Hierarchies from Fluxes in String Compactifications

参考文献：S. B. Giddings, S. Kachru and J. Polchinski, "Hierarchies from fluxes in string compactifications", Phys. Rev. D66, 106006 (2002) [arXiv:hep-th/0105097].

大きなワープ効果を持つコンパクト化は，物理的スケールの大きな階層を自然に生成する，数少ない既知の機構の1つである．本論文では，この機構が弦理論で実現可能であることを示し，IIB弦理論の orientifold コンパクト化や，Calabi-Yau四次元多様体上のF-理論コンパクト化などの例を挙げる．いずれの場合も，スケールの階層はコンパクト多様体内のRRおよびNSフラックスの選択によって決定される．解は，閉じ込めを持つ$\mathcal{N}=1$超対称ゲージ理論へのKlebanov-Strassler重力双対のコンパクト化を含み，階層は双対ゲージ理論におけるカイラル対称性の破れの小さなスケールを反映している．

目次

1. Introduction
2. Warped compactifications: global constraints
3. Warped solutions and hierarchy
4. Examples
5. Conclusion
6. Appendix: Dimensional reduction
7. References

Introduction

小さい比 $M_{\text{weak}}/M_{\text{Planck}}$ の起源は大きな謎である．指数関数的に小さいスケール比を生み出す既知の機構はいくつかある．1つは次元転移であり，これは自然界が多くの文脈で用いている．もう1つはインスタントンのような非摂動的効果であり，これは逆結合定数で指数的に小さくなる．最近注目されている第3の可能性は，ワープした時空にある．すなわち，4次元計量の規格化が横方向の次元で位置依存的に変化する場合，ある不変なエネルギースケールが，横方向空間の位置依存の重力的赤方偏移によって，多くの4次元スケールを生み出すことができる．この機構は特にRandall-Sundrum (RS) モデル [1, 2] で重要な役割を果たしている．

このような赤方偏移による階層の生成は，いくつかの興味深い可能性をもたらす．例えば，低エネルギー，場合によってはTeVスケールでKaluza-Kleinモードの生成閾値に到達し，現象論的に興味深い結果をもたらす可能性がある．さらに，このようなシナリオでは，見かけ上低エネルギーでの散乱が，相対的な赤方偏移によって実際には基本的なPlanckスケールに到達し，見かけ上の4次元Planckスケールよりもはるかに低いエネルギーでPlanckや弦理論スケールの物理を実験的に探る可能性が生じる．例えば，比較的低いエネルギースケールでブラックホールを生成する可能性などが挙げられる [3]．

ワープした計量は弦理論では非常に自然であり，D-braneが一般的にワープのソースとなる．弦理論のコンパクト化の文脈では，特に単純な実現方法がH. Verlinde [4] によって記述されている：$N$個のD3-braneをCalabi-Yau (CY) 空間上で重ね合わせるだけでよい．AdS/CFT双対性 [5] でよく知られているように，D3-brane付近の時空は$AdS_5 \times S^5$の形になる．$AdS_5$は，Poincaré不変な4次元空間と，ワープ因子がPoincaré座標系の地平線で消失するような動径方向からなることがよく知られている．

RSモデルやVerlindeによるワープコンパクト化は大きな階層を可能にするが，その理由を説明するものではない．これらには解のモジュライ空間が存在し，階層の大きさはモジュライの関数となる．これらのモジュライは，例えば様々なブレーンの間隔に対応する．GoldbergerとWise [6] は，追加のダイナミクスによってモジュライを固定し，計算可能な大きな階層を生み出せることを示した．彼らの解析は現象論的なものであり，本論文の目的はVerlindeの枠組みでこの問題を弦理論の観点から検討することである．特に，[7]（また[8, 9]も参照）の研究で示されているように，このような階層を生成する自然な機構は，RRおよびNSフラックスがともに存在するワープコンパクト化を考えることである．

この理解の1つの方法は，braneが特異点に配置される図式から生じる．CY多様体上のD3-braneの低エネルギー物理は共形不変性と$\mathcal{N}=4$超対称性を持つ．モジュライを固定するためには，共形不変性とほとんどの超対称性を破る必要がある．まさに同じ問題がMaldacena双対性の文脈でも現れる．$AdS_5 \times S^5$上の弦理論は$\mathcal{N}=4$超対称Yang-Mills理論と双対である．閉じ込めやカイラル対称性の破れを持つゲージ理論の弦理論双対を見つけるには，対称性を減らす必要があり，超重力の文脈ではこれによってポテンシャルが生成され，いくつかのモジュライが固定され，階層が安定化される．

対称性を減らす簡単な方法は，D3-braneを横方向空間の滑らかな点ではなく，特異点に配置することである [10, 11, 12, 13]．実際，一般的なCY特異点，すなわち conifold 点 [14] に配置すると，超対称性は$\mathcal{N}=1$に減少する．ただし，これだけでは共形不変性は破れないため，conifold 特異点に局在した追加の "fractional" brane を加える必要がある [15, 16, 17]．最終的には，これらの brane はフラックスへと溶け込み，KlebanovとStrassler（KS）[7]によって最近発見された非特異な解をもたらす．したがって，conifold 上の brane と fractional brane の図式は構成の動機付けとして用いられるが，最終的な結果として，RRおよびNSフラックスを持つ弦理論背景が得られ，これが大きな階層を持つ滑らかな弦理論解につながる．

しかし，KS解は非コンパクトであり，弦理論を4次元に縮約する手段としては適していない．特に，4次元のPlanckスケールが無限大になってしまう．そのため，我々の目標は，有限な4次元Planckスケールを持ち，KS型の局所領域が大きいが有限の階層を生成するような，真の弦理論コンパクト化を見つけることである．この階層は，コンパクト多様体上のフラックスの量子化された値によって決定される（フラックスを持つコンパクト化についての他の議論は[18]を参照）．

本論文の構成は以下の通りである．第2節ではワープしたIIB解に対する大域的な制約について考察する．これらの制約は，過去にはIIB超重力のワープ解を除外するために用いられてきたが，弦理論の文脈ではO3プレーンや巻かれた D7-brane など，負のテンションを持つオブジェクトの存在を要求することになる．さらに，局所化されたソースがある種のBPS的な束縛を満たす場合，大域的な制約から一般解を導くことができる．古典的近似で議論すると，動径モジュライはゼロの宇宙定数を持つフラットな方向となる．これは，超対称性が動径モジュライに依存したスケールで一般的に破れている場合でも成立する．したがって，これらはノースケールモデル [19] である．

第3節では，コンパクト化の局所構造に焦点を当て，まずVerlinde解とその一般化について概説する．特に，コンパクト多様体上に特定のフラックスが存在し，必要なO3プレーンやD7-braneが加わることで，階層がフラックスによって固定される，大きなフラックスの極限においてコンパクトで滑らかな弦理論解が存在することを示す．ただし，前述の通り，コンパクト次元の全体的な半径は常に未固定のままである．これは弦理論コンパクト化のよく知られた特徴であり，全てのモジュライを安定化することは非常に困難であることを反映している．ただし，フラックスを持つ古典的なIIBコンパクト化では，ディラトンは一般的に安定化されることに注意すべきである[1]．実際，我々が得る有効理論は，ヘテロティック弦理論のコンパクト化で現れるものと非常に類似している [21, 22]．また，これらの解の双対であるゲージ理論的記述についても概説する．第4節では，まずCYコンパクト化の orientifold として，次により大きなフラックスと階層を許すF-理論コンパクト化として，具体的な例の構成を行う．

Warped compactifications: global constraints

まず，低エネルギーIIB超重力の近似で議論を始める．ここでは，弦理論に現れるような局所化されたソースを考慮する．純粋な超重力の場合，場の方程式を積分すると，広い条件下でワープしたコンパクト化は排除される [23, 24]．第2.1節では，局所化されたソースを含めてこの議論を再検討し，負のテンションを持つソースが存在すればワープしたコンパクト化が可能であることを示す．こうしたオブジェクトは弦理論に実際に存在する．

この制約が弱められると，一般的なワープ解を単純に記述することは困難になる．第2.2節では，局所化されたソースがそのエネルギー・運動量テンソルとD3-brane電荷に関するある種のBPS的な束縛を満たす場合，大域的な制約によって一般解が決定されることを示す．ここで考察する局所化されたソース，D3-brane，巻かれたD7-brane，O3プレーン，はいずれもこの束縛を満たしている．これらの解の様々な特性，特にモジュライに対する有効作用について議論し，最近文献で検討された解との関係についても述べる．

Action, equations of motion, and constraints

我々の出発点は有効作用である[2]： \begin{align} \nonumber S_{\text{IIB}} =& \frac{1}{2\kappa_{10}^2}\int d^{10}x \sqrt{-g_s} \bigg\{ e^{-2\phi}[\mathcal{R}_s+4(\nabla\phi)^2]-\frac{F_{(1)}^2}{2}-\frac{1}{2\cdot3!}G_{(3)}\cdot\bar{G}_{(3)}-\frac{\tilde{F}_{(5)}^2}{4\cdot 5!} \bigg\} \\ \label{eq:IIB-action} &+ \frac{1}{8i\kappa_{10}^2}\int e^{\phi}C_{(4)}\wedge G_{(3)}\wedge \bar{G}_{(3)}+S_{\text{loc}} \end{align}

ここで $g_s$ はストリング計量を表す．また，結合された3次元フラックス $G_{(3)} = F_{(3)} - \tau H_{(3)}$ を定義している．ここで，通常通り $\tau = C_{(0)} + i e^{-\phi}$ である． $$ \tilde{F}_{(5)} = F_{(5)} - \frac{1}{2}C_{(2)} \wedge H_{(3)} + \frac{1}{2}B_{(2)} \wedge F_{(3)} $$ $S_{\text{loc}}$ は，後ほど重要となるブレーンなどの局所化されたオブジェクトの作用である．$\tilde{F}_{(5)} = *\tilde{F}_{(5)}$ という条件は，通常通り運動方程式に手動で課す必要がある．

我々はF理論から生じるコンパクト化を考察するため，作用 \eqref{eq:IIB-action} を$SL(2,\mathbb{Z})$不変な形に書き換えるのが有用である．具体的には，Einstein計量 $g_{MN} = e^{-\phi/2}g_{sMN}$ を定義すると，作用は次のようになる： \begin{align*} S_{\text{IIB}} =& \frac{1}{2\kappa_{10}^2}\int d^{10}x \sqrt{-g}\bigg\{ \mathcal{R}-\frac{\partial_M\tau\partial^M\bar{\tau}}{2(\mathrm{Im}\,\tau)^2}-\frac{G_{(3)}\cdot\bar{G}_{(3)}}{12\mathrm{Im}\,\tau}-\frac{\tilde{F}_{(5)}^2}{4\cdot 5!} \bigg\} \\ &+ \frac{1}{8i\kappa_{10}^2}\int \frac{C_{(4)}\wedge G_{(3)}\wedge \bar{G}_{(3)}}{\mathrm{Im}\,\tau}+S_{\text{loc}} \end{align*} 以降，全てEinstein計量を用いる．$SL(2,\mathbb{Z})$変換 $$ \tau \to \frac{a\tau +b}{c\tau+d} $$ および $$ G_{(3)} \to \frac{G_{(3)}}{c\tau+d} $$ に対する不変性は容易に確認できる．

我々の関心は，4次元Poincaré対称性を保つワープ計量にあり，便利なパラメータ化として $$ ds_{10}^2 = e^{2A(y)}\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} + e^{-2A(y)}\tilde{g}_{mn}dy^m dy^n $$ ここで，$x^\mu$は4次元座標，$y^m$はコンパクト多様体$M_6$上の座標である．アクシオン／ディラトンはコンパクト多様体上で変化することを許す： $$ \tau = \tau(y) $$ また，D7-braneを考慮するため，上式のようなモノドロミーも許容する．Poincaré不変性を保つため，$G_{(3)}$のコンパクト成分のみが存在し，さらにモノドロミーにより，これらは$M_6$上の非自明なバンドルとして変換する： $$ G_{(3)} \in \sigma(\Omega^3 \otimes \mathcal{L}) $$ ここで$\Omega^3$は正則3-形式のバンドル，$\mathcal{L}$は上の変換則で定義される線バンドルである．最後に，Poincaré不変性とBianchi恒等式により，5-形式フラックスは次の形を取る： $$ \tilde{F}_{(5)} = (1+*)[d\alpha \wedge dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3] $$ ここで$\alpha$はコンパクト空間上の関数である．また，Poincaré不変性に従い，非コンパクト方向に沿ったD3-braneや，非コンパクト方向を満たし$M_6$の4次元サイクルを巻くD7-braneも許容する．

Einstein方程式（トレース反転形）は次の通り： $$ \mathcal{R}_{MN}=\kappa_{10}^2\left( T_{MN}-\frac{1}{8}g_{MN}T \right) $$ ここで $T_{MN} = T^{\text{sugra}}_{MN} + T^{\text{loc}}_{MN}$ は超重力場と局所化オブジェクトの全応力テンソルである．特に後者の寄与は $$ T_{MN}^{\text{loc}}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\text{loc}}}{\delta g^{MN}} $$ 非コンパクト成分は次の形になる： $$ \mathcal{R}_{\mu\nu}=-g_{\mu\nu}\left( \frac{G_{mnp}\bar{G}^{mnp}}{48\mathrm{Im}\,\tau}+\frac{e^{-8A}}{4}\partial_m\alpha\partial_m\alpha \right)+\kappa_{10}^2\left( T_{\mu\nu}^{\text{loc}}-\frac{1}{8}g_{\mu\nu}T^{\text{loc}} \right) $$ 計量アンザッツからRicci成分を計算すると $$ \mathcal{R}_{\mu\nu}=-\eta_{\mu\nu}e^{4A}\tilde{\nabla}^2A=-\frac{1}{4}\eta_{\mu\nu}(\tilde{\nabla}^2e^{4A}-e^{-4A}\partial_m e^{4A}\partial^{\bar{m}}e^{4A}) $$ （チルダは $\tilde{g}_{mn}$ を用いることを示す．）これを用いて上式をトレースすると $$ \tilde{\nabla}^2A=e^{-2A}\frac{G_{mnp}\bar{G}^{mnp}}{48\mathrm{Im}\,\tau}+\frac{e^{-6A}}{4}\partial_m\alpha\partial^m\alpha+\frac{\kappa_{10}^2}{8}e^{-2A}(T_m^m-T_{\mu}^{\mu})^{\text{loc}} $$ または $$ \tilde{\nabla}^2e^{4A}=e^{2A}\frac{G_{mnp}\bar{G}^{mnp}}{12\mathrm{Im}\,\tau}+e^{-6A}[\partial_m\alpha\partial^m\alpha+\partial_me^{4A}\partial^me^{4A}]+\frac{\kappa_{10}^2}{2}e^{2A}(T_m^m-T_{\mu}^{\mu})^{\text{loc}} $$

これらの方程式は，ワープした解を持つコンパクト多様体上で許されるフラックスやブレーン構成に対して厳しい制約を与える[3]．これを理解するために，左辺をコンパクト多様体 $\mathcal{M}_6$ 上で積分するとゼロになる一方，右辺のフラックス項やワープ項は正定値であることに注目する．したがって，局所化されたソースが存在しない場合，ノーゴー定理 [23, 24] が成立し，フラックスは消失しワープ因子は定数となる．ワープした解を得るためには，右辺のストレス項が負でなければならず，これは特定の状況下でのみ可能となる．

例えば，p-braneが多様体$\mathcal{M}_6$の$(p-3)$次元サイクル$\Sigma$を巻いている場合を考える．$\alpha'$の最低次（かつbrane上のフラックスが消えている場合）では，このbraneは以下のようなソース作用を与える： $$ S_{\text{loc}} = -\int_{R^4 \times \Sigma} d^{p+1}\xi\, T_p \sqrt{-g} + \mu_p \int_{R^4 \times \Sigma} C_{p+1} $$ 正のテンションを持つオブジェクトの場合，Einsteinフレームでのテンションは $$ T_p = |\mu_p| e^{(p-3)\phi/4} $$ 上の式から応力テンソルは $$ T_{\mu\nu}^{\text{loc}} = -T_p e^{2A} \eta_{\mu\nu} \delta(\Sigma),\quad T_{mn}^{\text{loc}} = -T_p \Pi_{mn}^{\Sigma} \delta(\Sigma) $$ ここで$\delta(\Sigma)$はサイクル$\Sigma$上のデルタ関数，$\Pi_{mn}^{\Sigma}$はその射影を表す． これより $$ (T_m^m - T_{\mu}^{\mu})^{\text{loc}} = (7-p) T_p \delta(\Sigma) $$ 上式から，$p< 7$の場合，制約式の右辺に必要な負の応力を得るには，コンパクト化に負のテンションを持つオブジェクトが含まれていなければならないことが分かる．

弦理論にはこのようなオブジェクトが存在するため，[23, 24]のノーゴー定理を回避できる．O3プレーンはその簡単な例である．$T^6/\mathbb{Z}_2$オリエンティフォールドは，タイプI理論とT双対であり，16個のD3ブレーンと64個のO3プレーンを持つコンパクトなMinkowski解である[25]．これはO3プレーンのテンションが $-1/4 T_3$ であることを意味する．このオリエンティフォールドは，ワープした弦理論解の例として参考文献[4]で議論されている．

F理論コンパクト化は，D7ブレーンやディラトンの勾配，RR 1-形式フラックスを持つにもかかわらず，負のテンションなしで制約式を満たすことに注意されたい．これは，ディラトンの勾配に関する項がこの制約に寄与せず，D7ブレーンの応力テンソルの寄与も上式により消失するためである．

正確には，これは$\alpha'$の最低次においてのみ成立する．D7作用$S_{\text{loc}}$の$\alpha'$補正も含める必要がある（この展開については後述する）．Chern-Simons作用の補正は[26] $$ -\mu_3\int_{R^4\times\Sigma}C_{(4)}\wedge\frac{p_1(\mathcal{R})}{48}=\frac{\mu_7}{96}(2\pi\alpha')\int_{R^4\times\Sigma}C_{(4)}\wedge\mathrm{Tr}(\mathcal{R}\wedge\mathcal{R}) $$ このChern-Simons結合は，巻かれたD7-brane上に誘導されるD3電荷を記述する．DBI作用の補正は[27] $$ -\frac{\mu_7}{96}(2\pi\alpha')^2\int_{R^4\times\Sigma}d^4x \sqrt{-g}\mathrm{Tr}(\mathcal{R}_{(2)}\wedge *\mathcal{R}_{(2)}) $$ この項は，巻かれたD7-braneのテンションに対する$\alpha'$の最初の補正を与える[4]．Chern-Simons結合の効果として，例えばD7-braneがK3上を巻くと$-1$単位のD3電荷を持つことになる[26]．この状態は依然としてBPSであり，D3-braneと同じ超対称性を持つため，DBI結合はテンションに$-T_3$を寄与しなければならない．F理論では，このバックグラウンド電荷は対応する四次元多様体のEuler数で与えられる： $$ Q_3^{D7}=-\frac{\chi(X)}{24} $$ そして$\mathcal{N}=1$超対称性は，対応するテンション$Q_3^{\text{loc}}T_3$を要求する．これは，楕円ファイバー空間$X$のベース上の4次元サイクルを巻く全ての7-braneの寄与を合計したものと考えられる．このテンションを上述の議論に沿って直接導出するには，$X$のベース（非CY）上の除数を巻くbraneに適用できる(2.21)の一般化を用いる必要がある．結果は構成の超対称性によって保証されており，直接計算は本論文の範囲を超える．

これまで，積分されたEinstein方程式からの制約について議論してきた．5-形式フラックスのBianchi恒等式/運動方程式は[5] $$ d\tilde{F}_{(5)}=H_{(3)}\wedge F_{(3)}+2\kappa_{10}^2T_3\rho_{3}^{\text{loc}} $$ ここで $\rho_{3}^{\text{loc}}$ は局所化されたソースによるD3電荷密度形式であり，D7-braneやO3プレーン，さらに存在する可能性のある可動D3-braneの寄与も含む[6]． 積分されたBianchi恒等式は $$ \frac{1}{2\kappa_{10}^2T_3}\int_{\mathcal{M}_6}H_{(3)}\wedge F_{(3)}+Q_3^{\text{loc}}=0 $$ これは，超重力バックグラウンドと局所化されたソースからの全D3電荷が打ち消し合うことを意味する．次の節では，この制約式についてさらに解析する．

最後に，$\alpha'$展開の性質について議論する．Bianchi恒等式に現れる局所化されたソースは，特徴的なD3電荷$N$に対して$N\alpha'^2$の次数である．$N$をパラメトリックに大きくすることはできない．なぜなら，Bianchi恒等式への負の寄与は多様体のトポロジーによって決まるからである．しかし，式のEuler数は具体例によってかなり大きくなり得るため，参考文献[4]と同様に$N$を有効な大きなパラメータとして扱う．このとき，$N\alpha'^2$を次数1とみなし，超重力作用への弦補正など$\alpha'$次数の効果は無視する．このため，D7-brane作用の曲率項を保持する必要があった．Bianchi恒等式から$G_{(3)} = O(N^{1/2}\alpha')$が導かれる．$\alpha'$の因子は次の量子化条件と整合的である： $$ \frac{1}{2\pi\alpha'}\int F_{(3)}\in 2\pi\mathbb{Z},\quad \frac{1}{2\pi\alpha'}\int H_{(3)}\in 2\pi\mathbb{Z} $$ したがって，3-形式フラックスの単位数は$N^{1/2}$に比例してスケールする．

Special solutions

A BPS-like condition

一般的な負のテンションを持つソースが存在する場合，積分された場の方程式からの制約は比較的弱いように見える．しかし，特殊な場合として，全ての局所化されたソースについて $$ \frac{1}{4}(T_m^m-T_{\mu}^{\mu})^{\text{loc}} \geq T_3\rho_3^{\text{loc}} $$ が成り立つとき，大域的な制約によって解の形が完全に決定される．

実際，この不等式は本論文で考察する全ての局所化されたソースに対して成り立つ．D3ブレーンとO3プレーンの場合，積分された $\rho_3$ はそれぞれ +1 と $-1/4$ であり，応力テンソルは $$ T_0^0=T_1^1=T_2^2=T_3^3=-T_3\rho_3,\quad T_m^m=0 $$ となるため，不等式は実際に等号で満たされる．反D3ブレーン（anti-D3-brane）は不等式を満たすが，等号にはならない．縮退したサイクル上を巻くD5ブレーンも不等式を満たす．これらのテンションは全て誘導されるD3電荷によるものである．

D7ブレーンの場合，不等式の両辺に対する非消失の寄与は，曲率項から生じる．単純な例として，D7ブレーンがK3上を巻く場合，$*\mathcal{R}(2) = \mathcal{R}(2)$ という性質により，不等式はちょうど等号で満たされる．非自明なゲージバンドルを導入した場合でも，$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \geq F^{\mu\nu}(*F)_{\mu\nu}$ という関係から，不等式は依然として成立する．F理論で現れるより一般的な巻き方についても，以下でこの不等式が等号で満たされることを示す．

この不等式を破るオブジェクトも存在する．O5プレーンは左辺に負の寄与をし，右辺には寄与しない．反O3プレーン（anti-O3 plane）は左辺に負の寄与をし，右辺には正の寄与をする．

不等式は BPS 条件に類似している．実際，基礎となる IIB 超対称性代数は $$ H \geq T_3Q_3 $$ を意味する．これが局所的に成立するなら，古典的には自然なことであり，Lorentz不変性を適用すると $-T_0^0 = -T_1^1 = -T_2^2 = -T_3^3 \geq T_3 Q_3$ となる．不等式が飽和される場合，no-force 条件の類推から圧力 $T_m^m$ は消失すべきである．極値から離れると，$T_m^m - T_\mu^\mu$ は一般に増加し，弱エネルギー条件の類推であり，したがって不等式が導かれる．この境界を満たさない O プレーンは，必要な超電荷が存在しないため回避できる．それらはオリエンティフォールドによって射影されている．F理論コンパクト化で現れる D7 ブレーンは，D3 ブレーンと同じ $\mathcal{N}=1$ 超対称性を保存するため，この境界を飽和する．

Solution of the constraints

ポテンシャル $\alpha$ を用いると，Bianchi恒等式は次のようになる： $$ \tilde{\nabla}^2\alpha=ie^{2A}\frac{G_{mnp}(*_6\bar{G}^{mnp})}{12\mathrm{Im}\,\tau}+2e^{-6A}\partial_m\alpha\partial^me^{4A}+2\kappa_{10}^2e^{2A}T_3\rho_3^{\text{loc}} $$ ここで $*_6$ は横方向の双対を表す．これをEinstein方程式の制約から引くと， $$ \tilde{\nabla}^2(e^{4A}-\alpha)=\frac{e^{2A}}{6\mathrm{Im}\,\tau}|iG_{(3)}-*_6G_{(3)}|^2+e^{-6A}|\partial(e^{4A}-\alpha)|^2+2\kappa_{10}^2e^{2A}\left[ \frac{1}{4}(T_m^m-T_{\mu}^{\mu})^{\text{loc}}-T_3\rho_3^{\text{loc}} \right] $$ 左辺は積分するとゼロになる．仮定の下では右辺は非負となる． したがって，不等式が成立する場合，

• 3-形式フラックスは虚自己双対となる： $$ *_6G_{(3)}=iG_{(3)} $$
• ワープ因子と4-形式ポテンシャルは関係する： $$ e^{4A}=\alpha $$
• 不等式は実際に飽和される．

この形式を仮定すると，場の方程式とBianchi恒等式の全体を確認しよう．5-形式フラックスは構成上自己双対である．その場の方程式/Bianchi恒等式は矛盾なく，全D3電荷が打ち消し合う場合に $\alpha$ と $A$ を決定する．3-形式のBianchi恒等式 $$ dF_{(3)}=dH_{(3)}=0 $$ を課す必要がある．これを用いると，運動方程式は次の形になる： $$ d\Lambda+\frac{i}{\mathrm{Im}\,\tau}d\tau\wedge\mathrm{Re}\,\Lambda=0,\quad \Lambda=e^{4A}*_6G_{(3)}-i\alpha G_{(3)} $$ これは，式の結果として満たされる．$\mathcal{R}_{\mu\nu}$ の方程式もこれらの条件から導かれる．最後に，残りの場の方程式は次のように簡約される： \begin{align} \tilde{\mathcal{R}}_{mn} =& \kappa_{10}^2\frac{\partial_m\tau\partial_{\bar{n}}\bar{\tau}+\partial_n\tau\partial_m\bar{\tau}}{4(\mathrm{Im}\,\tau)^2}+\kappa_{10}^2\bigg( \tilde{T}_{mn}^{D7}-\frac{1}{8}\tilde{g}_{mn}\tilde{T}^{D7} \bigg) \\ \tilde{\nabla}^2\tau =& \frac{\tilde{\nabla}\tau\cdot\tilde{\nabla}\tau}{i\mathrm{Im}\,\tau}-\frac{4\kappa_{10}^2(\mathrm{Im}\,\tau)^2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\tilde{S}_{D7}}{\delta\bar{\tau}} \end{align} これらが，超重力近似におけるF理論の解を決定する方程式である．

要約すると，局所化されたソースが上式を満たすと仮定した場合，解のための必要十分条件は，上式を満たす基礎となる多様体$\tilde{\mathcal{M}}_6 \equiv (\tilde{g}_{mn}, \tau)$，虚自己双対となる$G_{(3)}$を持つ閉じた3-形式フラックス$F_{(3)}$と$H_{(3)}$，そして全D3電荷が消失することである．

Supersymmetry, and relation to previous solutions

このような解が$\mathcal{N}=1$超対称性を持つための条件は，定数ディラトンの場合は参考文献[29, 30]，より一般的には参考文献[31]で最近検討されている．基礎となる多様体はKählerでなければならず，接続$\tilde{D}_m - \frac{i}{2}Q_m$は$SU(3)$内にある必要がある．ここで$Q_m$は[32]のように$\tau$から構成される．フラックス$G_{(3)}$は(2,1)型かつプリミティブ（Kähler形式$J^{\bar{i}j}$との縮約が消失する）でなければならない．条件$*_6G_{(3)}=iG_{(3)}$は，プリミティブな(2,1)成分と(0,3)成分を許す[7]．したがって，我々の一般解が超対称的となるのは，(0,3)成分が消失する場合のみである．

一般に，超対称的解と非超対称的解の両方が可能であり，後者の方がより一般的である．例えば $T^6/\mathbb{Z}_2$ オリエンティフォールドを考えてみよう．これは G-フラックスがない場合には $\mathcal{N}=4$ 超対称性を持つという点でやや特殊だが，説明のために用いる．3つの複素座標で表すと，プリミティブなフラックス $\bar{G}_{\bar{1}23}, G_{1\bar{2}3}, G_{12\bar{3}}$ を量子化条件に従ってオンにすることができる（これらは $\tau$ やいくつかのKähler・モジュライを固定する），その結果 $\mathcal{N}=1$ 超対称性が残る．さらに $\bar{G}_{1\bar{2}\bar{3}}$ フラックスが非ゼロの場合，すべての超対称性が破れる．

この形式の非コンパクトな解は，定数ディラトンの場合の特別なケースとして参考文献[29]で以前に記述されている．超対称的な解は，参考文献[8, 33]にあるM理論の解（参考文献[34]）の双対である．参考文献[31]で強調されているように，これらの解は特殊であり，$\mathcal{N}=1$超対称性がIIB超対称性の全体$\mathcal{N}=8$の部分群$\mathcal{N}=4$内に存在するという点で特徴的である．IIB理論では，これは空間充填型D3ブレーンによって保存される部分群であり，M理論では空間充填型M2ブレーンによって保存される部分群である．F理論のCalabi-Yau四次元多様体上のコンパクト化は，D3ブレーンの存在下で$\mathcal{N}=1$超対称性を保存し（実際，参考文献[34]のM理論解の極限である），したがってこれらはこの特殊な形式の解であると推測できる．ただし，巻かれた7ブレーンに対する（完全に一般化された形の）の寄与を計算して明示的に比較することでこれを示したわけではない．

Moduli and effective actions

必要十分条件はすべて，$\tilde{g}_{mn} \to \lambda^2 \tilde{g}_{mn}$ のスケーリングに対して不変である．したがって，

• すべての特殊解は動径モジュライを持つ．

この点は少し微妙である．なぜなら，解自体は単純にスケールしないからである．上の式の場の方程式では，$A$の微分項は半径$\lambda$に対して$\lambda^{-2}$でスケールし，フラックスのソース項は$\lambda^{-6}$でスケールする．したがって，大きな半径では$e^{4A} = 1 + O(\lambda^{-4})$となり，ワープ因子は定数に近づく．半径が$O(N^{1/4}\alpha'^{1/2})$より小さい場合，ワープ効果が顕著になる．

非超対称的解の特徴，4次元宇宙定数が消失し，超対称性がないにもかかわらず動径モジュライが存在する，は，これらがノースケールモデルであることを示している[19, 21, 22]．超対称性の破れと宇宙定数の消失が組み合わさることは興味深いが，インスタントンや摂動的ループなどの量子補正によってこの性質が維持される理由は知られていない．弦理論のツリー準位ですら，超重力場の方程式への$\alpha'$補正によってノースケール構造はおそらく崩れてしまう．

有効な4次元作用についても考察しよう．フラックスを導入する前は，Kählerモジュライと複素構造モジュライに対応する質量のない場が存在する．ここでは複素構造モジュライを $z^\alpha$ と表す．さらに，オリエンティフォールドモデルではディラトン場 $\phi$ は質量がなく，一般のF理論モデルでは上式により複素構造モジュライの関数として固定される．ここでは単一のKählerモジュライ，すなわち動径モジュライのみを考え，これを4次元超場 $\rho$ で表す．

大きな半径のCYやオリエンティフォールドの場合，Kählerポテンシャルは10次元作用を次元縮約することで得られる[8]．半径については $$ \mathcal{K}(\rho)=-3\ln[-i(\rho-\bar{\rho})] $$ ディラトンと複素構造モジュライについては $$ \mathcal{K}(\tau,z^{\alpha})=-\ln[-i(\tau-\bar{\tau})]-\ln\left( -i\int_{\mathcal{M}}\Omega\wedge\Omega \right) $$ ここで$\Omega$は正則な(3,0)形式である．後者の式はWeil-Petersson計量から導かれ，[35]で議論されている．F理論への明白な一般化の予想は $$ \mathcal{K}=-\ln\left( \int_X \Omega_4\wedge\bar{\Omega}_4 \right) $$ ここで$X$と$\Omega_4$はそれぞれCY四次元多様体とその正則な(4,0)形式を表す．

フラックスは超ポテンシャルを生成し，その形は参考文献[8]のようになる： $$ W=\int_{\mathcal{M}}\Omega\wedge G_{(3)} $$ これはディラトンには依存しない．この式のF理論への一般化は，参考文献[8]のように $$ W=\int_X\Omega_4\wedge G_{(4)} $$ となる．ここで上式の$G_{(4)}$は，F理論を円で縮約したときにM理論で得られる4-形式フラックスを表す．F理論リミットでは，タイプIIBの量で表すことができる．例えば，conifold点付近で楕円ファイバーの局所的な自明化を用い，ファイバー座標$w$を取ると，4-形式$G_{(4)}$は $$ G_{(4)}=-\frac{G_{(3)}d\bar{w}}{\tau-\bar{\tau}}+\text{h.c.} $$ という形になる．このような自明化の利用に関する問題については第4節でさらに議論する．

この条件下では，$\mathcal{N}=1$超重力ポテンシャルは簡単な形になる[19]： \begin{align} \mathcal{V} =& \frac{1}{2\kappa_{10}^2}e^{\mathcal{K}}(G^{a\bar{b}}D_aW\overline{D_bW}-3|W|^2) \\ \to& \frac{1}{2\kappa_{10}^2}e^{\mathcal{K}}(G^{i\bar{j}}D_iW\overline{D_jW}) \end{align} ここで $D_aW = \partial_a W + W \partial_a \mathcal{K}$，$G^{a\bar{b}} = \partial_a \partial_{\bar{b}} \mathcal{K}$ であり，添字 $a, b$ は超場全体，$i, j$ は $\rho$ を除く添字を表す．ノースケールモデルでは $|D_\rho W|^2$ の項が負の項を打ち消し，ポテンシャルは非負となる．$D_aW = 0$ のときポテンシャルは消失し，この条件は $\rho$ に依存しないため，$\rho$ 以外に $n$ 個の超場があれば，$n$ 個の方程式が $n$ 個のモジュライに課され，$\rho$ は未定となる．一般にはこの解で $W \neq 0$ となり，$D_\rho W = -3W/(\rho - \bar{\rho})$ はゼロではなく，超対称性は破れる．

これらの式について有用な検証方法は，4次元と10次元の方程式を比較することである．CY/オリエンティフォールドの場合，容易に（付録参照） \begin{align} 0 =& D_{\alpha}W \equiv \partial_{\alpha}W+(\partial_{\alpha}\mathcal{K})W = \int_{\mathcal{M}}G_{(3)}\wedge\chi_{\alpha} \\ 0 =& D_{\tau}W \equiv \partial_{\tau}W+(\partial_{\tau}\mathcal{K})W = \frac{1}{\bar{\tau}-\tau}\int_{\mathcal{M}}\bar{G}_{(3)}\wedge\Omega \end{align} ここで $\chi_{\alpha}$ は $\mathcal{M}$ 上の (2,1) 型形式の基底である．これらの方程式は，$G_{(3)}$ が虚自己双対であることを意味し，10次元の条件と対応している．F理論の場合，$X$ 上の (3,1) 型形式の基底 $\chi_A$ を定義すると，上式の一般化は $$ 0 = D_AW = \int_{X}G_{(4)}\wedge\chi_A $$

これまでの議論では，Kählerモジュライが1つ（$\rho$）の場合に焦点を当ててきたが，一般のモデルでは複数のKählerモジュライ$\rho_i$を持つ場合もある．この場合の修正は非常に単純である．超ポテンシャルは全ての$\rho_i$に依存しない．そのため，Kähler変形に対するKähler計量は，先ほどの簡約の類似形を与え，ギリシャ文字の添字は$\rho_i$以外のモジュライに対して和を取ることになる．このことは10次元の観点からも分かる．上式（4次元ポテンシャルとの対応を先ほど示した）はKählerモジュライに依存しない．したがって，ノースケール構造は維持され，各Kählerモジュライはこの次数ではフラットな方向として残る．単一のKählerモジュライ$\rho$のみを持つモデルを見つけるのは難しくないため，以降はこの場合のみを考えることにする．

付録では，次元縮約による4次元作用の導出と，4次元と10次元の記述の対応についてさらに議論する．

Warped solutions and hierarchy

前節では，ワープ因子が非自明なIIBコンパクト化の様々な大域的特徴について議論した．ここでは，ワープ領域の局所構造に焦点を当てる．

まず，Verlinde [4] の解，すなわちコンパクト多様体上の D3 ブレーンについて復習する．$N$ 個の D3 ブレーンが重なっている場合，その近傍のワープ因子は $$ e^{-4A} \approx \frac{4\pi g_sN}{\tilde{r}^4} $$ となり，$\tilde{r}$ は $\tilde{g}_{mn}$ 計量での D3 ブレーンからの距離である．D3 ブレーン付近の幾何学は $AdS_5 \times S^5$ となり，大きなワープ因子が生じる [4]．より大きな $\tilde{r}$ では，$\mathcal{M}_6$ の曲率のために積構造が崩れ，最終的には $\tilde{r}$ が良い座標でなくなる [36]．$\mathcal{M}_6$ はグローバルには 5 次元球面と 1 次元空間の積ではない．この点は RS2 モデル [2] と類似しているが，こちらは正真正銘のコンパクト化であり，コンパクト多様体が [2] のいわゆる「プランク・ブレーン」とほぼ同じ役割を果たし，有限な 4 次元プランクスケールをもたらす．ワープ因子はもちろん $\tilde{r} \to 0$ で発散するが，これは空間的に無限遠である．

このようなモデルがオリエンティフォールド上で実現される場合，ディラトンは定数となり $e^{\phi} = g_s$ となるが，より一般的なF理論コンパクト化の文脈では，上式または同等な8次元構成によって決定されるように，ディラトンは正則的に変化する．後の節で議論するように，D3ブレーン近傍の物理は本質的に同じであり，$g_s$ の有効値はD3ブレーン上でのディラトンの値によって決定される．

大きく有限な階層を得るには，1つ以上のD3ブレーンが他のブレーンから小さな距離 $\tilde{r}$ だけ分離されている必要がある．これらのブレーンは標準模型の場が存在するブレーンかもしれないし，標準模型にバルクを通じて結合する何らかの対称性の破れに関連しているかもしれない．しかし，D3ブレーンの座標にはポテンシャルが存在しない．したがって，現在のモデルでは $\tilde{r}$ を固定するものがなく，階層の大きさも決まらない．

大きく安定した階層を生み出すワープ解を得るために，ここでフラックスを導入する．この動機はKlebanov-Strassler [7] の研究に由来する．基本的なアイデアは，conifold点近傍の局所領域で，KSがフラックスを持つ解を発見し，それによって大きな相対的ワープ効果を持つ滑らかな超重力解が得られるというものである．ここではこの結果をコンパクトな状況に拡張する．

一般に，CY多様体は特異点を持たないが，パラメータの特定の値で特異点が現れることがある．最も一般的な特異空間はコニフォールド（conifold）である[14]．局所的には，これは次のように$\mathbb{C}^4$の部分多様体として記述できる： $$ w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 + w_4^2 = 0 $$ この部分多様体は $(w_1, w_2, w_3, w_4) = 0$ で特異となる．この空間の幾何学，特にそのCalabi-Yau計量については参考文献[14]で説明されている．重要なのは，これは「良い特異点」であり，弦理論がこのような空間でも意味を持つということである[37]．我々が用いるコンパクト化空間 $\mathcal{M}_6$ は，非自明な楕円ファイバーのベースであるか，Calabi-Yauのオリエンティフォールドであるが，上式のような特異点の局所構造はこれらの大域的な詳細に影響されない．そのため，以下の議論ではCY特異点の局所的な性質を利用できる．

コニフォールド特異点は，底面が $S^3 \times S^2$ の位相を持つ円錐としてみなすことができる．特異点では，$S^3$ と $S^2$ の両方がゼロサイズに縮退する．コニフォールドは，2通りの方法で非特異なCalabi-Yau多様体へと滑らかにすることができる．1つは「小解消」（small resolution）であり，この場合 $S^2$ が有限サイズに膨らむ．もう1つは「変形コニフォールド」（deformed conifold）であり，$S^3$ が有限サイズに膨らむ．本論文で重要なのは後者である．変形コニフォールドは，次の部分多様体として簡単に記述できる： $$ w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 + w_4^2 = z $$ ここで複素パラメータ $z$ は $S^3$ のサイズを制御するモジュライである．

ここでこの幾何学にフラックスを加え，モジュライに対するポテンシャルを導出する．コンパクト多様体で，モジュライ $z$，$\tau$，$\rho$ を持つ場合を考える（この節の最後で，追加の複素構造モジュライ $u_i$ をどのように組み込めるか説明するが，結果は本質的に変わらない）[9]．ディラック量子化則により，これらのフラックスはCYの全ての3サイクル上で積分すると整数となる．コニフォールド近傍では，2つの重要なサイクルがある．上式を調べ，簡単のため $z$ を実数かつ正とすると，$z \to 0$ で消失する3サイクル（$A$と呼ぶ）は，全ての $w_i$ が実数となる $S^3$ とみなせる．一般のコンパクトな例では，$A$と1回だけ交差する双対の$B$サイクルも存在する．この非コンパクトな場合の例としては，$w_1, w_2, w_3$ を虚数，$w_4$ を実数かつ正とすることで構成できる．KS解は，$A$サイクル上に$M$単位の$F_{(3)}$がある場合に対応する．KSの場の方程式では，$H_{(3)}$は$F_{(3)}$の双対サイクル上に存在する必要があるので，$B$サイクル上に$-K$単位あるとする： \begin{align} \frac{1}{2\pi\alpha'}\int_A F_{(3)} =& 2\pi M \\ \frac{1}{2\pi\alpha'}\int_B H_{(3)} =& -2\pi K \end{align} これは，前の式のようにD3電荷保存則を要求することでも理解できる： $$ \frac{1}{2\kappa_{10}^2T_3}\int_{\mathcal{M}}H_{(3)}\wedge F_{(3)}=MK $$ よって，Poincaré双対の意味で $$ F_{(3)}=(2\pi)^2\alpha'M|B|,\quad H_{(3)}=(2\pi)^2\alpha'K|A| $$ となる．これにより $$ W=\int_{\mathcal{M}}G_{(3)}\wedge\Omega=(2\pi)^2\alpha'\left( M\int_B\Omega-K\tau\int_A\Omega \right) $$

ここに現れる積分は，コニフォールドの複素構造を定義する周期である．特に，縮退する$A$サイクルの複素座標は $$ z = \int_A\Omega $$ で定義される．双対サイクル上では $$ \int_B\Omega \equiv \mathcal{G}(z) = \frac{z}{2\pi i}\ln{z} + \text{holomorphic} $$ という標準的な結果がある．したがって，超ポテンシャルは $$ W = (2\pi)^2\alpha'(M\mathcal{G}(z)-K\tau z) $$ となる．このような超ポテンシャルはVafa [9] によって以前に得られている．

まず $D_zW$ 条件を考えよう． $$ 0 = D_zW \propto M\partial_z\mathcal{G}-K\tau+\partial_z\mathcal{K}(M\mathcal{G}-K\tau z) $$ 大きな階層を得るためには $K/g_s$ を大きく取る．この場合，$z$ は指数関数的に小さくなる．このことは後で述べる双対ゲージ理論の観点でも簡単に解釈できる．この領域では，$D_zW$ の主要な項は $$ D_zW \propto \frac{M}{2\pi i}\ln{z}-i\frac{K}{g_s}+O(1) $$ したがって $K/Mg_s \gg 1$ のとき，$z$ は確かに指数関数的に小さくなり， $$ z \sim \exp(-2\pi K/Mg_s) $$ 例えば $M=1$ かつ $K/g_s$ が 5 程度であれば，大きな階層が得られる．

現状では，$D_{\tau}$方程式 $$ 0 = D_{\tau}W \propto \frac{1}{\bar{\tau}-\tau}(-Kz\bar{\tau}+M\mathcal{G}) $$ は満たされない．括弧内の最初の項は指数関数的に小さいが，2番目の項は上式の正則部分が一般に消えないため，$\mathcal{G}(0) = O(1)$となり小さくならない．この性質はコンパクトな場合特有である．KSで興味のある非コンパクトな場合では，バルクモジュライ$\tau$は固定されており，対応する$D_{\tau}W$方程式を課す必要はない．

問題は，$z = 0$ では超ポテンシャルが $\tau$ に依存しないために生じる．これを解決するには，追加の $\tau$ 依存性を持つ構成を考える必要がある．$\tau$ 依存性を導入すると，一般に $z \approx 0$ で上式の解を見つけることができるが，この最小値が弱結合領域にあることを保証するためにはさらなる構造が必要となる場合がある．例として，追加のフラックスをオンにすることで $\tau$ を安定化できる．簡単のため，複素構造モジュライ $z$ が1つの場合を考えると，3サイクルは $2 + 2b_{2,1} = 4$ 個あり，$(A, B)$ のペアと追加の $(A', B')$ のペアがある．$B'$ サイクル上に $-K'$ 単位の $H_{(3)}$ をオンにすると， $$ W = (2\pi)^2\alpha'[M\mathcal{G}(z)-\tau(Kz+K'z')] $$ となる．ここで $z'$ は $z$ の関数であり，$z = 0$ でも一般に消えず，$z'(z) = O(1)$ である．$z = 0$ と固定すると，$D_{\tau}W$ 方程式は $$ 0 = D_{\tau}W \propto \frac{1}{\bar{\tau}-\tau}[-K'z'(0)\bar{\tau}+M\mathcal{G}(0)] $$ となり，ディラトンは $$ \bar{\tau}=\frac{M\mathcal{G}(0)}{K'z'(0)} $$ で固定される．階層は $$ z \sim \exp\left( \frac{2\pi K}{K'}\mathrm{Im}[\mathcal{G}(0)/z'(0)] \right) $$ となる．したがって，$K$, $K'$, $M$ の値を適切に選ぶことで，ディラトンが興味深い値で固定され，指数関数的な階層を得ることができる．

階層は整数フラックスとCalabi-Yau幾何によって決定される．実際のワープ因子を得るには微分方程式を解く必要があるが，次のように見積もることができる．D3ブレーンのワープ因子は $e^{4A} \sim \tilde{r}^4$ である．コニフォールドの解消により $w_i^2 \sim z$ でカットオフされる．参考文献[14]によれば，コニック座標 $\tilde{r}$（その論文の記法では $\psi$）は $\tilde{r} \propto w^{2/3} \propto z^{1/3}$ となるので，エネルギースケールの階層は $$ e^{A_{\text{min}}} \sim z^{1/3} \sim \exp(-2\pi K/3Mg_s) $$ となる．実質的に，フラックスによってRS1[1]に類似したモデルが生成され，ワープ因子はゼロにはならず小さな正の値に落ち着く[10]．

上式で得られる大きな階層は，双対ゲージ理論の観点から簡単に解釈できる．KS解は，動的に生成されたスケールで閉じ込めとカイラル対称性の破れを持つ非共形 $\mathcal{N}=1$ ゲージ理論の超重力双対である [7]．Verlindeモデル [4] の精神に従えば，我々の超重力解の低エネルギー物理は，このゲージ理論とコンパクト化の質量のないバルク場が結合したものと等価である．KS解は，コニフォールド特異点に $N$ 個の通常の D3 ブレーンと $M$ 個のフラクショナル D3 ブレーンがある状態から始まる．最終的には，これらのブレーンはすべてフラックスに置き換えられ，対応するモジュライは消失する．これは双対ゲージ理論における閉じ込めと一致している．特に，$A$ サイクル上に $M$ 単位の $F_{(3)}$，双対 $B$ サイクル上に $K$ 単位の $H_{(3)}$ がある場合，全 D3 電荷は $N = MK$ となる[11]．

上式は，KS [7] のくりこみ群解析と正確に一致する．彼らの式 (23) に現れる$\beta$ 関数を用いると，1回のカスケードでスケール比 $e^{2\pi/3M g_s}$ が生じ（この間にその式の左辺は $-2π/g_s$ から $+2π/g_s$ へと変化する）．カスケードの総数は $N/M = K$ であり，各カスケードごとに $M$ 単位の D3 電荷が消失するため，階層全体は上式で与えられる．したがって，4次元有効作用は KS ゲージ理論の物理を正しく再現している．

ゲージ理論において，パラメータ $z$ はグルイノ凝縮のスケールを表す．上式で述べた不安定性は，グルイノ凝縮がディラトンポテンシャルを生成するというよく知られた事実である [22]．安定化はゲージ理論起源ではなく，むしろ IIB 理論のバルク効果によるものである．

大きな階層を不安定化させると予想される効果があるが，実際にはそうならない．双対ゲージ理論には様々な関連摂動があり，例えば$\mathcal{N}=1$超対称性はスーパー・ポテンシャルを許す．これは摂動のオーダーで質量ギャップを生じ，指数関数的に小さくはならない．しかしこの摂動は我々の解には存在しない．超重力の言葉ではこれは3-形式フラックスだが，$\ast_6 G_{(3)} = i G_{(3)}$という形ではなく，参考文献[38]のIII.C節の明示的な式からも分かる．その不在の理由はホロモルフィー性にあるようだ．ゲージ理論の摂動は原点から離れるにつれて増大する（非正規化）モードに対応するが，これは全コンパクト空間へ拡張できないことが明らかである．

これまで，複素構造パラメータが $z$ ひとつだけの場合を仮定してきた．もし他にも複素構造変形があり，モジュライ $u_i$ で制御される場合を考えよう．この場合，$u_i$ は周期の正則項に現れるため，$\mathcal{G}(z)$ は実際には $\mathcal{G}(z, u_i)$ となる．一般的には，$z$ が上述のようにモジュライ空間のコニフォールド点付近で安定化されたと仮定すると， $$ D_{u_i}W|_{z=0} = 0 $$ という方程式を解くことで，他のモジュライ $u_i$ も（オーダー1の）値に固定されることが分かる．したがって，背景の RR および NS フラックスの存在によって，一般に複素構造モジュライとディラトンはすべて固定され，Kähler モジュライ $\rho$ のみが未固定のまま残ることが分かる．

Examples

ワープしたコンパクト化とフラックスについての議論をより具体的かつ明示的にするため，特に負のD3電荷/テンションと上記のフラックス構成を両立させた一貫した解を構築できることを確認するために，ここではいくつかの具体的なモデルの構成に移る．O3フォールドに基づくモデルについて簡単に述べた後，F理論コンパクト化について詳しく議論する．

O3 Models

負のテンションオブジェクトがO3プレーンであるモデルは簡単に記述できる．まず，コニフォールド特異点と孤立した不動点を持つ$\mathbb{Z}_2$対称性を備えたCY多様体を用意し，この対称性でオリエンティフォールドする．O3プレーンが特異点から離れていると仮定するため，初期のCYには互いに像となる2つのコニフォールド特異点が必要となる．O3プレーンのD3電荷は，不動点の数の$-1/4$倍である．超重力記述が有効となるためには，$g_s N$が1より十分大きい必要がある．摂動的弦理論で議論するには，$g_s \leq 1$であることも仮定すべきである．したがって，$N$，すなわち不動点の数は大きくなければならない．

ここでは明示的な例は提示せず，具体的な例示はF理論の議論に譲るが，オリエンティフォールド構成と低エネルギースペクトルの詳細について述べる．

まず，$\mathbb{Z}_2$対称性$R$によるオリエンティフォールドで，どのRR場が残るかを決定しよう．ここで$R$は孤立した不動点を持つ$\mathbb{Z}_2$対称性，$\Omega$はワールドシートパリティである．まず，$T^k/\mathbb{Z}_2$オリエンティフォールドを考える．この場合，T双対性を用いてIIB弦理論の$\Omega$に関連付けることができる[25]： $$ R\Omega = T^{-1}\Omega T $$ $k$トーラス方向に$r$個，直交方向に$s$個の添字を持つRamond場を考える．IIB弦理論では，$\Omega$演算子はRRポテンシャルに対して$i^{r+s-2}$，RRフラックスに対して$i^{r+s-3}$として作用する．例えば，RR二形式ポテンシャルはタイプI弦への射影で残る．T双対では$r$が$k-r$に変換される．したがって，$R$はそれぞれ$i^{-r+s+k-2}$または$i^{-r+s+k-3}$として作用する．これは，これらの場の固有$R$パリティがそれぞれ$i^{n+k-2}$または$i^{n+k-3}$であるということでも表現できる（{n}は添字の総数）．この固有パリティは，添字への$R$の明示的な作用による$(-1)^r$と組み合わせる必要がある．ここで重要な値$k=6$の場合，固有パリティはそれぞれ$i^n$および$i^{n-1}$となる．

したがって，Ramondスカラー $C$ の固有パリティは偶である．これは，ディラトンのスーパー・パートナーであるため予想どおりである．同様に，$a_{\mu\nu}$（以下のように定義されるアキシオン成分）も固有パリティは偶である： $$ C_{\mu\nu pq}=a_{\mu\nu}\tilde{J}_{pq} $$ ここで，$\tilde{J}$ は Kähler 形式である．

オリエンティフォールドは，$\mathbb{Z}_2$対称性がモジュライ空間全体で成立することを要求するため，偶の複素構造モジュライのみが残る．R-Rフラックス $F_{mnp}$ は固有パリティが奇であり，NS-NSフラックス $H_{mnp}$ も同様である（作用からの結果）．したがって，これらは射影を通過するために奇の固有パリティを持つ3-形式に比例する必要がある．なお，3-形式 $\Omega$（ワールドシートパリティ演算子と混同しないこと）は固有パリティが奇である．これは，$\Omega$ がどこでも消えないため，特に不動点で非ゼロであることから分かる．不動点では $\mathbb{Z}_2$ がインデックスから明示的に $-1$ を与え，この固有パリティによって相殺される必要がある． したがって，超ポテンシャル $$ \int \Omega \wedge G_{(3)} $$ は被覆空間上で適切に定義される．また，偶の複素構造変形は $\Omega$ との収縮によって奇の (2, 1) 形式を生成するため，これらが励起する適切なフラックスとなる．

このクラスのモデルは，第3節と全く同じ方法で解析することができる．コニフォールドの$A$サイクルと$B$サイクルを通るフラックスを選択し（D3電荷はO3プレーンによって打ち消される），そこで記述された$z$，$\tau$，および$\rho$の有効場の理論を正確に得ることができる．

F-theory Models

ワープしたモデルのもう一つの一般的なクラスは，4次元へのF理論コンパクト化から生じる．このようなモデルでは，ブレーンやフラックスの構成は，楕円型Calabi-Yau四次元多様体 $X \to \mathcal{M}$ のトポロジーによって以下の式で制約される： $$ \frac{\chi(X)}{24} = N_{D3}+\frac{1}{2\kappa_{10}^2T_3}\int_{\mathcal{M}}H_3\wedge F_3 $$ この式の左辺は，巻かれたD7ブレーン上に誘導されるD3ブレーン電荷から生じるものであり，この電荷は，遊走するD3ブレーンを導入するか，楕円ファイバーのベース $\mathcal{M}$ に適切なフラックスを入れることで打ち消す必要がある．一般には，巻かれたD7ブレーンに非自明なゲージバンドルを導入することもできる（この場合，式の右辺にD7ブレーンのゲージ理論におけるインスタントン数に対応する項が追加される）が，ここではこの自由度は用いない．Calabi-Yau四次元多様体では $\chi(X) \gg 1$ を達成できるため，このクラスのモデルは，モデル構築のために適切なフラックスやブレーン構成を選択する上で非常に大きな自由度を持つはずである．四次元多様体の非自明なフラックスを持つコンパクト化については [34, 8, 33, 40] で以前に議論されている．

$(p, q)$ 7-ブレーンが基底 $\mathcal{M}$ 上の曲面を巻くことで生じる $SL(2,\mathbb{Z})$ モノドロミーのため，フラックスは実際には非自明なバンドルの切断として変換されるべきである（詳細は2.1節参照）．しかし，ここでは基底 $\mathcal{M}$ のコニフォールド特異点付近の局所領域に注目し，このバンドルの局所的な自明化を用いて式を記述する．これは F 理論真空のオリエンティフォールド極限では特に単純であり，そこで最も明示的に議論する．最も一般的な F 理論モデルもそのモジュライ空間にオリエンティフォールド領域を持つため [41]，この仮定による一般性の損失は本質的ではない．

The Fourfold

Klebanov-Strassler系をF理論コンパクト化に埋め込むには，基底$\mathcal{M}$にコニフォールド特異点を持つ楕円ファイバー型Calabi-Yau四次元多様体Xを構成する必要がある．簡単な例は以下のように設計できる（他の例への一般化も容易である）．

$\mathcal{M}$として，$P^4$内の四次方程式で定義される超曲面を考える： $$ P = z_5^2\left(\sum_{i=1}^{4}z_i^2\right) - t^2z_5^4 + \sum_{i=1}^{4}z_i^4 = 0 $$ ここで $z_i$ は $P^4$ の斉次座標，$t$ は便宜上実数パラメータとする． 四次元多様体 $X$ は，$\mathcal{M}$ 上に Weierstrass モデルを指定することで構成できる（例：[42]参照）： $$ y^2 = x^3 + x f(z_i) + g(z_i) $$ ここで $y \in 3L$, $x \in 2L$, $f \in H^0(4L)$, $g \in H^0(6L)$，L は $\mathcal{M}$ の標準バンドル $K_{\mathcal{M}}$ から定義される線バンドル $L = -K_{\mathcal{M}}$ である． 実際には，このモデルでは $f$ と $g$ は $\mathcal{M}$ 上で制限された $z_i$ の四次および六次の多項式とみなすことができる．

type IIBの言葉で言えば，このモデルは$P^4$内の四次超曲面上へのIIB弦理論のコンパクト化に対応し，楕円ファイバーが退化する場所，すなわち判別式 $$ \Delta = 4f^3+27g^2 $$ が消える点で様々な$(p, q)$ 7-ブレーンが現れると考えるべきである．こうした退化に関連する物理は，ゲージ対称性の強化やよりエキゾチックな現象を含み，CY三次元多様体のコンパクト化で現れる多くのケースについては[43, 44, 45]で記述されている．しかし，ここで我々が関心を持つのは，7ブレーンの物理とは無関係な基底の退化であり，我々が注目する$\mathcal{M}$内の領域が$\Delta=0$判別式の軌跡と交差しないようにするだけである．後の参考のために，IIBアクシオン-ディラトン$\tau$の値はWeierstrassデータによって次の式で決定される： $$ j(\tau)=\frac{4(24f)^3}{4f^3+27g^2} $$ ここで$j(\tau)$は$\tau$のモジュラー不変関数であり，正規化は$j(i)=(24)^3$となる．

以前の式はこの構成に対するバックグラウンド D3 電荷を与える．このモデルについては，[42] の公式を用いて計算でき，その結果は $$ -Q_3^{D7} = \frac{\chi}{24} = 12 + 15\int_{\mathcal{M}}c_1(\mathcal{M})^3 = 72 $$ となる．

この式を調べると，$t \to 0$ のとき $\mathcal{M}$ にコニフォールド特異点が現れることが分かる．実際，$P = dP = 0$ を $(0, 0, 0, 0, 1)$ で解くことができる．縮退する3サイクルは，$z_i \to z_i$ という自動同型の不動点集合として明示的に記述できる．この不動点上では $z_i$ は実数でなければならない．この式から，実数部分では $z_5 \neq 0$ としてよく，$z_5 = 1$ として射影対称性を固定できる．$z_i$ の実部を $x_i$ とする．方程式は $$ \sum_{i=1}^{4}(x_i^4 + x_i^2) = t^2 $$ となる．ここで $u_i = \sqrt{x_i^4 + x_i^2}$ と定義し，平方根の符号を $\mathrm{sgn}(u_i) = \mathrm{sgn}(x_i)$ となるように選ぶと，この不動点集合への1対1対応が得られる．すなわち $$ \sum_{i=1}^{4}u_i^2 = t^2 $$ となり，$t \to 0$ で縮退する $S^3$ を記述している．これがコニフォールドの$A$サイクルである．

Orientifold Limit

Sen[41]の研究に従い，$X$をそのモジュライ空間の特定の軌道上，特に単純な記述が可能なtype IIBオリエンティフォールドとして表すことができる．$f$と$g$を次のように選ぶ： $$ f=C\eta(z_i)-3h(z_i)^2,\quad g=h(z_i)[C\eta(z_i)-2h(z_i)^2] $$ ここで$h$と$\eta$は次数2と4の任意の関数である．$f$は4次式なので$f$の一般的な選択が可能だが，$g$は特殊な形となる．上式から，$C\to 0$かつ$\eta$と$h$が固定されているとき，分子が消えない限り$j(\tau)\to\infty$となる．これは基底のほぼ全域で$\tau\to i\infty$，すなわち弱いtype IIB結合領域にあることを意味する．

実際，この極限では，モデルはtype IIBのCalabi-Yau三次元多様体 $\hat{\mathcal{M}}$ 上のオリエンティフォールドとなる．$\hat{\mathcal{M}}$ は，上式と $$ \xi^2 - h(z_i) = 0 $$ で定義される被覆空間である（$\xi$ は新しい座標で，線バンドル $L$ に属する）．$\hat{\mathcal{M}}$ を $$ \xi \to -\xi $$ の作用（および $\Omega(-1)^{F_L}$ の組み合わせ）でオリエンティフォールドする．これにより，$\xi = 0$ の軌道が固定され，上式の $h(z_i) = 0$ の位置に O7プレーンが局在する．

オリエンティフォールドによって生じるRRタッドポールを打ち消すためには，D7ブレーンも導入する必要がある．判別式 $\Delta$ を調べると，上式の極限では $$ \Delta = C^2\eta^2(4C\eta-9h^2) $$ となり，$\eta(z_i) = 0$ の位置に一対のD7ブレーンが存在することが分かる．

Embedding Klebanov-Strassler

これで，F理論を四次元多様体 $X$ 上で縮約することは，上式による $\hat{\mathcal{M}}$ のオリエンティフォールド上でのIIB弦理論に帰着されることが分かった．$t \to 0$ の極限では，$\mathcal{M}$ にコニフォールド特異点が現れ，それが $\hat{\mathcal{M}}$ のオリエンティフォールドにも残る．$h$ と $\eta$ を次のような形で選ぶことができる： $$ h(z_i)=\sum_{i=1}^{5}a_iz_i^2,\quad \eta(z_i)=\sum_{i=1}^{5}b_iz_i^4 $$ ここで $a_i$ と $b_i$ は実数かつ正とする．このように選ぶことで，$h=0$ および $\eta=0$（O7プレーンとD7ブレーンの位置）は，$\mathcal{M}$ の実数部分と交差しない．一方，$t^2 \to 0$ で縮退する3サイクルはこの実数部分上に存在する．したがって，D7ブレーンやO7プレーンはコニフォールド特異点付近には存在せず，$\hat{\mathcal{M}}$ のオリエンティフォールドにおけるコニフォールドの局所近傍で，これらの他のブレーンを無視して議論することができる．

コニフォールド点では，$\hat{\mathcal{M}}$ 内に縮退する $A$ サイクルと，それと 1 回交差する双対の $B$ サイクルが存在する．オリエンティフォールド射影と両立する形で，これら両方のサイクルにフラックスを通すことができると期待される．オリエンティフォールド極限でも，バックグラウンド電荷は有効であり（D3電荷は巻かれたブレーン上に誘導される電荷から生じる），これらのサイクルに適切な H3 および F3 フラックスを選ぶことで打ち消すことができる．$A$ サイクルに $M$ 単位の RR 3-形式フラックス，$B$ サイクルに $K$ 単位の NS 3-形式フラックスを流し，$MK = N \leq 72$ とすれば，上式を満たすことができる（$N < 72$ の場合は，遊走する D3 ブレーンを加えるか，他のフラックスをオンにして満たす必要がある）．これにより，（$\hat{\mathcal{M}}$ のオリエンティフォールドの）コニフォールド点近傍で，Klebanov-Strassler [7] の解を局所的に再現できる．すなわち，局所的な幾何学は，そこで考察された $SU(N+M)\times SU(N)$ ゲージ理論の重力双対と同じである．このモデルで可能な $M$ および $K$ の値（他の例ではより大きな値や，より大きな $K$ が可能）でも，セクション3で示したように，RGカスケードによって大きな階層を生成できる．

このようなオリエンティフォールドでディラトンを安定化するには，低エネルギー超ポテンシャルに何らかの追加の一般的な項が必要となる．これを実現する1つの方法は，第3節で述べたように追加のフラックスをオンにすることである．もう1つの方法は，F理論のモジュライ空間の一般的な点で作業することであり，これについては以下で議論する．

Deforming Away from the Orientifold Limit

コニフォールド特異点と適切なフラックスを持つオリエンティフォールドモデルの低エネルギー物理を理解するには，3節で説明した少なくとも3つの異なるモジュライに関する有効場理論を計算する必要がある．これらは，コニフォールドで縮退する3サイクルの体積を制御する複素モジュライ $z$，ディラトン $\tau$，そして空間全体の体積 $\rho$ である．

しかし，F理論の状況では，4.2.2節の極限から離れて，モデルが摂動的なIIBオリエンティフォールドでなくなるように考えることもできる．$F_3$および$H_3$フラックスはそのままにしてオリエンティフォールド極限から離れることで，いくつかの簡略化が得られる[12]．F理論の枠組みでは，基底$\mathcal{M}$のサイズ（$\rho$）や$z$（ここでは上式の$t^2$で制御される）は依然としてモジュライとして残るが，ディラトンは独立したモジュライとしては残らない．ディラトンは，前の式と上式の解によって，$X$の複素構造の関数として固定される．

これは，コニフォールド点付近で $D_{\tau}W = 0$ 方程式を解く際に生じる素朴な問題（第3節で追加のフラックスをオンにすることで解決された）が，ここでは発生しないことを意味する．$\tau$は低エネルギー有効場理論の独立したモードとして現れない．$X$ の複素構造を制御するモード（上式によって $\tau$ を決定する）は，Klebanov-Strassler フラックスだけで一般的に固定される（第3節末尾参照）．そこでは摂動的なタイプIIB弦理論の観点で議論したが，M理論を通じた別の導出も存在する．F理論上の $X$ は，M理論上の $X$ の極限（楕円ファイバーの体積を縮めて F理論へ移行）として定義できる．M理論上の $X$ での複素構造モジュライに対する超ポテンシャルは，前の式で与えられ，$G_{(4)}$ は M理論の4形式フラックス，$\Omega_{4}$ は $X$ 上の正則な(4,0)形式である．IIB弦理論の超ポテンシャルは，F理論極限で適切な $G_{(4)}$（IIB言語で $G_{(3)}$ フラックスに持ち上がるもの）を選び，$X$ が Calabi-Yau三次元多様体と二次元トーラスの直積の場合に前の式から導かれる．より一般的な F理論の場合，$X$ はこのような直積ではないが，我々が用いてきた $M$ の $A$サイクルと $B$サイクルは $X$ の4次元サイクルに持ち上がり，局所的な分解を利用できる．複素モジュライ（したがって $M$ のコニフォールド点での $\tau$ の値）が固定されるという主張は，$B$サイクルの持ち上げに対する $\Omega_{4}$ の周期が複素構造モジュライに一般的な依存性を持つという事実から導かれる．

第3節で見たように，この機構や追加のフラックスをオンにすることでディラトンを固定すると，$z$を解くことができる．参考文献[9]の超ポテンシャルから計算される$z$の指数関数的に小さい値は，$M$と$N$の合理的な選択に対して階層が存在することを独立に確認するものであり，これは参考文献[7]におけるカイラル対称性の破れによって動的に生成される小さなスケールを表している．

Conclusion

ワープを通じて大きな階層を生成し，特にRS1モデル[1]の特徴を長波長で再現する弦理論構築を見つけることに多くの関心が寄せられてきた．Verlindeとその共同研究者[4, 36]のアイデアに基づき，これを実現するオリエンティフォールドおよびF理論モデルについて説明した．AdSスロートと赤外ブレーンの役割は，KlebanovとStrassler[7]によって発見された閉じ込めを持つゲージ理論の重力双対（有限な動径セグメント）によって果たされ，UVブレーンは弦理論コンパクト化多様体のバルクによって置き換えられる．

私たちのモデルは，一貫性があり，特異点のない弦理論の背景である．しかし，コンパクト化多様体の全体的なスケール $\rho$ に対して，$\alpha'$ や弦ループ補正がポテンシャルを生成することを予想している．同様の問題は，よく知られた古典的なヘテロティック弦理論の背景 [21, 22] にも現れるが，いくつかの点で私たちのモデルはそれらと非常に似ている（重要な違いとして，非摂動的なゲージ理論効果がすでに古典的な重力解に組み込まれている点がある）．これらのモデルで $\rho$ を安定化するメカニズムを見つけることは非常に興味深いだろう．すべてのモジュライがフラックスによって安定化されるおもちゃモデルを構築することができる [20]．

ゲージ理論とフラックスを持つコンパクト化の間の双対性は，ここで使用した単一の例 [7] を超えて拡張される．[9] の結果は，フラックスとゲージ理論の間の双対性のより一般的な構築を提供し，量子ゲージ理論の効果は再び古典的な幾何学を使用して計算可能である．このゲージ理論/フラックス双対性の他の例を使用して，非摂動的なゲージダイナミクスによって計算可能に安定化されたモジュライを持つ $\mathcal{N} = 1$ 弦理論コンパクト化を構築することは興味深いだろう．

最後に，最近，ワープコンパクト化が大きな階層を生成する新しいメカニズムを提供することが明らかになった．これはAdSの赤方偏移とは異なるものである [46]．関連するワープモデルは，2つ以上の異なるブレーントロートを持ち，かなり一般的なワープ（べき乗則のワープで十分）を必要とする．その後，大きな階層は，異なるトロートに局在するIRモード間のトンネリング抑制（したがって弱い）相互作用によって生成される．このようなマルチトロートコンパクト化の弦理論の例を，我々の論文での構成を一般化することで設計することが可能であるはずである．

Appendix: Dimensional reduction

次に，第2節で議論した低エネルギー有効作用をさらに発展させる．フラックスをオンにする前は，基礎となる多様体 $\mathcal{M}$ は一般的に多数のモジュライを持ち，それに対応する質量のない超多重項が4次元低エネルギー有効理論に存在する．フラックスをオンにすると，コンパクト化の幾何学が変形され，4次元有効理論では質量のないモジュライに対してポテンシャルが生成される [8, 33]．

Kinetic terms and Kähler potential

The potential and superpotential

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