イントロダクション

本稿は主に Tong の教科書 [Ton22] に基づいている．

目次

• 超対称理論の例

超対称性とは，ボソンとフェルミオンを結びつける新しい対称性の名称である．多くの意味で，そのような対称性が存在し得ること自体は驚きである．というのも，ボソンとフェルミオンは，控えめに言っても，異なる存在だからである．

ボソンは社交的である．多数のボソンを箱に入れると，互いに寄り添ってBose-Einstein凝縮と呼ばれる巨視的な量子物体を形成する．対照的にフェルミオンは孤立を好む．その孤立はPauliの排他原理によって強制される．多数のフェルミオンを箱に入れると，最終的には奇妙な量子物質の状態であるFermi面が得られる．

相対論的量子場理論の枠組みでは，フェルミオンとボソンの違いはさらに顕著になる．フェルミオンは物質粒子であり，ボソンは力の担い手である．両者を結びつける対称性は，何らかの形で物質と力の統一を伴わなければならない．

もちろん，場の量子論からわかるように，ボソンとフェルミオンの区別はある意味かなり小さな事柄に由来する．それらは角運動量が$\hbar/2$異なるという単純な点でしか違わず，その後はspin統計定理が重い仕事をして，結果として粒子がこれほど異なる性質を持つことを保証する．しかし，これもまた超対称性がいかに特殊かを際立たせる．粒子の角運動量は時空の対称性に従う性質である．異なる角運動量を持つ粒子を結びつける何かは，時空の対称性を何らかの形で拡張することを伴わなければならない．

以上のことから，超対称性のようなものが存在し得るかは全く自明ではなく，少なくともそれがどのように生じるのかに興味を持つべきである．しかし，他にどのような理由でこれを重視すべきか．この導入の残りでは，超対称な量子場理論を研究する価値がある三つの理由を示す．

場の量子論は難しい．特に相互作用の強さを示す結合定数が小さくない場合はそうだ．この場合，慣れ親しんだ摂動論やFeynman diagramsの手法では物理を理解できなくなる．ここで「難しい」とは典型的には「誰もどう解くかを知らない」という意味である．

超対称場の理論は他の場の理論と劇的に異なるわけではない．それらは入念に選ばれた場の集合を持ち，いくつかの相互作用が特定の値に調整されているが，それ以外では他の場の理論に期待される多くの強結合的現象を示す．しかし超対称性の妙は，多くの場合において理論の性質について正確な記述が可能になる点にある．これは超対称性が生じ得る力学の種類に対して一定の制約を課すためである．幸いにも，これらの制約は興味深い現象の発生を妨げるほど強くはなく，一方で理論の特定の側面を解くのに十分な強さを持っていることがわかる．このようにして，超対称場の理論は通常ならほとんど制御が効かない領域において場の理論が何をなせるかを理解するための重要なtoy模型の集合を提供する．

例を示す．強い核力の理論であるQCDは，confinement（閉じ込め）と呼ばれる顕著な性質を示す．クォークは常にハドロンの内部に閉じ込められ，単独のクォークを観測することはない．QCDがこの性質を持つことは疑いようがなく，数値シミュレーションでも明白であるが，第一原理から閉じ込めを証明するにはまだ遠い．しかし，物質成分がわずかに異なるもののQCDに類似した超対称ゲージ理論の中には，閉じ込めを解析的に証明できるものが存在する（これは有名なSeiberg-Witten解に由来し，$\mathcal{N}=2$超対称理論の解によるものである）．超対称による閉じ込めの証明は現実のQCDに直接適用できるわけではないが，それでも閉じ込めがどのように進行するかについて有益な直観を与える．

このノートは，超対称性を用いて強結合した場の理論について興味深いことを明らかにするという精神で行う．実世界の$QCD$に存在する閉じ込めやカイラル対称性の破れといったトピックについて学び，それらがより扱いやすい超対称理論の中でどのように現れるかを見ていく．また，$QCD$には直接関係しないが，強く相互作用する場の理論が取りうる振る舞いについて洞察を与える新奇な現象についても学ぶ．これらの新奇な現象の中でもとりわけ重要なのが双対性の概念であり，外見が大きく異なる二つの場の理論が実は同じ物理を記述するという考えである．

超対称場の理論に関する理解が深まるにつれて，より洗練された数学的構成がそれらの中に潜んでいることが明らかになった．これらは主に，しかし必ずしもそれに限らず，幾何学に由来する概念である．

超対称性と数学の結びつきは，いくつかの単純な量子力学モデルから始まる．これらの解は，Morse理論や指数定理などに関して新しい視点を与える．しかし，本当に面白くなるのは超対称場の理論に移ったときである．$d = 1 + 1$次元の超対称場の理論の理解は，位相的に異なる多様体同士の関係であるミラー対称性の発見につながった．さらに高次元の場の理論へ進むと，ますます精巧な構造が見つかり，そのいくつかは数学者に知られているものだが，いくつかは新奇なものである．明らかに，まだ多くの未解明の領域が残されている．

このノートでは数学との関係についてほとんど触れないが，進むうちにKähler幾何の概念に出くわし，少なくとも超対称性から自然に興味深い幾何学的概念が生まれる感触は得られる．

最重要の問いは，超対称性が我々の世界と何らかの関係を持つかどうかだ．残念ながら答えはわからない．

超対称性が自然の基本的なレベルで成り立つ対称性であるという実験的な証拠は確かに存在しない．しかもそれは，試みが足りないからではない．詳細を述べるために，まず我々の世界が超対称的であるとはどういうことかを説明する．次に，それが成り立つかもしれないと考える理由（あるいはかつて考えられていた理由）を説明する．

任意の超対称理論では，粒子は対をなして現れる：一方はボソン，他方はフェルミオン．その対の粒子は質量や受ける力など多くの性質を共有する．LHCを建てる必要はなく，我々の世界がこの性質を持っていないことは明白だ．電子と同じ質量と電荷を持つボソンは存在しないし，光子と同じ性質を持つ質量のないフェルミオンも存在しない．要するに，超対称性は存在しない．

しかし，周囲の世界ですべての対称性がそのまま現れるわけではない．これは対称性の破れという現象のためで，理論の力学が基になっている対称性を覆い隠すような選択を行うからである．対称性の破れが起きる例は多数知られており，ありふれて馴染み深いものもあれば，より奇妙なものもある．ここに二つ示す．磁石では全てのスピンがある方向に揃い，基礎にある回転対称性を破る．Standard Modelでは電弱対称性がHiggs粒子によって破れ，その結果の一つとして（左手の）電子とニュートリノは高エネルギーでは区別がつかないにもかかわらず，低エネルギーでは非常に異なって見える．

超対称性が我々の世界の対称性でありながら破れて低エネルギーで隠れている可能性は十分にある．もしそうなら，その破れはあるエネルギー尺度を伴い，それを$M_{\text{susy}}$と呼ぶ．全ての超対称パートナー（各ボソン/フェルミオン対の一方）は質量を獲得し，その値はおおむね$M_{\text{susy}}$の周辺にあるだろう．従って超対称性が自然界に存在するかを問うためには，対応する問いにも答える必要がある：$M_{\text{susy}}$の尺度はどれくらいか．

長年，超対称性はStandard Modelを超える物理の最有力候補と見なされてきた，$M_{\text{susy}}\approx 1\ \mathrm{TeV}$のスケールで．このスケールでは，超対称性は階層性問題に対する説得力のある解を与える（Higgsの質量が量子揺らぎによってより高いスケールへ駆り立てられないのはなぜかという問い）．さらに，この解を採ると結合定数の統一から魅力的な暗黒物質候補に至るいくつかの望ましい帰結が伴う．

しかし，LHCの登場により我々は既にTeVスケールを探索しており，予測された超対称パートナーは確認されていない．まだ完全に終わったわけではない：これらの余剰粒子が目前にひそんでいて現行の加速器の届かないところにあり，より高いエネルギーに到達すれば発見される可能性は十分にある．とはいえ，TeVスケールでの超対称性を信じる理由や許容される理論のパラメータ空間は劇的に狭まったと言って差し支えない．つまり，もし超対称性が我々の世界の対称性であるなら，現在ではあるスケールで破れているように見え，$M_{\text{susy}}\gtrsim 1\ \mathrm{TeV}$である．しかし，そのスケールはどこか？

超対称性がPlanckスケール$M_{\text{pl}}\approx 10^{15}\ \mathrm{TeV}$に達するまでに現れるかもしれないと考える理由がある．その理由は弦理論である．もちろん，弦理論が量子重力の正しい理論であるかどうかはわからないが，現在のところ微視的な量子理論から大きな距離でEinstein方程式が導かれる実行可能な候補はこれだけである．そして，弦理論は超対称性を必要とするように見える（ここで「appears」という語を入れるのは，ボソン（すなわち非超対称的な）弦理論に関して把握できていない未解決の問題があり，これを実行可能な理論として早計に除外するのは時期尚早かもしれないからである）．

もし弦理論を支持するなら，$M_{\text{pl}}$に達する頃までに超対称性が顕在化していることを望むだろう．上で見たように，それは$M_{\text{susy}}\gtrsim 1\ \mathrm{TeV}$程度のスケールで破れているように見える．しかし TeV スケールとPlanckスケールの間には15桁の隔たりがある．階層性問題を解くために超対称性が TeV スケールやその直上で破れるのではなく，この範囲のどの位置で破れると期待すべきか．残念ながら，その答えについて良い見当はなく，自然界から$M_{\text{susy}}$を TeV よりはるかに大きなスケール$ \gg \mathrm{TeV}$に置く方が有益だと示す手がかりは存在しない．

この状況は結局，超対称性が我々の世界でどのような役割を果たすか（そもそも果たすかどうか）について少なからぬ困惑を残している．したがって，これらのノートでは超対称性が我々の世界にどのように現れるかを説明しようとはしない．具体的には，Standard Modelの超対称版を構築することに苦労を費やさない（最も単純なものはMSSMと呼ばれ，最初のMは"minimal"を意味し，残りは推測できるだろう）し，超対称性がどのように破れるか，それがどのように現れるかに伴う多くの微妙な点についても述べない．代わりに，超対称性が極めて有用であることが示された事例に焦点を当て，これらの理論を場の理論の理解を導くためのtoy模型として扱う．

超対称理論の例

これからの内容の動機付けとして，特に単純な超対称理論をまず取り上げる．この理論は，単一の複素スカラー$\phi$と，2成分のWeylフェルミオン$\psi_\alpha$から成る．

以下の作用はこれら二つの場の運動項と，いくつか精密に調整された相互作用を含む． \begin{equation}\label{1.1} S=\int d^4x \left[ \partial_{\mu}\phi^{\dagger}\partial^{\mu}\phi - i\psi\sigma^{\mu}\partial_{\mu}\bar{\psi} - \left| \frac{\partial W}{\partial \phi} \right|^2 - \frac{1}{2}\frac{\partial^2W}{\partial\phi^2}\psi\psi - \frac{1}{2}\frac{\partial^2W^{\dagger}}{\partial\phi^{\dagger 2}}\bar{\psi}\bar{\psi} \right] \end{equation} ここで$\sigma^{\mu}=(1,\sigma^i)$，$\sigma^i$は通常の三つのPauli行列の集合である．スカラーのポテンシャル$V(\phi)=|W'(\phi)|^2$とスカラー・フェルミオン間の相互作用には関係があり，いずれも「超ポテンシャル」と呼ばれる関数$W(\phi)$によって規定される．くりこみ可能な理論にしたい場合，この関数は高々三次でなければならない： $$ W(\phi)=\frac{1}{2}m\phi^2+\frac{1}{3}\lambda\phi^3 $$ これによりポテンシャルは四次多項式$V(\phi)=|m\phi+\lambda\phi^2|^2$となり，スカラー・フェルミオン相互作用は通常のYukawa型$\phi\psi\psi$をとる．重要なのは，関数$W(\phi)$が正則であることで，すなわち$W$は$\phi$のみに依存し，$\phi^{\dagger}$には依存しないことである．この事実は講義が進むにつれてますます重要になるが，ここではこれを事実として受け取る．

詳細な計算をしなくても，作用\eqref{1.1}には奇妙な点があることがわかる：ボソン$\phi$とフェルミオン$\psi$は同じ質量$|m|$を持つ．通常は場の量子論で質量の等しさをあまり重視しない方がよい．というのも質量は量子補正を受け，ラグランジアン中の値が等しいからといって異なる粒子の物理的質量が一致する保証はないからだ．しかし特定の作用\eqref{1.1}については，ボソンとフェルミオンの質量の等しさは量子論においても持続する．これは作用がかなり驚くべき対称性を持つためで，無限小変分は次のように与えられる： \begin{equation}\label{1.2} \delta\phi=\sqrt{2}\varepsilon\psi,\quad \delta\psi=\sqrt{2}i\sigma^{\mu}\bar{\epsilon}\partial_{\mu}\phi-\sqrt{2}\epsilon\frac{\partial W^{\dagger}}{\partial\phi^{\dagger}} \end{equation} これが我々の最初の超対称性の例である．これはボソン場$\phi$とフェルミオン場$\psi$を結びつける対称性である．$\psi$はGrassmann場であるのに対して$\phi$はそうではないので，変換をパラメータ化する無限小量$\varepsilon$もやはりGrassmann値のWeylスピノルでなければならない．

作用\eqref{1.1}を眺めただけでは，それが超対称変換\eqref{1.2}の下で不変であるとは分からない．むしろ計算を要し，その計算はやや厄介になる（この厄介さを和らげるいくつかの手法は後々示される）．

作用\eqref{1.1}は$d = 3 + 1$次元で最も単純な超対称理論である．この理論はWess-Zumino模型として知られている．このような対称性の存在は多くの疑問を引き起こす．この対称性は何に役立つのか，あるいは何にも役立たないのか．同様の対称性を示す他の理論は存在するのか，それらはどのような性質を持ちうるのか．これらの問いは稿が進むにつれて解かれていく．

もう一つ思い浮かんだかもしれない疑問がある：なぜ作用\eqref{1.1}が超対称性の下で不変であることを示すのがこれほど面倒なのか．通常，作用に対する対称性はすぐに分かるはずだ．実際，ラグランジアン法を使う主な利点の一つは，あらゆる対称性が明示されることである．典型的には，各種の添字が正しく縮約されていることを確認するだけで済む． これは作用\eqref{1.1}を超対称性が他の対称性と同様に自明になるようなより良い形で書ける可能性を示唆している．そして実際にその方法は存在する．これらの講義での最初の課題は（これはこれからの稿の多くにわたって続く任務である）超対称性とそれに対応する超対称作用の背後にある構造をより深く理解することである．