|n\rangle = \|\hat{a}|n\rangle\|^2 \geq 0 $$

最小固有値を$n_0$とすると，$\hat{a}|n_0\rangle = \sqrt{n_0}|n_0-1\rangle$だが， $n_0-1 < n_0$は最小性に矛盾する．したがって$\hat{a}|n_0\rangle = 0$でなければならない． これより$n_0 = 0$が得られる．

数演算子の固有値は$n = 0, 1, 2, \ldots$の非負整数である． エネルギー固有値は： $$ E_n = \hbar\omega \left(n + \frac{1}{2}\right) \quad (n = 0, 1, 2, \ldots) $$

基底状態$|0\rangle$は$\hat{a}|0\rangle = 0$を満たし，この方程式から波動関数を求めることができる．

位置表示で$\hat{a}|0\rangle = 0$を解くと，基底状態の波動関数が得られる： $$ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(\hat{x} + \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right) = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(x + \frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right) $$

$\hat{a}\psi_0(x) = 0$より： $$ \left(x + \frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\psi_0(x) = 0 $$ $$ \frac{d\psi_0}{dx} = -\frac{m\omega}{\hbar}x \psi_0 $$

この微分方程式の解は： $$ \psi_0(x) = A \exp\left(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right) $$ 規格化定数を求めると： $$ \psi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} \exp\left(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right) $$

この代数的方法の美しさは，微分方程式を一切解くことなく， 演算子の交換関係のみから調和振動子の完全な解が得られることである． また，この手法は場の量子論における粒子の生成・消滅の記述の基礎としても重要な役割を果たしている．

有限井戸型ポテンシャル

対称な有限井戸ポテンシャル $$ V(x) = \begin{cases} -V_0 & (|x| < a) \\ 0 & (|x| > a) \end{cases} $$ を考える．束縛状態（$E < 0$）では，井戸内部で振動解，外部で指数関数的に減衰する解を持つ．

井戸内部（$|x| < a$）と外部（$|x| > a$）で異なる方程式を解く必要がある：

井戸内部（$|x| < a$）： $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} - V_0 \psi = E \psi $$ $$ \frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2 \psi, \quad k = \sqrt{\frac{2m(E + V_0)}{\hbar^2}} $$

井戸外部（$|x| > a$）： $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} = E \psi $$ $$ \frac{d^2\psi}{dx^2} = \kappa^2 \psi, \quad \kappa = \sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^2}} $$ （束縛状態では $E < 0$ なので $\kappa$ は実数）

偶パリティ状態：対称性を利用して $x \geq 0$ の領域のみを考える：

井戸内部（$0 < x < a$）： $$ \psi(x) = A \cos(kx) $$ （$\sin(kx)$ 項は $x = 0$ での偶パリティ条件により消える）

井戸外部（$x > a$）： $$ \psi(x) = B e^{-\kappa x} $$ （$e^{\kappa x}$ 項は $x \to \infty$ で発散するため除外）

境界条件：
1. 連続性（$x = a$）：$A \cos(ka) = B e^{-\kappa a}$
2. 微分の連続性（$x = a$）：$-Ak \sin(ka) = -B\kappa e^{-\kappa a}$

第1式から $B = A \cos(ka) e^{\kappa a}$ を第2式に代入すると， $$ -Ak \sin(ka) = -A\kappa \cos(ka) $$ $$ k \tan(ka) = \kappa $$

奇パリティ状態：対称性を利用して $x \geq 0$ の領域のみを考える：

井戸内部（$0 < x < a$）： $$ \psi(x) = A \sin(kx) $$ （$\cos(kx)$ 項は $x = 0$ での奇パリティ条件により消える）

同様の境界条件から， $$ -k \cot(ka) = \kappa $$

無次元変数を導入する： $$ \xi = ka, \quad \eta = \kappa a $$ $$ \xi^2 + \eta^2 = \frac{2mV_0 a^2}{\hbar^2} \equiv \xi_0^2 $$

固有値方程式は，
偶パリティ： $\xi \tan \xi = \eta$
奇パリティ： $-\xi \cot \xi = \eta$

これらは円 $\xi^2 + \eta^2 = \xi_0^2$ と曲線の交点を求める問題となる．

束縛状態の総数は，井戸の「強さ」$\xi_0 = a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ によって決まる： $$ N_{\text{bound}} = \text{Int}\left(\frac{\xi_0}{\pi} + \frac{1}{2}\right) $$ ここで $\text{Int}(x)$ は $x$ を超えない最大の整数である．

特別な場合：

• $\xi_0 < \pi/2$：束縛状態なし
• $\pi/2 < \xi_0 < 3\pi/2$：1つの束縛状態（偶パリティ）
• $3\pi/2 < \xi_0 < 5\pi/2$：2つの束縛状態（偶・奇各1つ）

浅い井戸の極限（$V_0 \to 0$）$\xi_0 \ll 1$ の場合，$\tan \xi \approx \xi$ より： $$ \xi^2 \approx \eta = \sqrt{\xi_0^2 - \xi^2} \approx \xi_0 $$ $$ \xi \approx \sqrt{\xi_0} = a\sqrt[4]{\frac{2mV_0}{\hbar^2}} $$

束縛エネルギーは： $$ |E| = \frac{\hbar^2 \kappa^2}{2m} \approx \frac{mV_0^2 a^2}{2\hbar^2} $$

深い井戸の極限（$V_0 \to \infty$）$\xi_0 \gg 1$ の場合，境界での波動関数はほぼゼロとなり， 無限井戸の結果に近づく：
偶パリティ： $\cos(ka) \approx 0 \Rightarrow ka \approx (n + 1/2)\pi$
奇パリティ： $\sin(ka) \approx 0 \Rightarrow ka \approx n\pi$

エネルギーは： $$ E_n \approx \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2} - V_0 $$ （$n = 1, 2, 3, \ldots$ で，奇数が偶パリティ，偶数が奇パリティ）

例えば，電子（$m = 9.11 \times 10^{-31}$ kg）が $V_0 = 10$ eV，$a = 1$ Åの井戸に束縛される場合：

$$ \xi_0 = a\sqrt{\frac{2mV_0}{\hbar^2}} \approx 5.1 $$

$\xi_0 > 3\pi/2 \approx 4.7$ なので，2つの束縛状態が存在する：

• 基底状態（偶パリティ）：$E_1 \approx -6.8$ eV
• 第1励起状態（奇パリティ）：$E_2 \approx -1.2$ eV

有限井戸型ポテンシャルは，原子核内の核子の束縛や分子内電子の局在化など， 多くの物理系のモデルとして重要である．また，量子井戸構造を持つ半導体デバイスの 設計にも応用される．

デルタ関数型ポテンシャル

点状の引力ポテンシャル $V(x) = -\alpha \delta(x)$ （$\alpha > 0$）を考える． この場合，束縛状態は最大1つしか存在しない．

$x \neq 0$ の領域では自由粒子と同じ方程式： $$ \frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2 \psi, \quad k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $$ （束縛状態では $E < 0$ なので，$x > 0$ と $x < 0$ で指数関数的に減衰する解を持つ）

束縛状態（$E < 0$）を考えると，$\kappa = \sqrt{-2mE/\hbar^2}$ として： $$ \psi(x) = \begin{cases} A e^{\kappa x} & (x < 0) \\ B e^{-\kappa x} & (x > 0) \end{cases} $$ （$x \to \pm\infty$ で発散しない条件）

デルタ関数ポテンシャルでは，$x = 0$ で以下の境界条件を課す：

1. 波動関数の連続性： $$ \psi(0^-) = \psi(0^+) $$ これより $A = B$ が得られる．

$A = B$ として $\psi(x) = A e^{-\kappa|x|}$ とすると： $$ \psi'(0^+) = -\kappa A, \quad \psi'(0^-) = \kappa A $$ $$ \psi'(0^+) - \psi'(0^-) = -2\kappa A = -\frac{2m\alpha}{\hbar^2} A $$

これより： $$ 2\kappa = \frac{2m\alpha}{\hbar^2} $$ $$ \kappa = \frac{m\alpha}{\hbar^2} $$

束縛エネルギーは： $$ E = -\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m} = -\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2} $$

規格化された波動関数は： $$ \psi(x) = \sqrt{\frac{m\alpha}{\hbar^2}} \exp\left(-\frac{m\alpha|x|}{\hbar^2}\right) $$

• 束縛状態は1つだけ：どんなに弱い引力でも必ず1つの束縛状態が存在する
• 波動関数の特徴：$x = 0$ で尖った形（cusp）を持つ
• 束縛範囲：典型的な局在化長さは $\hbar^2/(m\alpha)$ のオーダー
• 古典的対応：古典力学では点状引力による束縛状態は存在しない

散乱状態（$E > 0$）エネルギー $E > 0$ の散乱状態では，左側から入射する粒子を考える： $$ \psi(x) = \begin{cases} A e^{ikx} + B e^{-ikx} & (x < 0) \\ C e^{ikx} & (x > 0) \end{cases} $$ ここで $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ である．

境界条件を適用すると：
連続性： $A + B = C$
微分の不連続性： $ik(C - A + B) = -\frac{2m\alpha}{\hbar^2}C$

これらを解くと： $$ B = \frac{-i\gamma}{2ik + \gamma} A, \quad C = \frac{2ik}{2ik + \gamma} A $$ ここで $\gamma = 2m\alpha/\hbar^2$ である．

反射係数： $$ R = \left|\frac{B}{A}\right|^2 = \frac{\gamma^2}{4k^2 + \gamma^2} $$

透過係数： $$ T = \left|\frac{C}{A}\right|^2 = \frac{4k^2}{4k^2 + \gamma^2} $$

確率保存則 $R + T = 1$ が成り立つことが確認できる．

低エネルギー極限（$k \to 0$）では： $$ R \to 1, \quad T \to 0 $$ どんなに弱いエネルギーでも完全反射に近づく．これは束縛状態の存在と関連している．

散乱長は： $$ a = \lim_{k \to 0} \frac{1}{k} \tan\delta_0 = -\frac{\hbar^2}{m\alpha} $$ 負の散乱長は引力ポテンシャルに対応する．

デルタ関数ポテンシャルは以下の物理系のモデルとして重要である：

• 接触相互作用：超冷原子気体でのs波散乱
• 不純物散乱：固体中の電子と不純物原子の相互作用
• 分子結合：短距離引力の単純モデル
• 場の理論：$\phi^4$ 理論などの点相互作用

束縛エネルギー $|E| = m\alpha^2/(2\hbar^2)$ は結合定数 $\alpha$ の2乗に比例する． これは摂動論では得られない非摂動論的効果である．

実際，$\alpha$ が小さい極限で摂動論を適用しても，1次の補正 $E^{(1)} = \langle\psi_0|-\alpha\delta(x)|\psi_0\rangle = -\alpha|\psi_0(0)|^2$ は束縛状態の存在を予測できない（$\psi_0(x)$ は自由粒子の波動関数で $\psi_0(0)$ は一般にゼロ）．

階段型ポテンシャル

階段型ポテンシャル $$ V(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ V_0 & (x > 0) \end{cases} $$ に対して，左側から粒子が入射する散乱問題を考える．

階段型ポテンシャルの散乱問題を詳細に解析する．エネルギー $E$ の粒子が左側から入射する場合を考える．

領域I（$x < 0$）：自由粒子この領域では $V(x) = 0$ なので，Schrödinger方程式は $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi_1}{dx^2} = E \psi_1 $$ となる．$k_1 = \sqrt{2mE}/\hbar$ として，一般解は $$ \psi_1(x) = A e^{ik_1 x} + B e^{-ik_1 x} $$ 第1項は右向きの入射波，第2項は左向きの反射波である．

領域II（$x > 0$）：ポテンシャル中この領域では $V(x) = V_0$ なので，Schrödinger方程式は $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi_2}{dx^2} + V_0 \psi_2 = E \psi_2 $$ となる．

場合1：$E > V_0$（古典的に許可される領域）$k_2 = \sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$ として，解は $$ \psi_2(x) = C e^{ik_2 x} + D e^{-ik_2 x} $$ となる．ただし，$x \to +\infty$ で入射波は存在しないので $D = 0$ とし， $$ \psi_2(x) = C e^{ik_2 x} $$ とする．これは右向きの透過波のみを表す．

場合2：$E < V_0$（古典的に禁止される領域）$\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ として，解は $$ \psi_2(x) = C e^{-\kappa x} + D e^{\kappa x} $$ となる．$x \to +\infty$ で波動関数が発散しないように $D = 0$ とし， $$ \psi_2(x) = C e^{-\kappa x} $$ とする．これは指数関数的に減衰する波を表す．

境界条件（$x = 0$）ポテンシャルが有限なので，$x = 0$ で波動関数とその1階微分が連続でなければならない：

連続性： $\psi_1(0) = \psi_2(0)$ $$ A + B = C $$

微分の連続性： $\psi_1'(0) = \psi_2'(0)$

場合1の解析：$E > V_0$微分の連続性から： $$ ik_1(A - B) = ik_2 C $$ $$ k_1(A - B) = k_2 C $$

連続性の条件 $A + B = C$ と合わせて解くと： $$ A + B = C $$ $$ k_1(A - B) = k_2 C $$

第1式から $C = A + B$ を第2式に代入： $$ k_1(A - B) = k_2(A + B) $$ $$ k_1 A - k_1 B = k_2 A + k_2 B $$ $$ (k_1 - k_2)A = (k_1 + k_2)B $$ $$ B = \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} A $$

また，$C = A + B$ より： $$ C = A + \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} A = \frac{2k_1}{k_1 + k_2} A $$

反射係数： $$ R = \left|\frac{B}{A}\right|^2 = \left(\frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\right)^2 $$

透過係数： 透過波の確率流密度と入射波の確率流密度の比は $$ T = \frac{k_2}{k_1} \left|\frac{C}{A}\right|^2 = \frac{k_2}{k_1} \left(\frac{2k_1}{k_1 + k_2}\right)^2 = \frac{4k_1 k_2}{(k_1 + k_2)^2} $$

確率保存則 $R + T = 1$ が成り立つことが確認できる： $$ R + T = \frac{(k_1 - k_2)^2}{(k_1 + k_2)^2} + \frac{4k_1 k_2}{(k_1 + k_2)^2} = \frac{(k_1 - k_2)^2 + 4k_1 k_2}{(k_1 + k_2)^2} = \frac{k_1^2 + k_2^2 + 2k_1 k_2}{(k_1 + k_2)^2} = 1 $$

場合2の解析：$E < V_0$（量子トンネル効果）微分の連続性から： $$ ik_1(A - B) = -\kappa C $$ $$ k_1(A - B) = -i\kappa C $$

連続性の条件 $A + B = C$ と合わせて解くと： $$ A + B = C $$ $$ k_1(A - B) = -i\kappa C $$

第1式から $C = A + B$ を第2式に代入： $$ k_1(A - B) = -i\kappa(A + B) $$ $$ k_1 A - k_1 B = -i\kappa A - i\kappa B $$ $$ (k_1 + i\kappa)A = (k_1 - i\kappa)B $$ $$ B = \frac{k_1 + i\kappa}{k_1 - i\kappa} A $$

反射係数： $$ R = \left|\frac{B}{A}\right|^2 = \left|\frac{k_1 + i\kappa}{k_1 - i\kappa}\right|^2 = \frac{(k_1 + i\kappa)(k_1 - i\kappa)}{(k_1 - i\kappa)(k_1 + i\kappa)} = \frac{k_1^2 + \kappa^2}{k_1^2 + \kappa^2} = 1 $$

透過係数は $T = 0$ となる．これは古典的に期待される結果で， エネルギーが不足している粒子は階段を越えられない．

ただし，領域IIでは波動関数は完全にゼロではなく， $$ \psi_2(x) = C e^{-\kappa x} = \frac{2k_1}{k_1 - i\kappa} A e^{-\kappa x} $$ のように指数関数的に減衰する．これはエバネッセント波と呼ばれる．

物理的意味と特殊な場合：

1. 高エネルギー極限（$E \gg V_0$）： $k_1 \approx k_2 \approx \sqrt{2mE}/\hbar$ なので， $$ R \approx 0, \quad T \approx 1 $$ 高エネルギー粒子は階段をほとんど感じない．

2. $V_0$に近いエネルギー（$E \to V_0^+$）： $k_2 \to 0$ なので， $$ R \to 1, \quad T \to 0 $$ しきい値近傍では反射が支配的になる．

3. 同じ運動エネルギー（$k_1 = k_2$）： これは $E = 2V_0$ の場合に対応し， $$ R = 0, \quad T = 1 $$ 完全透過が起こる．

透過波の位相は $$ \phi = k_2 x - \omega t $$ で与えられ，群速度は $$ v_g = \frac{d\omega}{dk_2} = \frac{\hbar k_2}{m} = \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{m} $$ となる．これは古典的粒子の速度 $v = \sqrt{2(E-V_0)/m}$ と一致する．

反射において位相のずれ： $$ \arg\left(\frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\right) = \begin{cases} 0 & (k_1 > k_2) \\ \pi & (k_1 < k_2) \end{cases} $$ $k_1 < k_2$（$E > 2V_0$）の場合，反射波は $\pi$ の位相飛びを持つ．

階段型ポテンシャルのモデルは以下の物理現象で観測される：

• 半導体接合：異なるバンドギャップを持つ半導体の接合面
• 金属-絶縁体界面：電子の仕事関数の違いによる電位障壁
• 中性子反射：物質境界での中性子の散乱
• 光の全反射：屈折率の異なる媒質境界（類似現象）

特に，$E < V_0$ の場合に現れるエバネッセント波は， 近接場光学や走査型トンネル顕微鏡の原理的基礎となっている．