超対称代数

本稿は主に Tong の教科書 [Ton22] に基づいている．

この節の目的は，超対称性が実際に何であるかを数学的に記述することである．通常，物理学では対称性を群に関連づけて考える．しかし，少なくとも連続対称性については，これらの群は基礎となる代数を持ち，しばしば必要な情報はその中に含まれている．超対称性も同様だ．超対称性の基礎にある代数を記述し，その表現のいくつかを調べ始める．

本節はやや味気ない内容になる．場はほとんど登場せず，力学はまったく扱わない．それらは後の節で述べる．しかし本節は，これからの議論に必要な基礎を築く．

目次

• Lorentz群
  • スピノルと$SL(2,\mathbb{C})$
  • スピノルのラグランジアン
  • Poincaré群とその拡大
• 超対称代数
  • R対称性
  • エネルギーが正であることの帰結
• 粒子状態に対する表現
  • Poincaré群の表現
  • 質量のない表現
  • 質量のある表現
• 拡大超対称性
  • 質量のない表現
  • 質量のある表現とBPS境界
  • 他の次元における超対称性

Lorentz群

Minkowski空間$\mathbb{R}^{1,3}$は相対論的量子場理論の舞台である．この空間にはMinkowski計量が備わっている： $$ \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1) $$ Minkowski空間の対称性の集合には，Lorentz変換$x^\mu \to \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$が含まれる．ここで $$ \Lambda^{T}\eta\Lambda=\eta $$ である．これらの変換の中にはいくつかの離散変換が埋め込まれている．パリティは$\Lambda=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$で，時間反転は$\Lambda=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$である．恒等写像に連続的に結びつく変換は$\det\Lambda=1$かつ$\Lambda^0{}_{0}>0$を満たし，Lorentz群$SO(1,3)$を成す（$\Lambda^0{}_{0}>0$への制限はしばしば$SO^+(1,3)$と書かれる）．

この節の主な目的は，Lorentz群のスピノル表現の性質をいくつか明らかにすることである．厳密に言えば，群$SO(1,3)$自体はスピノル表現を持たない．しかし，$Spin(1,3)$と呼ばれる密接に関連した群はスピノルを許す．これは二重被覆であり，すなわち $$ SO(1,3) \cong Spin(1,3)/\mathbb{Z}_2 $$ が成り立つ．ここでその$\mathbb{Z}_2$は，スピノルが$2\pi$回の回転で受け取る有名なマイナス符号である．ベクトルのような$x^\mu$はこの符号に気づかない．我々の世界にスピノルが存在するという事実は，真の対称性群が$SO(1,3)$ではなく$Spin(1,3)$であるということである．

量子場理論の講義でスピノルを導入したとき，まずは$Spin(1,3)$と$SO(1,3)$の両方が共有する代数$so(1,3)$を調べた．4元ベクトルに作用するLorentz変換は次のように表せる． $$ \Lambda=\exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right) $$ ここで$\omega_{\mu\nu}$はどのLorentz変換を行うかを指定する6つの数であり，$M^{\mu\nu}=-M^{\nu\mu}$は異なるLorentz変換を生成する6つの$4\times 4$反対称行列の一つの取り方である．行列の添え字は上の式で省略している．完全な形では$(M^{\mu\nu})^{\rho}{}_{\sigma}$と書く．例えば \begin{equation}\label{2.2} (M^{01})^{\rho}{}_{\sigma}=i\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},/quad (M^{12})^{\rho}{}_{\sigma}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation} （生成子は量子場理論の講義で定義したものと$i$の因子で異なることに注意．これは指数の中の余分な$i$の因子で相殺される．）この行列は代数$so(1,3)$を生成する： $$ [M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]=i(\eta^{\nu\rho}M^{\mu\sigma}-\eta^{\nu\sigma}M^{\mu\rho}+\eta^{\mu\sigma}M^{\nu\rho}-\eta^{\mu\rho}M^{\nu\sigma}) $$ 量子場理論の講義では，まずガンマ行列のClifford代数$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}$を調べ，そこからLorentz代数の新しい表現を構成してスピノル表現を作った．ここではやや異なる経路をとる．代数からもう少し情報を引き出すことが有用だ．

6つの異なるLorentz変換は自然に3つの回転$J_i$と3つのブースト$K_i$に分解される．これらは次のように定義される： $$ J_i=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}M_{jk},\quad K_i=M_{0i} $$ ここで添字$j,k=1,2,3$について総和を取るものとし，$\epsilon_{123}=+1$とする．回転行列はエルミートで$J_i^\dagger=J_i$，ブースト行列は反エルミートで$K_i^\dagger=-K_i$．これにより回転はコンパクト群を生じさせ，ブーストはコンパクトでない．Lorentz代数からこれらの生成子が従う交換関係は次の通りである： $$ [J_i,J_j]=i\epsilon_{ijk}J_k,\quad [J_i,K_j]=i\epsilon_{ijk}K_k,\quad [K_i,K_j]=-i\epsilon_{ijk}J_k $$ 回転は$su(2)$の部分代数を成す．これは当然予想されることであり，$SO(3)\cong SU(2)/\mathbb{Z}_2$という事実に関連している．

しかし，$so(1,3)$の中に互いに可換な2つの$su(2)$代数が存在することがわかる．これには次の線形結合を取る： $$ A_i=\frac{1}{2}(J_i+iK_i),\quad B_i=\frac{1}{2}(J_i-iK_i) $$ これらはいずれもエルミートで，$A_i^\dagger=A_i$および$B_i^\dagger=B_i$を満たす．それらは次の交換関係を満たす： \begin{equation}\label{2.4} [A_i,A_j]=i\epsilon_{ijk}A_k,\quad [B_i,B_j]=i\epsilon_{ijk}B_k,\quad [A_i,B_j]=0 \end{equation} しかし，$SU(2)$の表現については既知である．表現は整数または半整数のラベル$j\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}$で表され，回転に関してはこれを「スピン」と呼ぶ．表現の次元は$2j+1$である． \begin{equation}\label{2.5} (j_1,j_2)\quad j_1,j_2 \in \frac{1}{2}\mathbb{Z} \end{equation} 各表現の次元は$(2j_1+1)(2j_2+1)$である．詳細は後で述べるが，今は最も簡単な表現を数えて同定できる．具体的には \begin{align} (0,0):\quad &\text{scalar} \\ (\frac{1}{2},0):\quad &\text{left-handed Weyl spinor} \\ (0,\frac{1}{2}):\quad &\text{right-handed Weyl spinor} \\ (\frac{1}{2},\frac{1}{2}):\quad &\text{vector} \\ (1,0):\quad &\text{self-dual 2-form} \\ (0,1):\quad &\text{anti-self-dual 2-form} \end{align} 最小のLorentz表現は左・右のWeylスピノルである．粒子の物理的なスピンは回転$\vec{J}$のもとでの量子数であり，これは$j=j_1+j_2$である．

二つの$su(2)$部分代数を見つけたことには，やや奇妙な点がある．そもそも，Lorentz群が$SU(2)$の二重コピーと同型であるとは限らない．これは$SU(2)$がコンパクト群であるためで，回転を続ければ最終的に元に戻る．実際，群$SU(2)$を二つ取るとEuclid空間$\mathbb{R}^4$の回転群が得られる． $$ Spin(4)\cong SU(2)\times SU(2),\quad SO(4)\cong SU(2)\times Spin(4)/\mathbb{Z}_2 $$ これに対して，Lorentz群は非コンパクトであり，ブーストを続けるとどんどん元から離れていく．\eqref{2.4}で見つけた二つの$su(2)$代数にこの違いはどのように現れるか．

答えはやや微妙で，生成子$A_i$と$B_i$の実在性にある．すべての整数スピン$j\in\mathbb{Z}$の$SU(2)$表現は実表現であり，一方で半整数スピン$j\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2}$は擬実表現（実際には実表現ではないが，表現がその複素共役に同型であることを意味する）であることを思い出す．しかし，\eqref{2.4}の$A_i$と$B_i$はこれらの性質を持たない．式\eqref{2.2}を見ると$J_i$と$K_i$はいずれも純虚数である．これにより生成子$A_i$と$B_i$は互いに複素共役である： $$ (A_i)^*=-B_i $$ ここに$SO(4)$と$SO(1,3)$を区別する違いがある．Lie代数$so(1,3)$は互いに可換な実のリー代数$su(2)$の二つの複製をそのまま含むわけではなく，適切に複素化した場合にのみ含む．つまり，$su(2)\times su(2)$のある複素線形結合が$so(1,3)$と同型になるということだ．これを強調するために，両者の関係はしばしば次のように書かれる： $$ so(1,3)\cong (su(2)\times su(2))^* $$ 我々の目的では，表現$(j_1,j_2)$の複素共役は二つの量子数を入れ替えることを意味する： $$ (j_1,j_2)^*=(j_2,j_1) $$ スカラー表現$(0,0)$とベクトル表現$(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$は実表現であり，左手型と右手型のWeylスピノル$(\frac{1}{2},0)$と$(0,\frac{1}{2})$は複素共役のもとで入れ替わる．この点は以降重要になる．量子場理論の文脈では，ある場が理論に現れるならばその複素共役も現れる．つまり，左手型スピノルがあればその複素共役である右手型スピノルも存在することになる．

スピノールと$SL(2,\mathbb{C})$

スピノールを見つける別の方法がある，今回は代数を経由しない方法だ．次の二つの群が同型であることを利用する： $$ Spin(1,3)\cong SL(2,\mathbb{C}) $$ これを示すために，まずMinkowski空間の点$x^\mu$を$2\times2$のエルミート行列として表せることに注意する： $$ X=x_{\mu}\sigma^{\mu}=\begin{pmatrix} x_0+x_3 & x_1-ix_2 \\ x_1+ix_2 & x_0-x_3 \end{pmatrix} $$ ここで，$2\times2$行列の4元ベクトルを導入したことに注意する： $$ \sigma^{\mu}=(1,\sigma^i),\quad \sigma^1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma^2=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma^3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ $\sigma^i$はもちろんPauli行列である．行列$X$はエルミートで$X=X^\dagger$となる．さらに，4元ベクトル$x^\mu$と$2\times2$のエルミート行列との間には明らかに一対一対応がある．この言語ではMinkowski内積が特に自然に表される．すなわち $$ \mathrm{det}X=(x_0)^2-(x_1)^2-(x_2)^2-(x_3)^2=x_{\mu}x^{\mu} $$ 次に，$S\in SL(2,\mathbb{C})$による変換 $$ X \to X'=SXS^{\dagger} $$ を考える．$\det S=1$なので$(X')^\dagger=X'$かつ$\det X'=\det X$が成り立つ．したがってこの写像はLorentz変換に他ならない．

実際，この方法で全てのLorentz変換を実装できることは難しくなく，生成子の明示的な構成は後で示す．今は簡単な数え上げをする．一般の複素$2\times2$行列は$4$個の複素成分を持つ．その行列式が$1$であるという条件はこれを$3$個の複素パラメータ，すなわち$6$個の実パラメータに減らす．これはLorentz群の次元と一致する：$6=3\ \text{回転}+3\ \text{ブースト}$．さらに，$SL(2,\mathbb{C})$の変換$S=-1$は$X$に作用しない．これが$SL(2,\mathbb{C})$が二重被覆と一致する理由である．

$SL(2,\mathbb{C})$の基本表現は$2\times 2$行列ではなく，2成分の複素オブジェクト$\psi_{\alpha}=(\psi_1,\psi_2)$であり，次のように変換する： $$ \psi_{\alpha} \to S_{\alpha}{}^{\beta}\psi_{\beta},\quad \alpha,\beta=1,2 $$ 明らかにこれは複素2次元の表現である．先の分類\eqref{2.5}に照らすと，これは$(\frac{1}{2},0)$に対応し，これを左手Weylスピノールと呼ぶ．

Lie群の任意の複素表現に対して，共役を取ることで別の表現を常に作ることができる．元の表現と同値になるのは，ある行列$C$が存在して$S^* = C S C^{-1}$が成り立つ場合だけである．ここではそのような$C$は存在せず，行列$S$とその複素共役$S^*$は同値でない表現である．複素共役は次のように表す． $$ (\psi_{\alpha})^*=\bar{\psi}_{\dot{\alpha}} $$ 二つの表現を区別するために二つの表記上の工夫を採用している．まず，二つの表現にはそれぞれ$\alpha,\beta=1,2$と$\dot{\alpha},\dot{\beta}=1,2$という異なる添字を用いる．これは両者が異なる方法で変換することを示している点で有用である．加えて，共役表現で変換する対象にはバーを付ける．例えば$\bar{\psi}$のようにする．これにより添字を省略しても対象を識別できる．（Weylスピノールに付けたバーは単に複素共役を意味するのに対し，場の量子論のノートで学んだようにDiracスピノールにつけたバーは転置と$\gamma^0$による掛け算を含むことに注意．）複素共役スピノールは次のように変換する． $$ \bar{\psi}_{\dot{\alpha}} \to (S^*)_{\dot{\alpha}}{}^{\dot{\beta}}\bar{\psi}_{\dot{\beta}},\quad \dot{\alpha},\dot{\beta}=1,2 $$ 前節の分類\eqref{2.5}に照らすと，これは表現$(0,\frac{1}{2})$に対応する．右手型Weylスピノルである．

いくつかの添字規約は，上で（および下で）述べたものがほかの文脈で見たものと異なる．その理由を手短に説明しておく．SU(N)の基本表現に属するベクトル$u$を考える．その成分は$u_a$と書き，ここで$a=1,\ldots,N$．ベクトル$u^\dagger$は共役表現に変換し，その成分は$(u^\dagger)^a$と書く．添字が上がっておりドットは使わない．これは$(u^\dagger)^a u_a$のように$u^\dagger$と$u$を縮約してsinglet（スカラー）を作れることを反映する．しかし，$SL(2,\mathbb{C})$の表現は異なる構造を持ち，後で見るようにスピノルとその複素共役を縮約してsingletを得ることはできない．そのため共役表現を区別するために，添字を上げる代わりに一見奇妙なドット付き添字を導入する．

スピノールからスカラーを構成する

群$SL(2,\mathbb{C})$には次の不変テンソルがある： $$ \epsilon^{\alpha\beta}=\epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad \epsilon_{\alpha\beta}=\epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ 添字を下げた$\epsilon_{\alpha\beta}$は$\epsilon^{\alpha\beta}$と符号が逆になることに注意．これにより一方がもう一方の逆であることが保証される：$\epsilon^{\alpha\beta}\epsilon_{\beta\gamma}=\delta^\alpha{}_\gamma$．これにより，以下でイプシロン記号を用いて添字を上げ下げするとき，添字を上げてから再び下げても余計なマイナス符号は生じない．

左手型Weylフェルミオン$\psi$と$\chi$を例に取ると，イプシロンテンソルを用いて不変量を作れる．次のように定義する： $$ \psi\chi \equiv \epsilon^{\alpha\beta}\psi_{\beta}\chi_{\alpha}=\psi_2\chi_1-\psi_1\chi_2 $$ これらが実際にSL(2,C)の下で不変であることを示すには，変換を行えばよい． $$ \psi\chi \to S_{\alpha}{}^{\gamma}S_{\beta}{}^{\delta}\epsilon^{\alpha\beta}\psi_{\delta}\chi_{\gamma}=(\det S)\epsilon^{\gamma\delta}\psi_{\delta}\chi_{\gamma}=\psi\chi $$ ここで，最初の等式では$S_{\alpha}{}^{\gamma}S_{\beta}{}^{\delta}\epsilon^{\alpha\beta}=\det S\,\epsilon^{\gamma\delta}$という事実を用いている．これはγ,δ=1,2の全ての場合を確かめれば簡単に確認できる．二番目の等式では$\det S = 1$を用いている．

ある意味で，$\epsilon$記号はスピノルに対してベクトルの計量$\eta_{\mu\nu}$が果たす役割に類似した役割を果たす．もちろん，一つの重要な違いは$\epsilon_{\alpha\beta}$が反対称である点だが，これは量子場理論においてスピノルが反交換するGrassmann変数であるという事実とよく整合する．すると $$ \psi\chi=\psi_2\chi_1-\psi_1\chi_2=-\chi_1\psi_2+\chi_2\psi_1=\chi\psi $$ 特に，$\psi\psi=2\psi_2\psi_1$は非零である．

右手型フェルミオンについても同様のことができる．ただし面倒なマイナス符号が現れる．次のように定義する： $$ \bar{\psi}\bar{\chi}\equiv\epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\bar{\psi}_{\dot{\alpha}}\bar{\chi}_{\dot{\beta}}=\bar{\psi}_1\bar{\chi}_2-\bar{\psi}_2\bar{\chi}_1 $$ 反交換するスピノルの場合，$\bar{\psi}\bar{\chi}=\bar{\chi}\bar{\psi}$となる．式（2.10）での添字の順序が式（2.9）と異なることに注意．この異なる順序を選んだ理由は定義にマイナス符号の差が生じるが，これが$(\psi\chi)^{\dagger}=\bar{\psi}\bar{\chi}$を保証するためである．実際， $$ (\psi\chi)^{\dagger}=(\psi_2\chi_1-\psi_1\chi_2)^{\dagger}=\bar{\chi}_1\bar{\psi}_2-\bar{\chi}_2\bar{\psi}_1=\bar{\psi}\bar{\chi} $$ イプシロン記号を用いてスピノルの添字を上げ下げできる，これはベクトル添字に対してMinkowski計量を使うのと同じである．具体的には次が成り立つ： $$ \psi^{\alpha}=\epsilon^{\alpha\beta}\psi_{\beta},\quad \psi_{\alpha}=\epsilon_{\alpha\beta}\psi^{\beta},\quad \bar{\psi}^{\dot{\alpha}}=\epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\bar{\psi}_{\dot{\beta}},\quad \bar{\psi}_{\dot{\alpha}}=\epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\bar{\psi}^{\dot{\beta}} $$ この表記では，Lorentzスカラー（式（2.10））は次の形になる： $$ \psi\chi=\psi^{\alpha}\chi_{\alpha},\quad \bar{\psi}\bar{\chi}=\bar{\psi}_{\dot{\alpha}}\bar{\chi}^{\dot{\alpha}} $$ 先の式（2.9）と式（2.10）における面倒なマイナス符号の違いは，次の規則へと移行する：左手型スピノルではドットなしの添字を$\searrow$方向に縮約し，右手型スピノルではドットありの添字を$\nearrow$方向に縮約する．

これらの新しい対象$\psi_{\alpha}$と$\bar{\psi}_{\dot{\alpha}}$がLorentz変換の下でどのように振る舞うか考える： \begin{align*} \psi^{\alpha} \to& \epsilon^{\alpha\beta}S_{\beta}{}^{\gamma}\psi_{\gamma}=(S^{-1T})^{\alpha}{}_{\beta}\psi^{\beta} \\ \bar{\psi}^{\dot{\alpha}} \to& \epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}(S^*)_{\dot{\beta}}{}^{\dot{\gamma}}\bar{\psi}_{\dot{\gamma}}=(S^{-1\dagger})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}}\bar{\psi}^{\dot{\beta}} \end{align*} 等号は次の代数計算により導かれる： $$ S_{\alpha}{}^{\gamma}\epsilon^{\alpha\beta}S_{\beta}{}^{\delta}=\epsilon^{\gamma\delta} \implies (S^T)^{\gamma}{}_{\alpha}\epsilon^{\alpha\beta}S_{\beta}{}^{\delta}=\epsilon^{\gamma\delta} \implies \epsilon^{\alpha\beta}S_{\beta}{}^{\delta}=(S^{-1T})^{\alpha}{}_{\gamma}\epsilon^{\gamma\delta} $$ 右手型スピノルについても同様の操作が可能である．行列$S^{-1T}$は$SL(2,\mathbb{C})$の新しい表現を成すわけではなく，上の関係から$\epsilon S \epsilon^{-1}=S^{-1T}$が成り立ち，基本表現と同値である．したがって，左手型の共変スピノルと反変スピノル$\psi_{\alpha}$と$\psi^{\alpha}$は同値な表現で変換する．同様に右手型スピノル$\bar{\psi}_{\dot{\alpha}}$と$\bar{\psi}^{\dot{\alpha}}$も同値な表現で変換する．

スピノールからベクトルを構成する

上の議論からの主要な結論は，Lorentzスカラーを構成するには左手型フェルミオンを2つ，または右手型フェルミオンを2つ用意する必要があるということである．代わりに両方の型をそれぞれ1つずつ，例えば左手型スピノル$\psi_{\alpha}$と右手型スピノル$\bar{\chi}_{\dot{\alpha}}$を持っているとしよう．このとき何を構成できるか．答えはこれらの表現の量子数から明らかだ． $$ (\frac{1}{2},0)\otimes(0,\frac{1}{2})=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $$ これはPoincaré群のベクトル表現である．

ベクトルを明示的に構成するには，Pauli行列を二つのスピノルの間に挟む： $$ (\sigma^{\mu})_{\alpha\dot{\alpha}}=(1,\sigma^i)_{\alpha\dot{\alpha}} $$ とおき，次のように書く： $$ \psi\sigma^{\mu}\bar{\chi}=\psi^{\alpha}(\sigma^{\mu})_{\alpha\dot{\alpha}}\bar{\chi}^{\dot{\alpha}} $$ 上で示したように，Pauli行列$\sigma^{\mu}$は一方にドット無し添字，もう一方にドット有り添字を持ち，いずれも下添字で表される点に注意．共役を取ると，$(\psi\sigma^{\mu}\bar{\chi})^\dagger=\chi\sigma^{\mu}\bar{\psi}$となる．

この対象が実際に4元ベクトルとして変換することを示すには，他の任意の4元ベクトル$x^\mu$と縮約して$X=x_\mu\sigma^\mu$とし，$\psi X\bar{\chi}$を作ればよい．しかし式(2.8)と(2.11)からそれぞれがどのように変換するか分かっている．すると $$ \psi X\bar{\chi}=\psi^{\alpha}X_{\alpha\dot{\alpha}}\bar{\chi}^{\dot{\alpha}} \to (\psi^{\beta}(S^{-1})_{\beta}{}^{\alpha})(S_{\alpha}{}^{\delta}X_{\delta\dot{\delta}}S^*_{\alpha}{}^{\dot{\alpha}})=\psi X\bar{\chi} $$ $\psi X\bar{\chi}$がスカラー（singlet）を成すという事実は，$\psi\sigma^{\mu}\bar{\chi}$がベクトルとして変換することを示している．言い換えれば，Pauli行列は異なる表現の間のintertwinerとして働く．

イプシロン記号を用いて，Pauli行列$(\sigma^{\mu})_{\alpha\dot{\alpha}}$のスピノル添字を上げることができる．これにより次のような密接に関連した行列族が得られる： $$ (\bar{\sigma}^{\mu})^{\dot{\alpha}\alpha}=\epsilon^{\alpha\beta}\epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\sigma^{\mu}_{\beta\dot{\beta}} $$ バーの付いた$\bar{\sigma}$は複素共役を意味するわけではない．$\bar{\sigma}^{\mu}$は単に$\sigma^{\mu}$とは異なる一組の$2\times2$行列である．添字は単に上がっただけでなく順序も入れ替わっていることに注意：$\sigma^{\mu}$はドットなし添字が先に来るのに対し，$\bar{\sigma}^{\mu}$はドット付き添字が先に来る．もし$\epsilon=i\sigma^2$と定義すれば，行列積として見たとき$\bar{\sigma}=\epsilon\sigma^{T}\epsilon^{T}$が成り立つ．簡単な計算により次が得られる： $$ (\bar{\sigma}^{\mu})^{\dot{\alpha}\alpha}=(1,-\sigma^i)^{\dot{\alpha}\alpha} $$ 同様にして次のベクトルを構成できる： $$ \bar{\chi}\bar{\sigma}^{\mu}\psi=\bar{\chi}_{\dot{\alpha}}(\bar{\sigma}^{\mu})^{\dot{\alpha}\alpha}\psi_{\alpha} $$ これは新しい対象ではない．実際，$\psi\sigma^{\mu}\bar{\chi}=-\bar{\chi}\bar{\sigma}^{\mu}\psi$が成り立つことを確認できる．

$SL(2,\mathbb{C})$の生成子

最後に$SL(2,\mathbb{C})$の生成子について記述できる．$\sigma$行列の反対称化積を次のように定義する： $$ (\sigma^{\mu\nu})_{\alpha}{}^{\beta}=\frac{i}{4}(\sigma^{\mu}\bar{\sigma}^{\nu}-\sigma^{\nu}\bar{\sigma}^{\mu})_{\alpha}{}^{\beta} $$ これらは線形独立であり，$SL(2,\mathbb{C})$の生成子として取ることができる．$\mu$と$\nu$の反対称性のため，このような生成子は6個あり，これはLorentz群の次元に一致する．実際，交換子を計算すればこれらがLorentz群を生成することが明らかになる： $$ [\sigma^{\mu\nu},\sigma^{\rho\sigma}]=i(\eta^{\nu\rho}\sigma^{\mu\sigma}-\eta^{\nu\sigma}\sigma^{\mu\rho}+\eta^{\mu\sigma}\sigma^{\nu\rho}-\eta^{\mu\rho}\sigma^{\nu\sigma}) $$ これは約束した通りLorentz群の代数(2.3)を再現する．このとき左手型スピノルは次のように変換する： $$ \psi_{\alpha} \to \exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}\right)_{\alpha}{}^{\beta}\psi_{\beta} $$ ここで$\omega_{\mu\nu}$はLorentz変換(2.1)を指定する同じ6個の数である．

複素共役表現は次の生成子によって生成される： $$ (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\alpha}}{}_{\beta}=\frac{i}{4}(\bar{\sigma}^{\mu}\sigma^{\nu}-\bar{\sigma}^{\nu}\sigma^{\mu})^{\dot{\alpha}}{}_{\beta} $$ これらもまたLorentz群の代数を満たす．対応して，右手型スピノルは次のように変換する： $$ \bar{\psi}^{\dot{\alpha}} \to \exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}\bar{\sigma}^{\mu\nu}\right)^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}}\bar{\psi}^{\dot{\beta}} $$ $\bar{\sigma}^{\mu\nu}$の添字の配置から，これらは添字を上げた$\bar{\psi}^{\dot{\alpha}}$に自然に作用する生成子として働くことに注意．

スピノルのラグランジアン

ここでWeylスピノルからラグランジアンを構成する方法を述べる．左手型のWeylスピノル$\psi$が1つだけあるとする．これは必然的にその共役である右手型スピノル$\bar{\psi}=\psi^\dagger$を伴う．このとき運動項として次を取れる． $$ S_{\text{Weyl}}=-\int d^4x i\bar{\psi}\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}\psi $$ 量子化するとこの理論はヘリシティ$-1/2$の質量ゼロ左手フェルミオン1種とヘリシティ$+1/2$の質量ゼロ右手反粒子を与える．理論はグローバルな$U(1)$対称性を持ち，$\psi\to e^{i\alpha}\psi$の下で不変である．左手フェルミオンの電荷が$+1$ならば，反粒子としての右手フェルミオンの電荷は$-1$になる．

単一のWeylフェルミオンに対して質量項を追加できる．これはMajorana質量と呼ばれる： $$ S_{\text{Maj}}=\int d^4x \frac{m}{2}\psi\psi+\frac{m^*}{2}\bar{\psi}\bar{\psi} $$ 一般に$m\in\mathbb{C}$と取れるが，$m$の任意の複素位相は$\psi$に吸収でき，量子化後の粒子の質量は$|m|$となる．重要なのは，Majorana質量が大域的な$U(1)$対称性を明示的に破ることで，粒子と反粒子を区別する量子数が存在しない点である．量子化すると，理論は単一の質量を持つスピン$1/2$粒子からなり，その粒子は自らの反粒子である．

Majorana質量項は大域的な$U(1)$対称性を明示的に破るため，$U(1)$がゲージ化されている場合には許されない．関連して，ゲージ群の複素表現で変換する任意のフェルミオン$\psi$に対してそのような項を書くことは不可能である．しかしながら，実表現に属するフェルミオンに対してはそのような項を書くことが可能である．

Diracスピノールの回復

ここまでスピノルについて議論してきたが，まだガンマ行列やClifford代数が一つも登場していない．しかしそれらは量子場理論の講義でスピノルを論じる際に中心的な役割を果たしていた．一体何が起きているのか．

Diracスピノールは$d=3+1$のLorentz群の既約表現ではない．代わりに独立した左手型と右手型のスピノルから成る．先の表記では $$ (\frac{1}{2},0)\oplus(0,\frac{1}{2}): \text{Dirac spinor} $$ Diracスピノールは4成分の対象として書ける．これは左手型Weylフェルミオン$\psi_{\alpha}$と右手型Weylフェルミオン$\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}$（添字が上になっている点に注意）から成る： $$ \Psi=\begin{pmatrix} \psi_{\alpha} & \bar{\chi}^{\dot{\alpha}} \end{pmatrix} $$ チャイラル基底のガンマ行列を導入する： $$ \gamma^{\mu}=\begin{pmatrix} 0 & \sigma^{\mu} \\ \bar{\sigma}^{\mu} & 0 \end{pmatrix} $$ これらはClifford代数$\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}=2\eta^{\mu\nu}$を満たす．Quantum Field Theoryの講義では，Diracスピノールに対するLorentz変換の生成子が次のようになることを示した： $$ S^{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]=\begin{pmatrix} \sigma^{\mu\nu} & 0 \\ 0 & \bar{\sigma}^{\mu\nu} \end{pmatrix} $$ （前に定義した$M^{\mu\nu}$と同様に，これはQuantum Field Theoryの講義での慣習と$i$の因子で異なる．）Lorentz変換の下でDiracスピノールは$\Psi\to\exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}\right)\Psi$と変換する．これは(2.12)および(2.13)で見たWeylスピノルの変換を再現する．

場の量子論の講義で出てきたDirac作用は $$ S_{\text{Dirac}}=-\int d^4x i\bar{\Psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi-M\bar{\Psi}\Psi $$ ここで，Diracスピノル（Weylスピノルではない）についてバー記号は $\bar{\Psi}=\Psi^\dagger\gamma^0$ を意味する．Weylフェルミオンに分解すると，次のようになる： $$ S_{\text{Dirac}}=-\int d^4x i\bar{\psi}\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}\psi+i\chi\sigma^{\mu}\partial_{\mu}\bar{\chi}-M(\chi\psi+\bar{\psi}\bar{\chi}) $$ 最初の項は左手型フェルミオンの運動項（式(2.14)）と一致する．二番目の項は単に表記の別の書き方であり，微分作用素が右手型フェルミオンに作用している形になっているだけである．添字の上げ下げを操作すれば二番目の項を最初の項と同じ形に変形できる．

式(2.17)の質量項は式(2.15)のMajorana型ではない．まず，質量は必ず実数で$M\in\mathbb{R}$，正または負になり得る．次に，質量項が互いに異なる二つのWeylフェルミオンを含むため，全体の$U(1)$対称性を保存する．この対称性の下で$\psi$と$\chi$の位相は逆向きに回転する．その結果，量子化すると作用(2.17)はスピン$+1/2$かつ電荷$+1$の粒子と，別個の反粒子であるスピン$+1/2$かつ電荷$-1$の粒子を与え，いずれも質量$|M|$を持つ．

Diracフェルミオン$\Psi$を単一のWeylフェルミオンと同じ内容に制限することが可能だ．一般のガンマ行列の基底では，これを行うために荷電共役行列を導入する．しかしカイラル基底(2.16)では特に簡単で，単に$\bar{\chi}=\bar{\psi}\equiv\psi^\dagger$と制限すればよい．このような制限を課したDiracスピノルはMajoranaスピノルと呼ばれる．

この講義では，4成分スピノルに頼る必要はない．すべてを2成分のWeylフェルミオンで記述する．

Poincaré群とその拡大

Minkowski空間の連続的な対称性は，Lorentz変換と時空平行移動から成る．これらを合わせてPoincaré群を成す．時空平行移動は通常どおり運動量4元ベクトル$P^\mu$によって生成される．それら自身およびLorentz生成子$M^{\mu\nu}$との交換関係は次のように与えられる： $$ [P^{\mu},P^{\nu}]=0,\quad [M^{\mu\nu},P^{\sigma}]=i(P^{\mu}\eta^{\nu\sigma}-P^{\nu}\eta^{\mu\sigma}) $$ 後者の式は，$P^\mu$がLorentz変換の下で4元ベクトルとして変換するという主張と同値である．これらの交換関係はLorentz代数(2.3) $$ [M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]=i(\eta^{\nu\rho}M^{\mu\sigma}-\eta^{\nu\sigma}M^{\mu\rho}+\eta^{\mu\sigma}M^{\nu\rho}-\eta^{\mu\rho}M^{\nu\sigma}) $$ と合わせて考えるべきである．(2.18)と(2.19)は合わせてPoincaré代数を成す．

場の量子論で追加の連続対称性が現れることは珍しくない．例えば複素場の位相を回転させる大域的$U(1)$対称性や，複数の場が変換する非可換群$SU(N)$のようなものがある．これらの対称性の生成子（まとめて$T$と表す）は保存される荷やアイソスピンに対応し，常にLorentzスカラーである．つまりこれらは必然的にPoincaréの生成子と可換である： $$ [P^{\mu},T]=[M^{\mu\nu},T]=0 $$ では，より自明でないことが起き得るか，すなわち新たな生成子がPoincaré群の下で何らかの興味深い形で変換することは可能かと問える．例えば追加の生成子$T$自身が時空添字を持つような場合がそれに当たる．もしこれが可能ならば，Poincaré群はより大きな群に包含されることになる．これは興味深い話である．

ColemanとMandulaによる定理はこの可能性を大きく制限する．大まかに言えば，定理は時空次元が$d=1+1$より大きい任意の次元において，相互作用する量子場理論の対称群は次のように直積に分解されると主張する： $$ \text{Poincaré}\times\text{Internal} $$ ここではColeman-Mandula定理の証明は示さない[1]．証明の要点は，Poincaré不変性が既に例えば2対2散乱において起こり得る事象を大幅に制限しており，未決定なのは散乱角だけである点にある．式(2.20)のように直積に分解する任意の内部対称性は，電荷保存などのように許される相互作用の種類に制約を課す．しかし生成子$T$が時空添字を持つとすると，それらは散乱角自体にさらに制約を与え，最良の場合でも散乱が離散的な角度でしか起きないような過度に制限的な状況を招く．しかし散乱振幅が角度の解析関数であると仮定すると，振幅は全ての角度で零になり，理論は自由場となる．

Coleman-Mandulaの定理は，物理における他のすべてのno-go定理と同様に，いくつかの前提を伴う．局所性や因果性のような前提はもっともらしいが，他の仮定を緩めれば定理に対する興味深い抜け穴が現れる可能性がある．そのうち特に重要なものが2つある．

• 共形不変性：

  Coleman-Mandulaの定理は理論が質量ギャップを持つ，すなわち全ての粒子が質量を持つことを仮定している．実際，定理はS-行列の対称性を調べるものであり，IR 散を気にしなくてよい質量粒子に対して定義されることを前提にしている．質量のない粒子の理論では，興味深いことが起き得るし，多くの場合実際に起きる．

  最初に興味深い点は，相互作用する質量ゼロ理論は典型的にスケール不変性を示すということである．これは物理がスケール変換$x^\mu \to \lambda x^\mu$の下で不変であることを意味する．この変換に対応する生成子はスケーリング生成子$D$と呼ばれる（dilatation）．これは次元を持つパラメータを一切含まない理論，特に質量が存在しない理論でしか対称性になり得ない．

  二つ目の興味深い点はやや驚きであり，完全には理解されていない理由もあるが，スケール不変性を持つ理論はさらに特殊共形変換という対称性を持つことが多いということである．これらは次の形の変換で表される： $$ x^{\mu} \to \frac{x^{\mu}-a^{\mu}x^2}{1-2a\cdot x+a^2x^2} $$ この変換はベクトルパラメータ$a^\mu$に依存し，対応する生成子は4元ベクトル$K^\mu$である．結果として得られる共形代数はPoincaré代数(2.18)と(2.19)を拡張し，非自明な交換関係を持つ： \begin{align*} [D,K^{\mu}]=& -iK_{\mu},\quad [D,P^{\mu}]=iP^{\mu} \\ [K^{\mu},P^{\nu}]=&2i(D\eta^{\mu\nu}-M^{\mu\nu}) \\ [M^{\mu\nu},K^{\sigma}]=&i(K^{\nu}\eta^{\mu\sigma}-K^{\mu}\eta^{\nu\sigma}) \end{align*} 相互作用する共形場理論は物理の多くの場面で現れる．そのEuclid版では臨界点や二次相転移を記述する．$d=1+1$次元では共形群はさらに豊富な構造を持つ．後で Section 6.4 で，ある種のゲージ理論の低エネルギー物理を議論するときに超対称共形場理論の例を取り上げる．

• 超対称性：

  Coleman-Mandulaのもう一つの抜け穴は超対称性である．この抜け穴を利用することが，これ以降の講義の主題となる．

超対称代数

超対称性はColeman-Mandulaのno-go定理を回避する．なぜならそれは異なる種類の対称性だからである．前に述べた対称性とは異なり，それはLie代数によって特徴づけられるものではない．代わりに，$\mathbb{Z}_2$-graded Lie代数として知られる数学的構造によって特徴づけられる．我々の目的では，これは単に代数が交換関係と反交換関係の両方を含むことを意味するに過ぎない．

Haag, Lopuszanski, SohniusによってColeman-Mandulaの定理の graded Lie 代数への一般化が与えられた．大雑把に言えば，それは唯一の可能性が超対称性であると述べている．ここでついにその意味を説明する．

超対称理論には新たな保存量が存在し，それは左手型Weylスピノル$Q_\alpha$とその右手型対応物$\bar{Q}_{\dot{\alpha}}$から成る．これを超電荷と呼ぶ．複数の超電荷を持つことも可能で，これを拡大超対称性と呼ぶ．Section 2.4で議論するが，ここでは単一の複素超電荷のみを扱う．これは$\mathcal{N}=1$超対称性と呼ぶ．

超対称代数の核心は次の反交換関係である： $$ \{Q_{\alpha},\bar{Q}_{\dot{\alpha}}\}=2\sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}P_{\mu} $$ スピノルが反交換子を持つこと自体は驚くに値しない．しかしこの関係の構造は興味深い．それは超電荷が時空平行移動の平方根として見なされるべきことを示している．本講義の目的は，これが正確に何を意味するのかを理解することである．

超対称代数全体は，Poincaré群の交換関係(2.18)および(2.19)（変更なし）と，超電荷の（反）交換関係から成る．これらのうち最初のものは次の通りである： $$ [M^{\mu\nu},Q_{\alpha}]=(\sigma^{\mu\nu})_{\alpha}{}^{\beta}Q_{\beta},\quad [M^{\mu\nu},\bar{Q}^{\dot{\alpha}}]=(\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}}\bar{Q}^{\dot{\beta}} $$ これは単に超電荷がWeylフェルミオンとして期待される方法でLorentz変換の下で変換することを示す．これを確認するには，まず(2.12)から任意のスピノル$Q_{\alpha}$が$Q_{\alpha}\to U_{\alpha}{}^{\beta}Q_{\beta}$と変換し，ここで$U=\exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}\right)$であることを思い出そう．しかし$Q_{\alpha}$はHilbert空間上で作用する演算子でもあり，別の観点から変換則が得られる．任意の状態は$|\phi\rangle\to V|\phi\rangle$と変換し，$V=\exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right)$である．ここで$M^{\mu\nu}$はLorentz変換の抽象的生成子であり，その作用は状態の量子数に依存する．それに対応して演算子$O$は行列要素$\langle\phi'|O|\phi\rangle$が不変であることを保証するために$O\to VOV^{\dagger}$と変換する．超電荷が変換される二通りの方法を等置すると，$VQ_{\alpha}V^{\dagger}=(UQ)_{\alpha}$が得られる．式(2.22)はこの変換則の微分形である．

残りの交換関係はやや味気ないが，重要性が損なわれるわけではない． $$ [Q_{\alpha},P^{\mu}]=\{Q_{\alpha},Q_{\beta}\}=0 $$ しかし，これらの交換子がこのような単純な形を取るには理由がある．

まず，なぜ必然的に$[Q_{\alpha},P_{\mu}]=0$となるのか？ 明らかに右辺はLorentz変換の下で共変となるように$\alpha$と$\mu$の添字を持つものでなければならない．しかしそれだと$[Q_{\alpha},P_{\mu}] = c\,(\sigma^{\mu})_{\alpha\dot{\alpha}}\bar{Q}^{\dot{\alpha}}$のような選択肢が残る．ここで$c\in\mathbb{C}$である．何が$c=0$を強制するのか？

答えはJacobi恒等式にある： $$ [P^{\mu},[P^{\nu},Q_{\alpha}]]+[P^{\nu},[Q_{\alpha},P^{\mu}]]+[Q_{\alpha},[P^{\mu},P^{\nu}]]=0 $$ 明らかに最後の項は消える，なぜなら$[P^{\mu},P^{\nu}]=0$だから．もし$[Q_{\alpha},P_{\mu}] = c\,(\sigma^{\mu})_{\alpha\dot{\alpha}}\bar{Q}^{\dot{\alpha}}$と取り，対応して$[\bar{Q}_{\dot{\alpha}},P_{\mu}] = c^*\,(\bar{\sigma}^{\mu})_{\dot{\alpha}}{}^{\beta}Q_{\beta}$とすると，Jacobi恒等式は次のようになる： $$ -c\sigma^{\nu}_{\alpha\dot{\alpha}}[P^{\mu},\bar{Q}^{\dot{\alpha}}]+c\sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}[P^{\nu},\bar{Q}^{\dot{\alpha}}]=|c|^2(\sigma^{\nu}\bar{\sigma}^{\mu}-\sigma^{\mu}\bar{\sigma}^{\nu})_{\alpha}{}^{\beta}Q_{\beta}=0 $$ したがって$c=0$を要求する．

同様の理由で$\{Q_{\alpha},Q_{\beta}\}=0$でなければならない．もう一つの選択肢として，添字を単に組み合わせるだけだと$\{Q_{\alpha},Q_{\beta}\}=c'(\sigma^{\mu\nu})_{\alpha}{}^{\beta}M_{\mu\nu}$のような形が任意の$c'\in\mathbb{R}$について許されるように思える．しかし$P_{\rho}$との交換子を取ると，上の議論から左辺は零にならなければならない．一方$[P_{\rho},M_{\mu\nu}]\neq 0$であるため，これにより$c'=0$が導かれる．

（余談：この最後の議論には実は微妙な点がある．任意の有限エネルギー状態に挟まれた場合には$\{Q_\alpha,Q_\beta\}=0$が成り立つのは確かだが，一部の超対称理論では複数の基底が存在し，これらの基底をつなぐ無限エネルギーのドメインウォール上で評価すると$\{Q_\alpha,Q_\beta\}$が非零になることがある．この微妙さは，ドメインウォールに関心がある場合には興味深いが，本講義の範囲を超えている．）

R対称性

この節は，すべての内部対称性がPoincaré群の時空対称性と可換でなければならないことを指摘するところから始めた．しかし，それらは超電荷$Q_\alpha$とも可換でなければならないのか？答えは：ほとんどそうだ．

ほとんどの内部対称性は$Q_{\alpha}$と可換でなければならないが，例外が一つある．理論によっては次のように作用する内部$U(1)$対称性を許す場合がある： $$ Q_{\alpha} \to e^{-i\lambda}Q_{\alpha},\quad \bar{Q}_{\dot{\alpha}}\to e^{i\lambda}\bar{Q}_{\dot{\alpha}} $$ この$U(1)$対称性はR対称性と呼ばれ，しばしば$U(1)_R$と表記される．生成子を$R$とすれば，次の交換関係を満たす： $$ [R,Q_{\alpha}]=-Q_{\alpha},\quad [R,\bar{Q}_{\dot{\alpha}}]=+\bar{Q}_{\dot{\alpha}} $$ Section 2.4で拡張超対称性の理論を扱うとき，異なるR対称性群が現れるのを確認する．しかし$\mathcal{N}=1$の理論では$U(1)_R$しか存在しない．それでも，後の節で超対称理論の力学を解析するとき重要な役割を果たす．例えば Section 3.3 でこれを見る．

これが超対称代数である．Poincaré群の代数(2.18)と(2.19)，超電荷の代数(2.21),(2.22),(2.23)，そして最後にR対称性(2.25)から成る．次の疑問は，これを用いて何ができるかだ．

エネルギーが正であることの帰結

場の理論を記述する以前に，代数だけから超対称理論の性質を一つ導ける．これは重要な代数関係(2.21)に由来する： $$ \{Q_{\alpha},\bar{Q}_{\dot{\alpha}}\}=2\sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}P_{\mu} $$ 任意の状態$|\phi\rangle$における左辺の期待値を計算すると，それが必ず非負であることが分かる： $$ \langle \phi | Q_{\alpha}\bar{Q}_{\dot{\alpha}}+\bar{Q}_{\dot{\alpha}}Q_{\alpha} |\phi\rangle = |(Q_{\alpha})^{\dagger}|\phi\rangle |^2+|Q_{\alpha}|\phi\rangle |^2 \geq 0 $$ 右辺についても同様に成り立つ： $$ \sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}\langle \phi | P_{\mu} | \phi \rangle \geq 0 $$ $\alpha=\dot{\alpha}$とおき，$\alpha=1,2$について総和を取ると，$\operatorname{tr}\sigma^0=2$，$\operatorname{tr}\sigma^i=0$を用いて，超対称理論の任意の状態のエネルギーが必ず非負であるという主張に帰着する： $$ \langle \phi | P_0 | \phi \rangle \geq 0 $$ これは興味深い．通常はエネルギーの全体的な基準値を気にしない：全てのエネルギーに定数を加えても物理は不変である．しかしこの事情が成り立たない場面が二つある．一つは重力で，真空のエネルギーが宇宙定数として寄与する場合である．もう一つは上で見たように超対称理論で，エネルギーが必然的に非負である場合である．

物理的には，これら二つの考えの間に何らかの深い関係があるかは全く明らかではない．実際，後の講義で見るように，基底状態のエネルギーは超対称性の破れの秩序変数として振る舞う．これは超対称性が厳密であれば基底状態のエネルギーが$0$であり，そうでなければ非零であることを意味する．我々の世界では，TeVスケールで超対称性が観測されないことは明らかであり，一方で宇宙定数は桁違いに小さく，$10^{-3}\,\text{eV}$程度である．このことは超対称性が宇宙定数問題の解消にどのように寄与するかを考える上で困難を与える．

しかし，形式的な数学的レベルでは，超対称性と重力の関係はかなり有用である．例えば，Wittenによる一般相対性理論の正エネルギー定理の大幅に簡略化された証明が存在し，超対称性の考えを用いている．

(2.26)にはもう一つ物理的に重要な点が隠れている．場の理論の他の任意の対称性についてはそれをゲージ化することを考えられる．これはその対称性が局所的に実現される理論を構成することを意味する．超対称性も例外ではない．超対称変換に対応する無限小パラメータが$x^\mu$に依存する理論を構成できる．(2.26)からそのような理論は空間の異なる点で異なる平行移動を行うという対称性を必然的に持つことが分かる．しかしそのような変換は微分同相（diffeomorphism）であり，一般相対性の特徴である．言い換えれば，局所超対称性の理論は必然的に重力の理論である．そのような理論は超重力理論として知られ，通常は不格好な頭字語"sugra"と略される．本節では超重力理論には非常に簡潔にしか触れない．以降の節では関心は全て大域的超対称性を持つ理論にある．

粒子状態に対する表現

代数が与えられたら，次に行うべきはその表現を調べることだ．これにはいくつか異なるアプローチがある．最終的に関心があるのは超対称性を持つ量子場理論であり，それは超対称性が場にどのように作用するかを理解することを意味する．これは後の節で扱う．ここでは直観を養うために，Hilbert空間の単一粒子状態に対して超対称性がどのように作用するかを理解する．

何もしなくても，何か面白いことが起きていると推測できる．超電荷$Q_\alpha$はフェルミオン的演算子であり，これはスピン$1/2$を持つという意味でもあり，また式(2.21)のように自然に反交換するという意味でもある．このことは概略的に次のような関係を要求する： $$ Q|\text{fermion}\rangle=|\text{boson}\rangle,\quad Q|\text{boson}\rangle=|\text{fermion}\rangle $$ これが超対称性の定義的特徴である．

実際，超対称代数の任意の表現はボソンとフェルミオンの状態数が等しくならねばならないことは容易に示せる．そのために，フェルミオン数演算子$(-1)^F$を導入する．これはボソン状態に対して次のように作用する： $$ (-1)^{F}|B\rangle=|B\rangle,\quad (-1)^{F}|F\rangle=-|F\rangle $$ $Q_{\alpha}$はボソン状態とフェルミオン状態を入れ替えるので，必然的に $$ (-1)^{F}Q_{\alpha}=-Q_{\alpha}(-1)^F \implies \{(-1)^F,Q_{\alpha}\}=0 $$ 次に示す結果は代数$\{Q_{\alpha},\bar{Q}_{\dot{\alpha}}\}=2\sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}P_{\mu}$から直接に従う．超対称代数の表現を成す有限個の単一粒子状態の集合を考え，この多重度の要素にわたって次のトレースを取る： \begin{align*} \operatorname{tr}[(-1)^{F}\{Q_{\alpha},\bar{Q}_{\dot{\alpha}}\}] =& \operatorname{tr}[(-1)^{F}Q_{\alpha}\bar{Q}_{\dot{\alpha}}+(-1)^{F}\bar{Q}_{\dot{\alpha}}Q_{\alpha}] \\ =& \operatorname{tr}[-Q_{\alpha}(-1)^F\bar{Q}_{\dot{\alpha}}+(-1)^{F}\bar{Q}_{\dot{\alpha}}Q_{\alpha}] = 0 \end{align*} ここで二行目の等号では$\{(-1)^F,Q_{\alpha}\}=0$を用い，最後の等号ではトレースの巡回性を用いている．超対称代数は続いて次を与える： $$ \sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}\operatorname{tr}[(-1)^FP_{\mu}]=0 $$ $\sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}$は状態に対するトレースの外にある単なる数の組であることに注意する．一方で$P_{\mu}$は状態に作用する演算子なのでトレースの中に入る．状態を運動量固有状態に取れば，$P_{\mu}|\text{any state}\rangle=p_{\mu}|\text{any state}\rangle$とできる．すると単に $$ \sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}p_{\mu}\operatorname{tr}(-1)^F=0 $$ となる．$\operatorname{tr}(-1)^F$はボソンの数$n_B$からフェルミオンの数$n_F$を引いたものである： $$ \operatorname{tr}(-1)^F=n_B-n_F=0 $$ よってこれらの状態の数は等しい．この量$\operatorname{tr}(-1)^F$はWitten indexと呼ばれる．

実は上の議論には抜け穴がある．超電荷$Q_{\alpha}$と$\bar{Q}_{\dot{\alpha}}$が超対称多重項内の状態を消去する場合がある．超対称代数（およびそれから導かれる非負性条件(2.27)）から，これはゼロエネルギーの状態にしか起こらず，それらは必然的に系の基底状態である．したがって，系のボソン基底状態数とフェルミオン基底状態数の間に不一致が生じる可能性がある．このような基底状態を調べることこそがWitten indexの本領であり，Section 3.4.2 で再び扱う．

これで超対称性がボース的状態とフェルミ的状態の数を等しくすることを要求することが分かった．次の段階は，どの種類のフェルミオンがどの種類のボソンと対応づけられるのかを正確に理解することだ．

Poincaré群の表現

状況を整えるために，まずPoincaré群の既約表現をどのように構成するかを思い出す．実際にはさらに単純に始めよう．回転群の既約表現をどのように構成するかを考える．

群ではなく代数 $so(3)\cong su(2)$ を扱う．これはもちろん馴染みのある交換関係で定義される： $$ [J_i,J_j]=i\epsilon_{ijk}J_k $$ 表現を構成するために，まずCasimirを調べる．Casimirは群のすべての生成子と可換する演算子である．$su(2)$の場合，ただ一つのCasimirしかない： $$ C=\sum_{i=1}^{3}J_i^2 $$ 既約表現はCasimirの固有値によってラベル付けされる．$su(2)$では$J^2$の固有値は$j(j+1)$で，スピン$j$は$j=0,\frac{1}{2},1,\dots$を取る．各表現の次元は$2j+1$で，多重項内の状態は例えば$J_3$の固有値で識別され，その固有値は$|j_3|\le j$を満たす．結果として，量子力学で馴染みのある通り，状態は$|j,j_3\rangle$でラベル付けされる．

次にPoincaré群に移る．既約表現は「粒子」と呼ばれる．これらは再びCasimirによって特徴づけられる．Casimirの構成法は省略し，結果だけを示す：Poincaré群は次の二つのCasimirを持つ： $$ C_1=P_{\mu}P^{\mu},\quad C_2=W_{\mu}W^{\mu} $$ ここで$W_{\mu}=\tfrac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}P^{\nu}M^{\rho\sigma}$はPauli-Lubanskiベクトルである．それは角運動量の特殊相対論的な版とみなせる．

Poincaré群の表現は，$C_1$と$C_2$の固有値によってラベル付けされる．これらのうち第一は粒子の質量$m$であり，$C_1 = m^2$である．その先の扱いは粒子が質量を持つか質量ゼロかでやや異なる．

• 質量のある粒子：

  この場合，いつでも粒子の静止系にブーストでき，$P^\mu=(m,0,0,0)$とできる．この系ではPauli-Lubanskiベクトルは $$ W^0=0,\quad W^i=-mJ^i $$ となる．ここで$J^i$は回転の生成子である．したがって$C_2=-m^2 J^2$となり，$J^2$の固有値によって決定される．結果として，質量粒子は質量$m$とスピン$j$によって特徴づけられるという馴染みある事実が得られる．

• 質量のない粒子：

  この場合，$C_1=m^2=0$である．ここではいくつかの微妙な点を省略するが，最も興味深い表現は$C_2=W^2=0$でもあり，両方のCasimirが消えることが多い．表現を特徴づけるために，例えば$P^\mu=(E,0,0,E)$となる系を選ぶ．その系では$W^\mu=M_{12}P^\mu$となり，$W$と$P$の比例定数は$(x_1,x_2)$平面の$U(1)$回転の固有値によって決まる．この回転の固有値がヘリシティ$h$であり，$h=0,\tfrac{1}{2},1,\dots$などを取り得る．したがって質量ゼロ粒子は（当然ながら）$m=0$とヘリシティ$h$によって特徴づけられる．

Hilbert空間上でこれらの表現を実現する際にはややひねりがある．質量粒子では状態は次の形をとる： $$ |p_{\mu};j,j_3\rangle $$ ここで運動量は$p_\mu p^\mu = m^2$を満たし，方位角運動量の値は$j_3 \le |j|$を取る．これにより$2j+1$次元のスピン状態が揃う．一方，質量ゼロ粒子では単一の状態$|p_\mu; h\rangle$のみ存在する．これはヘリシティが$M_{12}$によって生成されるアーベル群$U(1)$の表現を記述し，アーベル群の既約表現は一様に1次元であるためである．

問題は，質量ゼロ粒子も内部自由度を持つことが分かっている点だ．例えば光子は必ず二つの偏光状態を持つ．明らかに何かが欠けている．欠けているのは状態スペクトルがCPTに不変であるという追加条件だ．質量粒子の場合，これは新しいことをもたらさない：状態集合(2.29)は既にCPTに不変である．しかし，質量ゼロ粒子ではCPTが$h\mapsto -h$と作用するため，質量ゼロの状態は対で現れなければならない． $$ |p_{\mu};h\rangle, |p_{\mu};-h\rangle $$ これが光子や重力子の二つの偏光状態や，質量ゼロWeylスピノルの二つのヘリシティの起源である．質量ゼロスカラーはヘリシティ$h=0$を持つためCPT自己共役であることに注意せよ．この場合，CPTから追加の自由度を加える必要はない．

質量のない表現

ここで$\mathcal{N}=1$超対称性代数の表現に移る．簡潔な観察(2.28)は，表現が異なるスピンの粒子を含むことを予想させ，これは実際に成り立つ．改めて，質量ゼロ粒子と質量粒子は別々に扱う必要がある．

超対称代数はまた二つのCasimirを持つ．最初のものは馴染み深い： $$ C_1=P_{\mu}P^{\mu} $$ これはCasimirであるという事実は，超対称多重項内のすべての粒子が同じ質量を持つこと，すなわち$C_1=m^2$であることを意味する．

一方，Poincaré群のもう一つのCasimirである$W_{\mu}W^{\mu}$は超対称代数のCasimirではない．その理由は$[W_{\mu},Q_{\alpha}]\neq 0$であり，これはさらに$[M_{\mu\nu},Q_{\alpha}]\neq 0$という交換関係にさかのぼるためだ．しかし，Poincaré群の表現が粒子のスピンによって特徴づけられることを示してくれたのは$W_{\mu}W^{\mu}$の方だ．$W_{\mu}W^{\mu}$がもはやCasimirでないという事実は，超対称代数の表現が異なるスピンを持つ粒子を含み得ることを意味する．

新たなCasimirを構成することが可能だ．まず次を定義する： $$ Y_{\mu}=W_{\mu}-\frac{1}{4}\bar{Q}_{\dot{\alpha}}\bar{\sigma}_{\mu}^{\dot{\alpha}\beta}Q_{\beta} $$ すると超対称代数の第二のCasimirは次のようになる： $$ \tilde{C}_2=(Y_{\mu}P_{\nu}-Y_{\nu}P_{\mu})(Y^{\mu}P^{\nu}-Y^{\nu}P^{\mu}) $$ しかし，以下ではこの結果は必要ない．代わりに超対称代数の表現をより直接的に構成する．戦略は粒子，すなわちPoincaré群の表現から出発し，順次超対称生成子を作用させて完全な代数の表現を構築することだ．

質量ゼロの表現については事態がやや単純になることが分かる．質量ゼロ粒子のヘリシティ$h$を持つ状態$|p_{\mu},h\rangle$を考える．再び$p^{\mu}=(E,0,0,E)$となる系にブーストできる．そのような状態に制限して作用する超対称代数は次のようになる： $$ \{Q_{\alpha},\bar{Q}_{\dot{\alpha}}\}=2\sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}P_{\mu}=2E(1+\sigma^3)_{\alpha\dot{\alpha}}=4E\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 非負性条件(2.27)から，$Q_2$と$\bar{Q}_2$はこの状態を必然的に消すことが分かる． $$ \langle p_{\mu},h | \{Q_2,\bar{Q}_2\} |p_{\mu},h\rangle=0 \implies Q_2|p_{\mu},h\rangle=\bar{Q}_2|p_{\mu},h\rangle=0 $$ 全超対称代数の表現を構築するためには，$Q_1$と$\bar{Q}_1$の作用だけを考えれば十分である．これらはフェルミオンの生成・消滅演算子と同様に振る舞う．具体的には，演算子を次のように規格化すると， $$ a=\frac{Q_1}{\sqrt{4E}},\quad a^{\dagger}=\frac{\bar{Q}_1}{\sqrt{4E}} \implies \{a,a^{\dagger}\}=1,\quad \{a,a\}=\{a^{\dagger},a^{\dagger}\}=0 $$ この代数の表現は明白であり，状態$|0\rangle$と$|1\rangle$の二つからなり，$a|0\rangle=0$，$|1\rangle=a^{\dagger}|0\rangle$を満たす．これにより$a^{\dagger}|1\rangle=0$が保証される．我々の場合，まずある状態が$a$によって消されるものと仮定して出発できる： $$ a|p_{\mu},h\rangle=0 $$ 全超対称多重項は$|p_{\mu},h\rangle$と$a^{\dagger}|p_{\mu},h\rangle$から構成される．問題は，この第二の状態のヘリシティがいくつになるかだ．これは交換関係(2.22)から導かれる： $$ [M^{\mu\nu},Q_{\alpha}]=(\sigma^{\mu\nu})_{\alpha}{}^{\beta}Q_{\beta},\quad [M^{\mu\nu},\bar{Q}^{\dot{\alpha}}]=(\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}}\bar{Q}^{\dot{\beta}} $$ (x1,x2)平面での回転，すなわちヘリシティに制限すると， \begin{align*} [M^{12},Q_1] =& \frac{1}{2}Q_1, & [M^{12},Q_2]=&-\frac{1}{2}Q_2 \\ [M^{12},\bar{Q}^1]=&\frac{1}{2}\bar{Q}^1 & [M^{12},\bar{Q}^2] =& -\frac{1}{2}\bar{Q}^2 \end{align*} 最初の式は$Q_1$がヘリシティを$1/2$上げることを示す．随伴演算子$\bar{Q}_1$はヘリシティを$1/2$下げるはずだ．これを確認するには，添字を下げた後の関係$\bar{Q}_1=-\bar{Q}^2$を思い出すとよい．すると $$ [M^{12},\bar{Q}_1]=-\frac{1}{2}\bar{Q}_1 $$ となり，$\bar{Q}_1$が期待どおりヘリシティを$1/2$下げることが分かる．したがって，超対称代数の質量ゼロ表現は次の二つの状態からなる： $$ |p_{\mu},h\rangle,\quad |p_{\mu},h-\frac{1}{2}\rangle=\frac{\bar{Q}_1}{\sqrt{4E}}|p_{\mu},h\rangle $$ 前述のように，質量ゼロ状態にはそのCPT共役も加えなければならない．超対称代数のさまざまな表現は，出発するヘリシティ$h$を変えることで得られる．特に重要な三つの表現がある：

• $h=\tfrac{1}{2}$で始めると，次を得る：

  $h$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$+\frac{1}{2}$
  縮退度	$1$	$2$	$1$

  これは単一のWeylスピノルと複素スカラーを量子化したときに得られる内容である．これをカイラル多重項（chiral multiplet）と呼ぶ． カイラル多重項は物質粒子として考えられる．Section 3ではカイラル多重項に対応する場の理論を研究する．ここで一言だけ述べると，他の内部対称性の生成子は必ず$Q_{\alpha}$と可換しなければならないため，あるカイラル多重項内のフェルミオンとスカラーは同じ力を受ける．特に一方がゲージ群の下で荷電していれば，他方も同じ荷を持つ．Section 4で超対称ゲージ理論を構成するときにこれを明示的に見る．
• $h=1$で始めると，次を得る：

  $h$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$+\frac{1}{2}$	$+1$
  縮退度	$1$	$1$	$1$	$1$

  これは光子と単一のWeylスピノルからなる内容であり，ゲージ多重項（vector multiplet）と呼ばれる． Section 4ではベクトル多重項の研究に時間を割く．そこでゲージ群$G$の次元だけベクトル多重項を取ることで，$G$の超対称版Yang-Mills理論を構成できることが分かる．通常どおり，$h=1$のゲージボソンはゲージ群のadjoint表現に変換するが，そのフェルミオン的パートナーも同様にadjointに入る．そのフェルミオンはしばしばgauginoと呼ばれる．
• $h=2$で始めると，次を得る：

  $h$	$-2$	$-\frac{3}{2}$	$+\frac{3}{2}$	$+2$
  縮退度	$1$	$1$	$1$	$1$

  これはgravitionとヘリシティ$3/2$のスピノル（Rarita-Schwinger場，ここではgravitinoと呼ぶ）からなる内容で，超重力多重項を形成する．

更に進めると，ヘリシティ $h>2$ の質量ゼロ場が得られる．しかし，そのような高ヘリシティの質量ゼロ場を含む相互作用する理論の存在を禁止する強い制約がある（この主張はMinkowski時空で成り立つ．de Sitterやanti de Sitter時空には，質量ゼロ状態の無限塔を含む注目すべき「higher spin」理論が存在する）．同様の理由で$h=\tfrac{3}{2}$の多重項も省略した．質量ゼロのヘリシティ$\tfrac{3}{2}$粒子の存在は局所超対称性の存在を示唆し，それが理論に重力の結合を要求することが分かる．

質量のある表現

次に超対称性代数の質量のある表現を考える．粒子の静止系では運動量は$p^\mu=(m,0,0,0)$である．このような状態に作用すると超対称性代数は次のようになる： $$ \{Q_{\alpha},\bar{Q}_{\dot{\alpha}}\}=2\sigma^{\mu}_{\alpha\dot{\alpha}}P_{\mu}=2m\sigma^0_{\alpha\dot{\alpha}}=2m\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ この場合，規格化の後に$Q_1$と$Q_2$はいずれもフェルミオンの生成・消滅演算子として振る舞う： $$ a_{\alpha}=\frac{Q_{\alpha}}{\sqrt{2m}},\quad a_{\dot{\alpha}}^{\dagger}=\frac{\bar{Q}_{\dot{\alpha}}}{\sqrt{2m}} \implies \{a_{\alpha},a_{\dot{\alpha}}^{\dagger}\}=\delta_{\alpha\dot{\alpha}} $$ また$\{a_{\alpha},a_{\beta}\}=\{a_{\dot{\alpha}}^{\dagger},a_{\dot{\beta}}^{\dagger}\}=0$である．状態$|\Omega\rangle=|p_{\mu};j,j_3\rangle$を取り，$a_{\alpha}|\Omega\rangle=0$と仮定して始める．すると全超対称多重項は4つの状態から構成される： \begin{align*} |\Omega\rangle \\ a_1^{\dagger}|\Omega\rangle,\quad a_2^{\dagger}|\Omega\rangle \\ a_1^{\dagger}a_2^{\dagger}|\Omega\rangle \end{align*} 問題はこれらの新しい状態のスピンがいくつになるかである．交換関係(2.30)を使って小群$SU(2)$の下での変換を調べることもできるが，結果は直感的で単純である．出発状態$|\Omega\rangle$のスピンは$j$である．状態$a^{\dagger}_{\alpha}|\Omega\rangle$は表現のテンソル積$j\otimes\frac{1}{2}=(j+\tfrac{1}{2})\oplus(j-\tfrac{1}{2})$に入る．最後の状態は $$ a^{\dagger}_1 a^{\dagger}_2 |\Omega\rangle = \tfrac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta}a^{\dagger}_{\alpha}a^{\dagger}_{\beta}|\Omega\rangle $$ と書け，ここで$\epsilon_{\alpha\beta}$が生成子を縮約してスピンsingletにしている．したがって$a^{\dagger}_1 a^{\dagger}_2|\Omega\rangle$のスピンは再び$j$である．

結論として，質量のある超多重項はスピン$j$の粒子が2つ，スピン$j-\frac{1}{2}$の粒子が1つ，およびスピン$j+\frac{1}{2}$の粒子が1つ含まれる．スピン$j$の2つの粒子の縮退度は他の2つの粒子の縮退度と正確に等しいことに注意せよ： $$ 2\times(2j+1)=\left[2\left(j+\frac{1}{2}\right)+1\right]+\left[2\left(j-\frac{1}{2}\right)+1\right] $$ これは前に見た通り，超多重項はボソンとフェルミオンの自由度の数が等しいことを意味する．

ここで関心がある質量のある超多重項はちょうど二種類である．

• 出発状態を$j=0$とすると，得られる多重項は次のとおりである：

  $j$	$0$	$\frac{1}{2}$
  縮退度	$2$	$1$

  これは単一の質量を持つWeylフェルミオンを伴う質量付き複素スカラーの物質内容である．先に挙げたカイラル多重項と同じ内容であり，今回はすべての粒子が質量を持つ点が異なる．
• 出発状態を$j=\tfrac{1}{2}$とすると，得られる多重項は次のとおりである：

  $j$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$
  縮退度	$1$	$2$	$1$

  言い換えれば，質量付きスピン1の粒子が1つ，質量付きWeylフェルミオンが2つ，質量付きスピン0の粒子が1つ存在する．これは質量ゼロのゲージ多重項で見られた状態よりも多い．実際，この状態群は質量ゼロのゲージ多重項と質量ゼロのカイラル多重項と同等である．これは理にかなっている．量子場理論では質量ゼロのゲージボソンが質量を得るのはHiggs機構を通じてのみであり，その過程でゲージボソンはスカラーを「食う」．超対称拡張では，質量ゼロのベクトル多重項がカイラル多重項を「食う」ことで，上記の質量付きベクトル多重項になる．

もう一つ注意すべき微妙な点がある．これは質量付きカイラル多重項の二つのスカラーに対するパリティの作用である．一方はスカラーであり，もう一方は擬スカラーである．ここで「擬スカラー」とはパリティの下で符号が反転することを意味する．この主張は，本節の他の記述と同様に超対称代数から導かれる．

パリティ演算子を運動量演算子$P^\mu$と区別するために$\hat{\mathcal{P}}$と表す．定義上，次が成り立たなければならない： $$ \hat{\mathcal{P}}P^{\mu}\hat{\mathcal{P}}^{-1}=(P^0,-P^i) $$

一方，パリティは左手型と右手型のスピノルを交換する．したがってパリティは$Q_\alpha$と$\bar{Q}_{\dot{\alpha}}$のある組合せを交換しなければならない．超対称代数が不変であることを確認すると，次の変換を取ってよいことが分かる： $$ \hat{\mathcal{P}}Q_{\alpha}\hat{\mathcal{P}}^{-1}=(\sigma^0)_{\alpha\dot{\alpha}}\bar{Q}^{\dot{\alpha}},\quad \hat{\mathcal{P}}\bar{Q}^{\dot{\alpha}}\hat{\mathcal{P}}^{-1}=-(\sigma^0)^{\dot{\alpha}\alpha}Q_{\alpha} $$ （より一般にはこれらの関係に複素位相を含められるが，本議論では影響しない．）

このとき，質量付きカイラル多重項の二つのスカラー状態は$|\Omega\rangle$と$|\Omega'\rangle = a^\dagger_1 a^\dagger_2 |\Omega\rangle \sim \bar{Q}_1\bar{Q}_2|\Omega\rangle$である．これらは$Q_{\alpha}|\Omega\rangle = \bar{Q}_{\dot{\alpha}}|\Omega'\rangle = 0$を満たす．パリティは$Q_{\alpha}$と$\bar{Q}_{\dot{\alpha}}$を交換するので，$|\Omega\rangle$と$|\Omega'\rangle$も交換される必要がある．つまりパリティ固有状態は次の通りである： $$ \hat{\mathcal{P}}(|\Omega\rangle\pm|\Omega'\rangle)=\pm(|\Omega\rangle\pm|\Omega'\rangle) $$ よって，$+$符号の組がスカラー，$−$符号の組が擬スカラーとなり，前述どおり一つのスカラーと一つの擬スカラーが存在することになる．

拡大超対称性

理論が複数の超対称性を示すことは可能である．これは超電荷が$\mathcal{N}$個存在することを意味する： $$ Q_{\alpha}^I,\quad \bar{Q}_{\dot{\alpha}}^I,\quad I=1,\dots,\mathcal{N} $$ それぞれの超電荷はPoincaré群の生成子に関して同じ交換関係を保持する： $$ [M^{\mu\nu},Q_{\alpha}^I]=(\sigma^{\mu\nu})_{\alpha}{}^{\beta}Q_{\beta}^I,\quad [P^{\mu},Q_{\alpha}^I]=0 $$ さらに超対称代数の重要な部分は各生成子ごとに成り立つ： $$ \{Q_{\alpha}^I,\bar{Q}_{\dot{\alpha}}^J\}=2\sigma_{\alpha\dot{\alpha}}^{\mu}P_{\mu}\delta^{IJ} $$ しかし，二つの新奇な点がある．第一は超電荷同士の反交換子がより興味深い形を取り得ることである： $$ \{Q_{\alpha}^I,Q_{\beta}^J\}=\epsilon_{\alpha\beta}Z^{IJ},\quad \{\bar{Q}_{\dot{\alpha}}^I,\bar{Q}_{\dot{\beta}}^J\}=\epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}(Z^{\dagger})^{IJ} $$ ここで$Z^{IJ}=-Z^{JI}$は中心電荷（central charge）であり，代数の他のすべての元と可換であることを意味する．これら中心電荷の具体的な性質は扱う理論に依存するが，手元にある他の保存量から構成されなければならない．これらの中心電荷が果たす役割は後で見る．

二つ目の新規性はR対称性群である．$\mathcal{N}=1$の場合は超電荷の位相を回転させる$U(1)_R$対称性（(2.24)）があったことを思い出そう．$\mathcal{N}>1$では，R対称性は超電荷同士を互いに回転させる．後で明らかになる理由から，本稿で主に関心があるのは$\mathcal{N}=2$と$\mathcal{N}=4$の超対称性である．これらのR対称性は次の通りである：

• $\mathcal{N}=2$:

  R対称性群は$U(2)_R \cong U(1)_R \times SU(2)_R$である．

• $\mathcal{N}=4$:

  一見するとR対称性群は$U(4)$である．しかし場に実現されるのは$SU(4)$のみであることが判明する．これは$SU(4)\cong Spin(6)$に相当する．（これをやや不正確に$SO(6)$と表記する場合があるが，超電荷は$Spin(6)$のスピノル表現に変換し，これは$SO(6)=Spin(6)/\mathbb{Z}_2$の表現ではない．）

拡大超対称性を持つ理論は，$\mathcal{N}=1$超対称性を持つ理論の部分集合である．これは，$\mathcal{N}>1$の理論の表現が，上で述べた$\mathcal{N}=1$の超多重項を結合して構成されなければならないことを意味する．この節の残りでは，その構成方法を説明する．

質量のない表現

質量ゼロ粒子の状態$|p_\mu,h\rangle$に対する表現も同様に扱う．$p^\mu=(E,0,0,E)$の系にブーストして，そのような状態上の代数に注目する．すると $$ \{Q_{\alpha}^I,\bar{Q}_{\dot{\alpha}}^J\}=4E\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\delta^{IJ} $$ となる．前と同様に，$Q^I_2|p_\mu,h\rangle=\bar{Q}^I_2|p_\mu,h\rangle=0$が成り立つ．式(2.32)から$Z^{IJ}|p_\mu,h\rangle=0$が従い，中心電荷は質量ゼロ状態に対して役割を果たさないことが分かる．したがって取り扱うべきは$Q^I_1$と$\bar{Q}^I_1$だけである．これらは$\mathcal{N}$組のフェルミオン的生成・消滅演算子を成す： $$ a^I=\frac{Q_1^I}{\sqrt{4E}},\quad a^{I\dagger}=\frac{\bar{Q}_1^I}{\sqrt{4E}} \implies \{a^I,a^{J\dagger}\}=\delta^{IJ},\quad \{a^I,a^J\}=\{a^{I\dagger},a^{J\dagger}\}=0 $$ 基準状態$|\Omega\rangle=|p_\mu,h\rangle$を取り，$a^I|\Omega\rangle=0$として出発し，生成演算子を作用させて完全な表現を構築する．結果として得られる状態群は次のようになる： \begin{align*} |\Omega\rangle \\ a^{I\dagger}|\Omega\rangle \\ a^{I\dagger}a^{J\dagger}|\Omega\rangle \\ \vdots \\ a^{1\dagger}a^{2\dagger}\cdots a^{\mathcal{N}\dagger}|\Omega\rangle \end{align*} 出発状態$|\Omega\rangle$のヘリシティは$h$である．もし$p$個の$a^\dagger$を作用させれば，$\binom{\mathcal{N}}{p}$個の異なる状態が得られ，各々のヘリシティは$h-\tfrac{p}{2}$となる．完全な多重項は$2^{\mathcal{N}}$個の状態から成る．さらにCPT共役状態を加えれば，合計で$2^{\mathcal{N}+1}$個の状態を得る．次に具体例を見ていく．

$\mathcal{N}=2$超対称性

再び，出発状態$|\Omega\rangle$のヘリシティを変えることで異なる多重項が生じる．各場合を順に扱う．

• もし$h=\tfrac{1}{2}$から始めると，第一層に$a^{I\dagger}|\Omega\rangle$が2つ存在し，各々のヘリシティは$h=0$であり，最終層には$a_1^\dagger a_2^\dagger|\Omega\rangle$の単一状態があってヘリシティは$h=-\tfrac{1}{2}$である．CPT共役を加えると結果は次の通りになる：

  $h$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$+\frac{1}{2}$
  縮退度	$2$	$4$	$2$

  これはハイパー多重項と呼ばれる．2つのカイラル多重項，すなわち2つの複素スカラーと1つの Dirac フェルミオン（すなわち2つの Weyl フェルミオン）から構成される． なぜこの場合にCPT共役を追加する必要があるのか疑問に思うかもしれない．確かに$h=+\tfrac{1}{2}$から始めると単一のカイラル多重項が得られ，それは既にCPT自己共役である．この違いの答えは，スカラー$a^{I\dagger}|\Omega\rangle$に二重項として作用する$SU(2)_R$対称性の詳細にある．すなわちこれらのスカラーは各々複素でなければならず，結果としてCPT共役を加える必要がある．
• もし$h=0$から始めると，$h=-\tfrac{1}{2}$の追加の状態が2つと$h=-1$の状態が1つ得られる．CPT共役を加えると次のようになる：

  $h$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$+\frac{1}{2}$	$+1$
  縮退度	$1$	$2$	$2$	$2$	$1$

  これは$\mathcal{N}=2$ベクトル多重項であり，$\mathcal{N}=1$ベクトル多重項と$\mathcal{N}=1$カイラル多重項から成る．
• もし$h=2$から始めると，CPT共役を加えた後に次の多重項が得られる：

  $h$	$-2$	$-\frac{3}{2}$	$-1$	$+1$	$+\frac{3}{2}$	$+2$
  縮退度	$1$	$2$	$1$	$1$	$2$	$1$

  これは$\mathcal{N}=2$超重力多重項であり，$\mathcal{N}=1$超重力多重項と$\mathcal{N}=1$ベクトル多重項から構成される．

上のスペクトルで強調すべき重要な点が一つある．フェルミオンが対になって現れるため，WeylフェルミオンではなくDiracフェルミオンとして扱える点である．このことは構築可能な超対称理論の型に制約を与える．特に，$\mathcal{N}>1$の超対称性を持つ下ではカイラルゲージ理論を構成することは不可能である．ここでカイラル理論とは，左手型と右手型のフェルミオンが異なる力を受ける理論を指し，Standard Modelのような例である．そのような理論は$\mathcal{N}=1$の超対称性（あるいは現実世界のように$\mathcal{N}=0$）では可能である．しかし任意の拡大超対称性は理論をvector-likeに強制する．

$\mathcal{N}=4$超対称性

同じ手順を$N=4$超対称性でも適用できる．

• $h=1$から始めると，次の多重項が得られる：

  $h$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$+\frac{1}{2}$	$+1$
  縮退度	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$

  これは$\mathcal{N}=2$ベクトル多重項と$\mathcal{N}=2$ハイパー多重項から成り，重力を含まない唯一の$N=4$多重項である． 注意として，もはや力と物質の区別はなく，ゲージ群を指定すれば全ての物質内容も自動的に決定される． さらに，全ての物質場は必然的にゲージ群の随伴表示（adjoint representation）で変換する． 今回はCPT共役を付け加える必要はない：既にCPT自己共役である． 前に見たように，$N=2$の物質表現ではこれを達成するのはほとんど可能だったが，$SU(2)_R$がスカラーにどのように作用するかを考えたときに最後の障壁に直面した．しかしここではそのような懸念はない． スカラーは$\,a^{I\dagger}a^{J\dagger}|\Omega\rangle\,$の6つの状態の集合であり，$SU(4)$のR対称性の6次元表示で変換する． これは実表示であるため，CPT共役を加える必要はない．
• $h=2$から始めると，CPT共役多重項を加えた後に次の多重項が得られる：

  $h$	$-2$	$-\frac{3}{2}$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$+\frac{1}{2}$	$+1$	$+\frac{3}{2}$	$+2$
  縮退度	$1$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$1$

  これは$\mathcal{N}=4$超重力多重項であり，$\mathcal{N}=2$超重力多重項と$\mathcal{N}=2$ベクトル多重項から構成される．

ここで$\mathcal{N}=2$から$\mathcal{N}=4$へ直接飛んで$\mathcal{N}=3$を飛ばしていることに気づいたかもしれない．例えば$h=1/2$や$h=1$から出発して$\mathcal{N}=3$超対称性の単一粒子状態の多重項を構築しようとすると，CPT共役表現を追加せざるを得なくなり，結果的に$\mathcal{N}=4$超対称性になってしまうことが分かる．この観察は，任意の摂動理論でグローバル$\mathcal{N}=3$超対称性を持つものは必然的に$\mathcal{N}=4$超対称性を持つという証明の主要な要素である．

「perturbative」という語は上の記述で重要だ．これは理論が弱結合であり，ここで考えている単一粒子状態が理論のスペクトルの良い近似であることを意味する．しかし，$\mathcal{N}=3$超対称性は強結合した相互作用する量子場理論において，摂動的領域を持たずに実現され得ることが分かっている．

$\mathcal{N}=8$超対称性

もし$\mathcal{N}=4$を超える超対称性を考えると，ヘリシティ$h\leq 1$を持つ多重項はもはや存在しない．これは必然的に局所超対称性と超重力の領域に入ることを意味する．さらに，$\mathcal{N}=8$を超えると多重項にはヘリシティ$h>2$の粒子が含まれる．前に述べたとおり，そのような理論はMinkowski空間では常に自由場であり，興味は限られる．この意味で$\mathcal{N}=8$が可能な最大の超対称性の数になる．この理論は次の縮退度を持つ唯一の超重力多重項を持つ：

質量のある表現とBPS境界

質量のある表現についての全ての説明を繰り返す代わりに，新しい点にだけ焦点を当てる．これは超対称代数に現れる中心電荷$Z^{IJ}$から生じる． $$ \{Q_{\alpha}^I,Q_{\beta}^J\}=\epsilon_{\alpha\beta}Z^{IJ} $$ 以下で説明する理由により，拡張超対称性の大きな力の源泉はここにある．

目的はこの代数の表現を理解することであり，粒子の静止系では元の超対称代数が（2.31）として次の形を取る： $$ \{Q_{\alpha}^{I},\bar{Q}_{\dot{\alpha}}^J\}=2m\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\delta^{IJ} $$ ここでは話を$\mathcal{N}=2$の超対称性で例示するが，基本的な考え方は任意の拡張超対称性を持つ理論にも当てはまる．$\mathcal{N}=2$の場合，反対称な中心電荷は必然的に単一の複素数$Z$となる： $$ Z^{IJ}=2\epsilon^{IJ}Z $$ 簡単のため$Z$を実数とする（通常は複素数であることが多いが，ここではこの問題を避け，完全な結果は下に述べる）．次に生成・消滅演算子の次の組合せを定義する： $$ a_{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} Q_1^1+\bar{Q}_2^2 \\ Q_2^1-\bar{Q}_1^2 \end{pmatrix},\quad b_{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} Q_1^1-\bar{Q}_2^2 \\ Q_2^1+\bar{Q}_1^2 \end{pmatrix} $$ ここで$\alpha$と$\dot{\alpha}$の添字を混在させている点に注意．これは粒子の静止系で作業しており既にLorentz不変性を破っているため許容される．$a$と$b$の選び方は質量と中心電荷$Z$を分離するように設計されており，それゆえ反交換関係は次のようになる： $$ \{a_{\alpha},a_{\beta}^{\dagger}\}=2(m+Z)\delta_{\alpha\beta},\quad \{b_{\alpha},b_{\beta}^{\dagger}\}=2(m-Z)\delta_{\alpha\beta} $$ 他のすべての反交換子は零である．$\{a_{\alpha},a_{\beta}^{\dagger}\}$と$\{b_{\alpha},b_{\beta}^{\dagger}\}$はいずれも正定であるため，対応する右辺も正でなければならない．この条件は質量が中心電荷によって抑えられている場合に限り満たされる，すなわち $$ m \geq |Z| $$ この式は$Z$が複素数の場合でも成立する．位相を用いて演算子$a$と$b$を再定義すれば同じ結果が得られる．興味深いのは，中心電荷$Z$が量子場理論における保存量の組合せであることを思い出すと，粒子の質量が保存量によって下界を持つことが分かる点である．これは一般にBPS境界（BPS bound）として知られるが，この文脈ではWitten-Olive境界と呼ぶほうが適切かもしれない．

代数の表現論はどうか．重要なのは，$m>|Z|$か$m=|Z|$かに依存することだ．

$m>|Z|$の場合は，先に見た質量付き表現論と非常に似た状況になる．$a^\dagger_\alpha$と$b^\dagger_\alpha$はいずれも生成演算子として振る舞い，結果として16個の状態からなる多重項を得る．これはlong multipletと呼ばれる．同様の議論を$\mathcal{N}$個の超対称性で繰り返すと，long multipletは$2^{2\mathcal{N}}$個の状態を持つことがわかる．

より興味深いのは$m=|Z|$のときに何が起きるかだ．この場合，生成演算子の半分が何もしなくなる．例えば$m=Z$のときは$b_{\alpha}$が多重項内の全ての状態に対してただ零に作用する．これで質量ゼロ表現を議論したときに出会った状況に戻る．すなわち生成演算子として作用するのは$a^{\dagger}_{\alpha}$のみである．その結果，上で見たハイパー多重項あるいはベクトル多重項が得られ，いずれも8個の状態を持つが，質量は$m=Z$になる．これをshort multipletと呼ぶ．

質量が$m = |Z|$に固定される short multipletsの存在は，拡張超対称性を持つ量子場理論の研究においてきわめて有力な手段となる．基本的な考え方は，通常，弱結合領域で量子場理論を解けることである．その領域では諸状態を同定し，long multipletsとshort multipletsのスペクトルを理解できる．強結合領域へ移ると一般にダイナミクスの制御を失う．しかしshort multipletsは特別で，その質量が$m = |Z|$に固定されている．質量が$|Z|$から外れるにはヒルベルト空間に追加の状態が存在しなければならず，結合定数のようなパラメータを変化させてもそのような状態が突然どこからともなく現れることはありえない．short multipletsがこの制約から解放される唯一の方法は，二つ以上のshort multipletsが縮退して結合し，質量の保護が失われたlong multipletを形成する場合だけである．このような事態がいつ起こり得るのか（あるいは起こり得ないのか）を理解することで，特定の量子場理論の強結合ダイナミクスに関する貴重な手がかりを得られる．

このようにして，short BPS 多重項の研究は強結合領域で何が起きるかに稀有な光を当てる．それにより$\mathcal{N}=2$および$\mathcal{N}=4$のゲージ理論の動力学を事実上解くことができる．また，弦理論の強結合極限やM-theoryの存在を理解し，特定の BPS ブラックホール解の微視的エントロピーを計算することも可能にする．要するに，極めて有用な道具である．

BPSのトリックは$\mathcal{N}=1$理論では利用できないため，これらの講義の大部分ではそれを用いない（実際にはある種の$\mathcal{N}=1$理論においてドメインウォールやボルテックス弦の張力を計算するために用いることはできるが，粒子状態の質量を計算するためには使えない）．

他の次元における超対称性

これらの講義では，$d = 3 + 1$の時空次元の超対称理論に限定する．しかし，他の次元における超対称理論にも興味深い点が多い．ここではごく簡単なコメントをいくつか述べるにとどめる．