複素多様体論

複素多様体とは何か？それは滑らかな多様体と全く同じ方法で定義されるが，局所座標チャートが値を$\mathbb{C}^n$に取り，その重なりが正則であることが要求される．一見すると滑らかな多様体の定義に対する小さな変更のように思えるが，実際にはこの正則性の要件がすべてを変えてしまう．例えば，連結なコンパクト複素多様体上の大域的な正則関数は定数関数しか存在せず，正則ベクトル束の正則切断の空間も常に有限次元である．すべての滑らかな多様体は何らかのEuclid空間に滑らかに埋め込むことができるが，複素多様体が$\mathbb{C}^n$や複素射影空間に正則に埋め込めるのは限られた場合だけである．特にKähler多様体のように，計量構造と正則構造がうまく調和する場合には，微分幾何学と複素解析の間に深い相互作用が現れる．

複素多様体は数学の多くの分野で深い応用を持っている．いくつか例を挙げる：

• Riemann面（1次元複素多様体）は，1変数複素関数の大域的性質を理解する上で不可欠である．
• 複素曲面（2次元複素多様体）は，4次元の滑らかな多様体の分類を試みる際に中心的な役割を果たす．
• 代数方程式で定義される複素多様体は代数幾何学の中心的対象の一つであり，それらの微分幾何学的研究は代数幾何学の発展に重要な貢献をしてきた．
• Calabi-Yau多様体は，弦理論において重要な役割を果たす複素多様体である．

主な前提知識は，位相多様体，滑らかな多様体，Riemann多様体に関する基礎的な結果に精通していることである．初等的な複素解析にも慣れていることが前提となるが，これは1変数複素解析の標準的な学部レベルの内容で十分である．これらに加えて，代数的位相幾何学，特に特異ホモロジーとコホモロジーについても基本的な知識を持っていることが望ましい．

目次

• 基本概念
• 複素微分形式
• エルミート多様体とKähler多様体
• Hodge理論

基本概念

本稿を読むための前提知識に十分に精通している読者であれば，おそらく「滑らかな多様体」という概念にはすでに馴染みがあるだろう．すなわち，滑らかな多様体とは，座標チャートのアトラスが与えられ，その重なりの変換関数がすべて滑らかであるような位相多様体のことである（正確な定義はこの節の後半で述べる）．

チャートの両立条件を変更することで定義される様々な多様体のクラスにも出会ったことがあるかもしれない．例えば，$C^k$級多様体とは，すべての座標変換が$k$回連続微分可能（$C^k$級）であるようなアトラスを持つ多様体である．また，実解析的多様体とは，すべての座標変換が実解析的（各点の近傍で収束冪級数で表される）であるようなアトラスを持つ多様体である．

このテーマのもう一つの変種であり，本稿が扱う対象が「複素多様体」である．これは，アトラスのすべての座標変換が正則であるような位相多様体である．前述の他の多様体のクラスは，滑らかな多様体の定義をわずかに変えたものに過ぎないが，正則性の条件に移ると，ほとんどすべてが変わってしまうことが分かるだろう．

この節では，複素多様体の主な定義を導入し，いくつかの例と基本的な性質について述べる．

最も基本的な多様体の型は位相多様体である．これは，第2可算かつHausdorffな位相空間であり，すべての点がある開近傍を持ち，その近傍がある固定された$n$次元の$\mathbb{R}^n$の開部分集合と同相であるという性質を持つ（ここで$n$は多様体の次元と呼ばれる）．（本稿では，特に断らない限り，すべての多様体は境界なしの多様体とする）．

位相多様体に追加の構造を加えることで，他の種類の多様体を得ることができる．微分幾何学が主に扱うのは滑らかな多様体であり，これは滑らかな構造を持つ位相多様体である．定義は次の通り：$M$ を次元 $n$ の位相多様体とするとき，$M$ の座標チャート（単にチャートとも呼ばれる）は，$M$ の開集合 $U$ と，$U$ から $\mathbb{R}^n$ の開集合への同相写像 $\varphi$ からなる組 $(U, \varphi)$ である．アトラスとは，$M$ を被覆するチャートの集まりである．2つのチャート $(U, \varphi)$, $(V, \psi)$ の定義域が重なるとき，変換関数は合成写像 $\psi \circ \varphi^{-1} : \varphi(U \cap V) \to \psi(U \cap V)$ およびその逆写像 $\varphi \circ \psi^{-1} : \psi(U \cap V) \to \varphi(U \cap V)$ である．2つのチャートが滑らかに両立するとは，それらの定義域が互いに交わらないか，または変換関数が $\mathbb{R}^n$ の開集合間の滑らかな写像（すなわち無限回微分可能，$C^\infty$ 級）であることをいう．滑らかなアトラスとは，任意の2つのチャートが滑らかに両立するアトラスである．最後に，滑らかな構造とは極大な滑らかアトラスのことであり，これはより大きな滑らかアトラスに真に含まれないことを意味する．すなわち，$\mathcal{A}$ が極大滑らかアトラスであるとは，$\mathcal{A}$ のすべてのチャートと滑らかに両立する任意のチャートがすでに$\mathcal{A}$に含まれていることをいう．

複素多様体の定義は，一見すると滑らかな多様体の定義をわずかに修正しただけのように見える．主な違いは，各座標変換（変換関数）が正則であることを要求する点である．

（正則関数の性質については後で詳しく述べるが，今は「正則関数は滑らかであり，合成も正則である」ことを知っていれば十分である）．この正則性の要件を位相多様体の座標変換に適用するため，標準的な同一視 $$ (x^1, y^1, \ldots, x^n, y^n) \leftrightarrow (x^1 + iy^1, \ldots, x^n + iy^n) $$ を用いる（Einsteinの縮約記法との整合性のため座標添字は上付きで表す．この記法については後述する）．この同一視により，$\mathbb{R}^{2n}$ の開集合間の写像が正則かどうかを問うことができるようになる．

さて，$M$ が $2n$ 次元の位相多様体であるとしよう．

多様体上の正則構造は伝統的に「複素構造」と呼ばれるが，この用語は後述するベクトル束上の複素構造と混同されるおそれがある．

すべての正則関数は滑らかであるため，正則アトラスは滑らかなアトラスでもあり，したがって$M$上に一意的な滑らかな構造を定める．つまり，すべての複素多様体は標準的な方法で滑らかな多様体でもある．一方で，与えられた偶数次元の滑らかな多様体が，与えられた滑らかな構造を誘導する複数の異なる正則構造を持つ場合もあれば，まったく持たない場合もある．正則構造を持たない最も単純な偶数次元滑らか多様体の例は$\mathbb{S}^4$である．

集合に複素多様体の構造を直接定義によって与えるには，まず位相を構成し，それが多様体であることを確認し，さらに正則構造を構成するという手順を踏む必要がある．しかし，ほとんどの場合，次のような近道が利用できる．

複素多様体間の正則写像は，滑らかな多様体間の滑らかな写像と同様の方法で定義される：

滑らかな多様体論の場合と同様に，しばしば座標写像を用いて多様体の開部分集合を一時的に $\mathbb{C}^n$ の開部分集合と同一視し，写像とその座標表示に同じ記号を用いることがある．

写像 $f$ の値域が標準的な正則構造を持つ $\mathbb{C}^k$（またはその開部分集合）の場合，$\mathbb{C}^k$ 上では恒等写像を正則座標チャートとして常に用いることができる．そのため，$f$ が正則であることは，任意の $p \in M$ に対して，$M$ の正則チャート $(U, \varphi)$ で $p \in U$ となるものが存在し，$f \circ \varphi^{-1}$ が $\varphi(U)$ から $\mathbb{C}^k$ への正則写像となることと同値である．通常，「正則関数」という用語は，値域が $\mathbb{C}$（スカラー値正則関数）または $\mathbb{C}^k$（ベクトル値正則関数）の正則写像に対して用いられる．一方，「正則写像」という用語は，任意の複素多様体間の写像を指す場合に使われる．

$M$ が複素多様体であるとき，$\mathcal{O}(M)$ は $M$ から $\mathbb{C}$ へのすべての正則関数の集合を表す．この記法は，特に $M$ の任意の開部分多様体にも適用される：$U \subset M$ が開集合であれば，$\mathcal{O}(U)$ は $U$ から $\mathbb{C}$ への正則関数全体の集合である．

正則写像についての以下の事実は，滑らかな場合の類似命題と同様に証明される．

例えば，$V$ が $n$ 次元の複素ベクトル空間であれば，任意の基底の選択によって $V$ と $\mathbb{C}^n$ との間に複素線型同型写像が定まるので，このようなベクトル空間はすべて $\mathbb{C}^n$ と双正則同型である．同様に，基底の選択によって $\mathbb{P}(V)$ と $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$，および $G_k(V)$ と $G_k(\mathbb{C}^n)$ との間にも双正則同型が得られる（$k$ は任意）．双正則同型であることは，すべての複素多様体の類に対して同値関係を定めることは容易に確かめられる．本稿の主題は，双正則同型によって保たれる複素多様体の性質である．

正則写像は滑らかであるため，双正則同型な多様体は自動的に微分同相でもある．しかし，その逆は必ずしも成り立たない．

この節では，既存の複素多様体から新しい複素多様体を構成するいくつかの方法について述べる．

次の命題は，連結な複素多様体の任意の被覆空間が自然な方法で複素多様体となることを示す．

特定の状況下では，複素多様体で被覆される多様体にも正則構造を与えることができる．$\Gamma$ を離散Lie群（すなわち，離散位相を持つ可算群）とする．

以下にいくつかの簡単な例を挙げる：

• 任意の可算離散群は0次元の複素Lie群である．
• 任意の有限次元複素ベクトル空間は，加法に関して複素Lie群となる．
• $n \times n$の可逆複素行列全体の群$GL(n, \mathbb{C})$は，次元$n^2$の複素Lie群であり，行列成分が大域的な正則座標となる．積写像の成分関数は行列成分の正則多項式であり，逆元写像の成分関数は正則有理関数である．
• 任意の$n$次元複素ベクトル空間$V$に対し，$V$の複素線型自己同型全体の群$GL(V)$は，基底を選べば$GL(n, \mathbb{C})$と同型なLie群となり，得られる正則構造は基底の選択に依存しない．

本稿では，1変数の初等的な複素解析（学部レベル）を前提としている．もし複素解析の知識が曖昧であれば，この機会に復習することをおすすめする．

1変数の正則関数の定義を思い出そう．

便宜のため，1変数複素解析の基本的な事実をいくつか思い出しておこう．ここで $W$ は $\mathbb{C}$ の任意の開集合，$f : W \to \mathbb{C}$ は任意の正則関数とする．標準的な座標は $z = x + iy$ で表す．

• Cauchy積分公式： $a \in W$，$r > 0$ で閉円板 $D_r(a)$ が $W$ に含まれるとき，開円板 $D_r(a)$ 内のすべての $z$ について次の公式が成り立つ： $$ h(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=r}\frac{h(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta $$
• Cauchy-Riemann方程式： $f$ の実部 $u$ と虚部 $v$ は次の方程式を満たす： $$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$
• べき級数展開： 任意の $a \in W$ について，円板 $D_r(a)$ が $W$ に含まれるなら，$f|_D$ は $(z-a)$ のべきの収束級数で表される．すべての階数の複素微分が存在し，級数を項ごとに微分して計算できる．
• 零点は孤立し有限位： $f(a) = 0$ かつ $f$ が恒等的にゼロでないとき，ある円板 $D_r(a) \subset W$ が存在して $z \in D_r(a) \setminus \{a\}$ では $f(z) \neq 0$ となる．また，正の整数 $m$（零点の位数または重複度）が存在して，$f(z) = (z-a)^m h(z)$（$h$ は $a$ で消えない正則関数）と書ける．零点の位数は $f^{(m)}(a) \neq 0$ となる最小の $m$ で与えられる．位数1の零点は単純零点と呼ばれる．
• 最大値原理： $W$ が連結で $|f(z)|$ がある点 $z \in W$ で最大値を取るなら，$f$ は定数関数である．
• Liouvilleの定理： $W = \mathbb{C}$ で $f$ が有界なら，$f$ は定数関数である．
• Riemannの可除特異点定理： $W = \tilde{W} \setminus \{a\}$（$\tilde{W}$ は開集合，$a \in \tilde{W}$）で $f$ が有界なら，$f$ は $\tilde{W}$ 全体に正則関数として拡張できる．

複素多様体の研究には，1変数複素解析のいくつかの結果を多変数の場合に拡張する必要がある．多くの結果は見覚えのある形をしているが，正則関数の性質の中には高次元になると大きく異なるものもある．

まず，多変数正則関数の正式な定義から始める．

正則関数の定義は本質的に1変数の場合と同じである．ただし，1変数の場合は連続性の仮定が不要であり，簡単な議論によって複素微分可能性から連続性が従うことが示される．実際，高次元の場合でも連続性の仮定は不要であることは注目に値する．ドイツの数学者Friedrich Hartogsは1906年に，$\mathbb{C}^n$ の開集合の各点で複素偏微分を持つ関数は自動的に連続となることを証明した．ただしこの証明は難しいため，定義の一部として連続性を仮定する方が便利である．

1変数の複素解析では，正則関数を特徴づけるいくつかの同値な方法がある．すなわち，すべての点で複素微分可能であること，連続な偏微分が存在してCauchy–Riemann方程式を満たすこと，各点の近傍で収束べき級数で表せること，などである．多変数の正則関数についても，これらと同様の同値な特徴づけが存在する．

次の点に注意すること．

• (2) の分解 $f(z) = u(z) + iv(z)$ では，$u(z)$ と $v(z)$ は実数値関数であることが暗黙の了解となっている．同様に，$z^j = x^j + i y^j$ も $x^j, y^j$ が実数であることを意味する．特に断りがない限り，本書でこのような分解を書く場合はすべて同様である．
• (3) で絶対収束を強調する理由は，多重添字の和は項の順序を様々に並べ替えることができるためであり，絶対収束であれば項の順序に依存しないことが保証されるからである．

次に，本稿全体で用いる正則関数の基本的な性質を列挙する．

例えば，前述の2つの命題から容易に次のことが従う：$\mathbb{C}^n$ 上のすべての多項式関数（$z_1, \ldots, z_n$ の多項式）は正則関数であり，すべての有理関数（多項式の商）は分母がゼロでない部分集合上で正則関数である．

次の命題では，複素変数による偏微分と実変数による偏微分の関係について述べる．$f = u + iv$ が複素値関数であるとき，$\frac{\partial f}{\partial x^j}$ という記法は，複素値関数 $\frac{\partial u}{\partial x^j} + i \frac{\partial v}{\partial x^j}$ を表す．$y^j$ に関する偏微分も同様である．

次に，多変数べき級数の重要な性質をいくつか述べる．

Liouvilleの定理を用いることで，微分同相だが双正則同型でない複素多様体の最初の例を与えることができる．

この結果もまた，複素多様体に対して即座に，しかもやや驚くべき応用を持つ．

正則関数の最も顕著な特徴の一つは次の命題で述べられる．特に，正則関数列の一様収束極限が正則関数になることを示している．同様の結果は滑らかな関数や実解析的関数については成り立たないことに注意すべきである．

次の結果はやや初等的ではなく，その1変数版は学部レベルの複素解析の教科書では必ずしも扱われない．この命題は本稿では一度だけ，正則ベクトル束の切断を扱う際に用いる．

ここまで述べてきた多変数正則関数に関する事実は，すべて1変数正則関数についての標準的な事実の素直な一般化であった．しかし，次に述べる結果は1変数理論には全く現れないものであり，根本的に異なる性質を持つ．これは1906年にFriedrich Hartogsによって証明されたものである．

この定理は $n = 1$ の場合には成り立たない．なぜなら，$1/z$ や $e^{1/z}$ のように，孤立特異点を持つ正則関数が多数存在するからである．これらは特異点を中心とする環領域上では正則だが，その点を越えて正則拡張することはできない．Hartogsの定理は，2変数以上の正則関数の特異点は決して孤立しないことを意味する．さらに，正則関数の零点についても重要な事実を述べている．1変数の場合，正則関数の零点は常に孤立する．しかし，$n \geq 2$ の場合，もし正則関数 $f$ が $p \in \mathbb{C}^n$ で孤立零点を持つなら，$1/f$ は孤立特異点を持つことになり，これは不可能である．したがって，2変数以上の正則関数の零点も決して孤立しない．

ここで，複素値関数を扱うために必要となる，滑らかな多様体の理論へのいくつかの拡張を導入する．複素値関数 $f = u + iv$ と書いたとき，その微分を $df = du + i dv$ のように表したい．しかし，これは滑らかな多様体論で通常使われる1-形式とは異なるものである．というのも，余接束のような実ベクトル束の切断は実数による乗法しか定義されておらず，複素数による乗法は定義されていないからである．

このことを明確にするため，次の定義を導入する．

$(b_1, \ldots, b_n)$ が $V$ の任意の基底（$\mathbb{R}$ 上）であれば，$((b_1, 0), \ldots, (b_n, 0))$ は $V_\mathbb{C}$ の $\mathbb{C}$ 上の基底となる．この同一視のもとでは，単に $(b_1, \ldots, b_n)$ と書くことができる．したがって，$V_\mathbb{C}$ の複素次元は $V$ の実次元と一致する．

例えば，$\mathbb{R}^n$ の複素化は自然に $\mathbb{C}^n$ と同一視できる．

複素化関手はベクトル束にも容易に拡張できる．まずいくつかの定義を導入する．

実ベクトル束で標準的に用いられる構成のほとんどは，滑らかな複素ベクトル束にも明白な方法で拡張できる．

正則ベクトル束については後で詳しく述べる．ここでは滑らかなベクトル束に焦点を当てる．

このような自明化 $(U, \Phi)$ と $(V, \Psi)$ が重なる部分では，$\Psi \circ \Phi^{-1}(p, v) = (p, \tau(p)v)$ と書けることが示されている．ここで，$\tau : U \cap V \to GL(k, \mathbb{R})$ は滑らかな遷移関数である．また，$\Phi_\mathbb{C}$ から $\Psi_\mathbb{C}$ への遷移関数も同様に，$\Psi_\mathbb{C} \circ \Phi_\mathbb{C}^{-1}(p, v) = (p, \tau(p)v)$ となる．ただし，今は $\tau$ を $GL(k, \mathbb{C})$ への写像とみなしている．ベクトル束チャートの補題（複素ベクトル束の場合に明らかに拡張される）から，$\pi_\mathbb{C} : E_\mathbb{C} \to M$ には，上記の写像を滑らかな局所自明化として用いることで，滑らかなランク$k$の複素ベクトル束としての構造が一意的に定まることが従う．

実際に重要なのは，任意の滑らかな局所フレーム $(b_1, \ldots, b_k)$ が与えられたとき，$E_\mathbb{C}$ の切断は局所的に $\sum f_j b_j$ の形で書けることである．ここで係数関数 $f_j$ は複素値関数であってよい．

任意の実ベクトル束 $E \to M$ に対して，複素共役作用は $E_\mathbb{C}$ からそれ自身への滑らかな共役線型束準同型を定める．また，実元（$w = \overline{w}$ を満たすもの）の集合は，元の束 $E$ と標準的に同型な実線型部分束をなす．このような共役作用素が存在することは，複素化の場合に特有の性質であることに注意すべきである．実際，問題1-6が示すように，複素ベクトル束がこのような共役作用素を持つのは，それがある実ベクトル束の複素化と同型な場合に限られる．

この構成を滑らかな多様体 $M$ の接束や余接束に適用すると，それぞれ複素化接束 $T_\mathbb{C}M$ や複素化余接束 $T^*_\mathbb{C}M$ が得られる．$T_\mathbb{C}M$ の切断（複素ベクトル場）は，局所的には座標ベクトル場の複素値係数による線型結合として，あるいは実ベクトル場とそれに $i$ を掛けた別の実ベクトル場の和として書ける．複素ベクトル場 $Z = X + iY$ は，滑らかな実数値関数 $f$ に対して $Zf = Xf + iYf$ で作用し，複素値関数 $f = u + iv$ に対しても同様に作用する（このとき $Xf$ は $Xu + iXv$，$Yf$ は $Yu + iYv$ と解釈する）．Lie括弧作用も，複素ベクトル場の組に対して複素双線型性によって拡張できる：$[X_1 + iY_1, X_2 + iY_2] = ([X_1, X_2] - [Y_1, Y_2]) + i([X_1, Y_2] + [Y_2, X_1])$．また，$fV, gW$ のような複素ベクトル場と複素値関数 $f, g$ に対しても，$[fV, gW] = fg[V, W] + f(Vg)W - g(Wf)V$ という公式がそのまま成り立つことは容易に確かめられる．

同様に，$T^*_\mathbb{C}M$ の切断は複素1-形式または複素余ベクトル場と呼ばれ，局所的には座標1-形式の複素係数による線型結合として，あるいは実1-形式とそれに $i$ を掛けた別の実1-形式の和として書くことができる．この構成により，$f = u + iv$ が複素値滑らかな関数であるとき，$df = du + i dv$ と書くことが正当化される．

$\mathbb{C}^n$の場合を考えよう．標準的な正則座標$z^j = x^j + i y^j$を用いる．$\mathbb{C}^n$を（実）次元$2n$の滑らかな多様体とみなすと，$(x^j, y^j)$を滑らかな大域座標として使える．$T^*\mathbb{C}^n$の滑らかな大域コフレーム$\{dx^j, dy^j\}$が得られ，これは$T^*_\mathbb{C}\mathbb{C}^n$のコフレームにもなる．ここで$2n$個の複素1-形式$dz^j = dx^j + i dy^j$と$d\bar{z}^j = dx^j - i dy^j$を考える．$dx^j = \frac{1}{2}(dz^j + d\bar{z}^j)$，$dy^j = \frac{1}{2i}(dz^j - d\bar{z}^j)$と表せるので，$\{dz^j, d\bar{z}^j\}$も$T^*_\mathbb{C}\mathbb{C}^n$の滑らかなコフレームとなり，任意の複素1-形式はこのコフレームで表せる．特に，$f : U \to \mathbb{C}$が$\mathbb{C}^n$の開集合$U$上の滑らかな関数なら， $$ df=\frac{\partial f}{\partial x^j}dx^j+\frac{\partial f}{\partial y^j}dy^j=A_jdz^j+B_jd\bar{z}^j $$ という形で書ける．ここで係数関数$A_j$と$B_j$が存在する（縮約記法を使うとき，分母の上付き添字は下付き添字として扱うのが慣例である）．これらの係数を求めるには，$dx^j$と$dy^j$を$dz^j, d\bar{z}^j$で表し，項を整理すればよい： \begin{align} df =& \frac{\partial f}{\partial x^j} \left( \frac{dz^j + d\bar{z}^j}{2} \right) + \frac{\partial f}{\partial y^j} \left( \frac{d\bar{z}^j - dz^j}{2i} \right) \\ =& \frac{1}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial x^j}-i\frac{\partial f}{\partial y^j} \right)dz^j + \frac{1}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial x^j}+i\frac{\partial f}{\partial y^j} \right)d\bar{z}^j \end{align}

この計算に動機づけられて，$\mathbb{C}^n$ 上の $2n$ 個の滑らかな複素ベクトル場 $\frac{\partial}{\partial z^j}$ および $\frac{\partial}{\partial \bar{z}^j}$ を次のように定義する： $$ \frac{\partial}{\partial z^j} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial}{\partial x^j} - i\frac{\partial}{\partial y^j} \right),\quad \frac{\partial}{\partial \bar{z}^j} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial}{\partial x^j} + i\frac{\partial}{\partial y^j} \right) $$ （負符号が $\frac{\partial}{\partial z^j}$ の式に現れることに注意．これは誤植ではない！）簡単な計算により，$\{\frac{\partial}{\partial z^j}, \frac{\partial}{\partial \bar{z}^j}\}$ は $\{dz^j, d\bar{z}^j\}$ に双対な $T^*_\mathbb{C}\mathbb{C}^n$ の滑らかな大域フレームであることが分かる．$\mathbb{C}^n$ の開集合 $U$ 上の滑らかな複素値関数 $f$ に対して，このフレームを用いて次のように書き直せる： $$ df = \frac{\partial f}{\partial z^j}dz^j + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}^j}d\bar{z}^j $$

特に $f$ が $\mathbb{C}^n$ の開集合上の正則関数の場合，$\frac{\partial f}{\partial z^j}$ という表現はすでに（式(1.2)で）定義されていたことに注意しよう．ここで同じ記号に対して異なる意味を導入したように見えるが，次の命題により，正則関数については両者の定義が同値であることが保証される．

$\partial f/\partial z^j$ や $\partial f/\partial \bar{z}^j$ という表記については注意が必要である．$f$ が単に滑らかな関数の場合，この記号は通常の意味での偏微分を表しているわけではない．例えば，$z_1$ で微分する際に他の変数 $z_2, \ldots, z_n$ や $\bar{z}_1, \ldots, \bar{z}_n$ を固定するという操作は意味を持たない．$z_1$ を固定すれば，$\bar{z}_1$ も自動的に固定される．しかし，これらの演算子が偏微分のように振る舞う側面があり，それについて以下で説明する．

$p$ を任意の（正則である必要はない）複素数値多項式関数とする．これは実変数 $\{x^j , y^j \}$ の関数として $$ p(x,y)=\sum_{l_1,\ldots,l_n,\, m_1,\ldots,m_n}a_{l_1,\ldots,l_n,m_1,\ldots,m_n}(x^1)^{l_1}\cdots (x^n)^{l_n}(y^1)^{m_1}\cdots (y^n)^{m_n} $$ と書ける．ここで $x^j = \frac{1}{2}(z^j + \bar{z}^j)$，$y^j = \frac{1}{2i}(z^j - \bar{z}^j)$ を代入し，同類項をまとめることで，𝑝 を $z^j, \bar{z}^j$ の多項式として表すことができる．この表現を $\tilde{p}$ と書く： \begin{align} \tilde{p}(z) =& p\left( \frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i} \right) \\ =& \sum_{l_1,\ldots,l_n,\, m_1,\ldots,m_n}\tilde{a}_{l_1,\ldots,l_n,m_1,\ldots,m_n}(z^1)^{l_1}\cdots(z^n)^{l_n}(\bar{z}^1)^{m_1}\cdots (\bar{z}^n)^{m_n} \end{align}

$z^j$ と $\bar{z}^j$ の依存性を分離するために，$\bar{z}^j$ の代わりに新しい独立変数 $w^j$ を導入することができる．多項式関数 $q : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$ を $$ q(z, w) = p\left( \frac{z + w}{2}, \frac{z - w}{2i} \right) $$ と定義すると，$\tilde{p}(z) = q(z, z)$ となる．このとき，$q$ が $w^1, \ldots, w^n$ に依存しないかどうかを問うことができる．

この意味で，多項式関数 $p$ については，$p$ が正則であるとは，$z_1, \ldots, z_n$ のみに依存し，$\bar{z}_1, \ldots, \bar{z}_n$ が現れない場合に限ると言える．同様の議論は $p$ が実解析的関数の場合にも成り立つが，その場合は上記の有限和が絶対収束する無限級数となる．絶対収束であれば，項の並べ替えによって収束性が損なわれることはない．この場合も，実解析的関数 $f$ が正則であるとは，$z_1, \ldots, z_n$ のべき級数として表せて，$\bar{z}_1, \ldots, \bar{z}_n$ が現れない場合に限る．

関数が単に滑らかであるだけの場合，これらの計算は意味を持たない．なぜなら，$(x^1,\ldots,x^n, y^1, \ldots, y^n)$ の実数値に対してのみ定義された関数に複素数を代入することはできないからである．しかし，上記の計算に動機づけられて，正則関数を「$z^1, \ldots, z^n$ に依存しない滑らかな関数」と直感的に考えることが役立つ場合がある．

さて，$M$ が複素多様体で，$(z_1, \ldots, z_n)$ が開集合 $U \subset M$ 上の局所正則座標であるとしよう．座標写像 $\varphi : U \to \mathbb{C}^n$ は，$U$ から $\mathbb{R}^{2n}$ への滑らかな座標写像ともみなすことができ，その座標関数は $(x^1, y^1, \ldots, x^n, y^n)$ で，$z^j = x^j + i y^j$ である．これらの座標から，滑らかな座標ベクトル場 $(\frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial y^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}, \frac{\partial}{\partial y^n})$ が得られ，滑らかな関数 $f : U \to \mathbb{C}$ に対して次のように作用する： $$ \frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_p f = \frac{\partial f}{\partial x^j}\bigg|_{\varphi(p)} (f \circ \varphi^{-1}), \quad \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_p f = \frac{\partial f}{\partial y^j}\bigg|_{\varphi(p)} (f \circ \varphi^{-1}). $$ 右辺の式は，$\mathbb{R}^{2n}$ 上の通常の偏微分である．$U \subset M$ 上で，$\frac{\partial}{\partial x^j}$ および $\frac{\partial}{\partial y^j}$ を滑らかなベクトル場として解釈し，式 (1.8) により $T_\mathbb{C}M$ の滑らかな局所複素フレーム $\{\frac{\partial}{\partial z^j}, \frac{\partial}{\partial \bar{z}^j}\}$ を定義する．これらのベクトル場は複素座標ベクトル場と呼ばれ，対応する局所フレームは複素座標フレームと呼ばれる．

次の命題は，正則座標系での計算方法を示す．

滑らかな（実）多様体論では，滑らかな実数値関数 $f$ の微分 $df_p$ は，$T_pM$ から $\mathbb{R}$ への線型写像（余ベクトル）として，あるいは $T_pM$ から $T_{f(p)}\mathbb{R}$ への線型写像として考えることができる．$T_{f(p)}\mathbb{R}$ と $\mathbb{R}$ との間には標準的な同一視があるので，どちらも同じ写像となり，$df_p$ という同じ記号を使うのが自然である．しかし，複素多様体論では事情が異なる．$f = u + iv : M \to \mathbb{C}$ が複素多様体 $M$ 上の複素値滑らかな関数であるとしよう．一方で，$df_p$ は複素値1-形式 $df = du + i dv$ の $p$ での値を表し，これは $(T^*_p M)_\mathbb{C}$ の元であり，$(T_p M)_\mathbb{C}$ から $\mathbb{C}$ への複素線型写像とみなすこともできる．座標公式を用いると，例えば次のようになる： $$ df_p\left( \frac{\partial}{\partial \bar{z}^j}\bigg|_p \right)=\frac{\partial f}{\partial \bar{z}^j}(p)\in\mathbb{C} $$ 一方で，$Df(p)$ は $(T_p M)_\mathbb{C}$ から $(T_{f(p)}\mathbb{C})_\mathbb{C}$ への複素線型写像であり，命題より次のようになる： $$ Df(p)\left( \frac{\partial}{\partial \bar{z}^j}\bigg|_p \right)=\frac{\partial f}{\partial \bar{z}^j}(p)\frac{\partial}{\partial \bar{w}^k}\bigg|_{f(p)}+\frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}^j}(p)\frac{\partial}{\partial w^k}\bigg|_{f(p)}\in(T_{f(p)}\mathbb{C})_\mathbb{C} $$ これらは本質的に異なる対象である．例えば，$f$ が正則関数なら $df(\partial/\partial z^j)$ は恒等的にゼロになるが，$Df(\partial/\partial z^j)$ はゼロにはならない．このため，両者の微分記号を区別し，「全微分」という用語は $Df(p)$ の方に使うのが適切である．

ここまでの計算から，複素多様体には標準的な向きが常に存在するという重要な性質が導かれる（念のため補足すると，複素多様体の向きとは，その基礎となる滑らかな実多様体の向きのことである）．

正則構造とその基礎となる滑らかな構造の相互作用をさらに掘り下げるために，次の線型代数的な構成を導入する．$V$ を $n$ 次元の複素ベクトル空間とし，$V_\mathbb{R}$ をその基礎となる実ベクトル空間とする（集合としては $V$ と同じだが，実数体 $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間として考える）．このとき，$V_\mathbb{R}$ は $2n$ 次元の実ベクトル空間となる．$V$ が複素ベクトル空間であるという事実は，ベクトルに $i$ を掛ける規則に符号化されている．これは写像 $J : V \to V$ であり，各ベクトル $v$ を $iv$ に写すものである．複素ベクトル空間としての構造を無視すると，$J$ は $J \circ J = -Id$ を満たす実線型写像 $J : V_\mathbb{R} \to V_\mathbb{R}$ としても考えられる．

ベクトル空間 $V$ 上の複素構造 $J$ をより深く理解するには，その固有値を調べる必要がある．$J \circ J = -\mathrm{Id}$ という事実から，任意の固有値 $\lambda$ は $\lambda^2 = -1$ を満たす必要がある．したがって，$J$ は実固有値を持たず，可能な複素固有値は $\pm i$ のみである．固有空間を求めるには，$V$ と $J$ を複素化する必要がある．$V_\mathbb{C}$ を $V$ の複素化，$J : V_\mathbb{C} \to V_\mathbb{C}$ を $J$ の複素化とする．この複素化された $J$ も $J \circ J = -\mathrm{Id}$ を満たす．

この構成を標準的な複素構造を持つ $\mathbb{C}^n$ に適用してみよう．$\mathbb{C}^n$ を複素ベクトル空間としての標準基底 $(X_1, \ldots, X_n)$ を考える．ここで $X_j = (0, \ldots, 1, \ldots, 0)$（$j$ 番目に $1$ があるベクトル）とする．$Y_j = J X_j = (0, \ldots, i, \ldots, 0)$ と定める．すると，$(X_1, Y_1, \ldots, X_n, Y_n)$ は基礎となる実ベクトル空間 $(\mathbb{C}^n)_\mathbb{R}$ の $\mathbb{R}$ 上の基底となり，$J$ は $J X_j = Y_j$, $J Y_j = -X_j$ を満たす．命題 1.52 より，$i$ 固有空間 $(\mathbb{C}^n)'$ は $(Z_1, \ldots, Z_n)$ で張られ，$Z_j = \frac{1}{2}(X_j - i Y_j)$ である．また，$(\mathbb{C}^n)''$ は $(\overline{Z}_1, \ldots, \overline{Z}_n)$ で張られる．

これらの構成はすべてベクトル束にも適用できる．

$\mathbb{C}^n$の場合を滑らかな多様体として考えよう．各点$p \in \mathbb{C}^n$について，標準的な同一視により$T_p\mathbb{C}^n$は$(\mathbb{C}^n)_{\mathbb{R}}$と対応し，次のような関係が成り立つ： $$ \frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_p \leftrightarrow X_j,\quad \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_p \leftrightarrow Y_j,\quad \frac{\partial}{\partial z^j}\bigg|_p \leftrightarrow Z_j $$ したがって，束$T\mathbb{C}^n$には標準的な複素構造$J_{\mathbb{C}^n}$が入り， $$ J_{\mathbb{C}^n}\frac{\partial}{\partial x^j}=\frac{\partial}{\partial y^j},\quad J_{\mathbb{C}^n}\frac{\partial}{\partial y^j}=-\frac{\partial}{\partial x^j} $$ 複素化された接束$T_{\mathbb{C}^n}$は$T'_{\mathbb{C}^n} \oplus T''_{\mathbb{C}^n}$と分解され，$T'_{\mathbb{C}^n}$は複素ベクトル場$\frac{\partial}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial z_n}$で張られ，$T''_{\mathbb{C}^n}$は$\frac{\partial}{\partial \bar{z}_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial \bar{z}_n}$で張られる．

この補題により，すべての複素多様体の接束上に標準的な複素構造を定義することができる．

接束 $T_\mathbb{C}M$ の分解（正則接束 $T'M$ と反正則接束 $T''M$）により，正則写像の正則ヤコビ行列を座標に依存しない方法で解釈できる．命題より，$F : M \to N$ が正則写像なら $DF(T'M) \subset T'N$ となる．$M$ の局所正則座標 $(z^j)$ と $N$ の局所正則座標 $(w^k)$ を用いると，系より $DF(p)$ の $T'_p M$ への制限は，正則ヤコビ行列 $(\partial F^k(p)/\partial z^j)$ で表される．以降，$D'F(p)$ という記法と「正則ヤコビ行列」という用語は，この $T'_p M$ から $T'_{F(p)}N$ への複素線型写像，または局所正則座標でのその行列表現のいずれかを指すものとする．

有限次元の実ベクトル空間には自然な滑らかな構造があり，各点での接空間はベクトル空間自身と標準的に同一視される．次の命題は，複素ベクトル空間についても同様の同一視が成り立つことを示している．

複素多様体 $M$ について，これまでにいくつか異なる種類の接束（$TM$, $T_\mathbb{C}M$, $T'M$, $T''M$）を導入した．もしまだ十分に混乱していなければ，ここでさらにもう一つ定義する：$T_J M$ とは，通常の接束 $TM$ と同じ全空間を持つ複素ベクトル束であり，各ファイバーには補題の $J_M$ によって定まる複素ベクトル空間構造が入っている．

参考のため，これらの束のまとめを示す．$M$ を複素 $n$ 次元多様体とする．

• $TM$: $M$ の通常の接束．これはランク $2n$ の実ベクトル束である．
• $T_\mathbb{C}M$: 複素化された接束．ランク $2n$ の複素ベクトル束である．
• $T'M$: 正則接束．$T_\mathbb{C}M$ の複素ランク $n$ の部分束で，各点で $J_M$ の $i$ 固有空間がファイバーとなる．
• $T''M$: 反正則接束．$T_\mathbb{C}M$ のもう一つの複素ランク $n$ の部分束で，各点で $J_M$ の $(-i)$ 固有空間がファイバーとなる．
• $T_JM$: $M$ の通常の接束に複素構造 $J_M$ を入れたもの．これによりランク $n$ の複素ベクトル束となる．

さて，$M$ が任意の滑らかな多様体であるとしよう．$TM$ 上に複素構造，すなわち $J : TM \to TM$ で $J \circ J = -\mathrm{Id}$ を満たす滑らかな束自己準同型が存在するかどうかを問うことができる．このような自己準同型の存在は，$M$ に正則構造（複素多様体構造）が存在するための必要条件ではあるが，十分条件ではないことは後で述べる．そのため，接束 $TM$ にこのような複素構造 $J$ が入っている多様体を概複素多様体と呼び，$J$ を $M$ 上の概複素構造と呼ぶ．用語の混乱に注意が必要であるが，$TM$ 上の複素構造を「$M$ 上の概複素構造」と呼ぶのは，従来「$M$ 上の複素構造」と呼ばれていたもの（本稿では「正則構造」と呼ぶ）と区別するためである．

命題は，複素多様体の正則構造が多様体$M$上に概複素構造（すなわち接束$TM$上の複素構造）を定めることを示している．自然に次の疑問が生じる：逆は成り立つだろうか？すなわち，滑らかな多様体$M$上に与えられた概複素構造$J$に対して，$J$が命題で述べた標準的な概複素構造となるような正則構造が存在するだろうか？一般には答えは否であり，次の命題の結果として非自明な必要条件が存在する．

概複素構造についても，同様の結果が成り立つかどうかを問うことができる．その根拠は次の補題による．

すべての2次元実多様体上の概複素構造は可積分である．しかし，より高次元の場合，可積分性は自明ではない．

可積分性条件は，滑らかな多様体上の分布（接束の部分束）に対する「閉包性」の条件と形式的に似ている．これは，分布が葉層（葉状分解）に接するための必要十分条件である．しかし，$T'M$ は（実）接束の部分束ではないため，$T'M$ に対応する葉層は存在しない．

次の系は命題から直ちに従うものである．

この逆の重要な事実は，1957年にAugust NewlanderとLouis Nirenbergによって証明された．すなわち，可積分性が十分条件でもあることを示している．

この定理の応用は本稿では扱わない．この定理にはいくつか異なる証明が知られており，いずれも偏微分方程式論の深い結果に基づいている．

すべての滑らかな多様体が概複素構造を持つわけではない．簡単な必要条件として，その多様体は偶数次元かつ向き付け可能でなければならない．2次元の場合，これらの条件は十分である．しかし高次元では，より複雑な位相的障害が存在し，簡単には記述できない．概複素構造を持つ球面は $\mathbb{S}^2$と $\mathbb{S}^6$の2つだけである．$\mathbb{S}^2$ 上の構造は可積分であり，これを複素多様体としてみると $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ と双正則同型になる．一方，$\mathbb{S}^6$ 上の既知の構造は可積分ではなく，$\mathbb{S}^6$ が正則構造（複素多様体構造）を持つかどうかは未解決である．1953年，Armand Borel と Jean-Pierre Serre によって，$\mathbb{S}^2$ と $\mathbb{S}^6$ だけが概複素構造を持つ唯一の球面であることが証明された．したがって，他の球面は複素多様体にすることはできない．ここでは主に複素多様体（すでに標準的な概複素構造を持つもの）の研究を扱うため，一般の概複素構造の存在問題についてはこれ以上深入りしない．

複素微分形式

複素多様体 $M$ では，$T_\mathbb{C}M$ の分解 $T'M \oplus T''M$ から，すべての複素値微分形式の対応する分解が導かれる．この分解を用いて，双正則不変量であるDolbeaultコホモロジー群を構成することができる．

$\Lambda^k_\mathbb{C} M$ の各点 $a \in M$ におけるファイバーは，$(T_a M)_\mathbb{C}$ から $\mathbb{C}$ への交代的複素多重線型写像の空間とみなせる．複素化された任意の束と同様に，$\Lambda^k_\mathbb{C} M$ の任意の滑らかな切断は，通常の実 $k$-形式 $\omega$ と $\eta$ を用いて $\omega + i\eta$ の形で一意的に書ける．また，$\Lambda^k_\mathbb{C} M$ には自然な共役作用（$\omega + i\eta \mapsto \omega - i\eta$）が定まる．複素微分形式 $\omega$ が $\overline{\omega} = \omega$ を満たすとき，$\omega$ を実であるという．外微分作用素 $d$ は複素線型性によって複素微分形式にも直ちに拡張でき，$d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge d\beta$ という反微分則も，$\alpha$ が複素 $k$-形式，$\beta$ が複素 $l$-形式の場合に成り立つ．複素 $k$-形式の実 $k$ 次元多様体上での積分は，実部と虚部をそれぞれ積分することで定義される（多様体または $k$-形式の台がコンパクトな場合）．このとき，Stokesの定理も複素微分形式に対して成り立つ．

接束 $TM$ 上の複素構造により，複素微分形式の分解に関して，実部・虚部による分解よりも有用な別の方法が得られる．任意の正則局所座標 $(z_1, \ldots, z_n)$ の定義域では，1-形式 $(dz^1, \ldots, dz^n, d\bar{z}^1, \ldots, d\bar{z}^n)$ が複素化された余接束の局所フレームを与える．したがって，次の形の微分形式全体は $\Lambda^k_\mathbb{C} M$ の滑らかな局所フレームとなる： $$ \{dz^{j_1}\wedge\cdots\wedge dz^{j_p}\wedge d\bar{z}^{l_1}\wedge\cdots\wedge d\bar{z}^{l_q} \mid 1 \leq j_1 < \cdots < j_p \leq n, 1 \leq l_1 < \cdots < l_q \leq n, p + q = k\} $$

各項が正則局所座標で表したときに，ちょうど $p$ 個の $dz^j$ と $q$ 個の $d\bar{z}^l$ を含むような複素微分形式を分離したい．しかしこの定義を意味あるものにするには，座標系によらず定義できることを確認する必要がある．それは次の補題から従う．

$\Lambda^{p,q}M \subset \Lambda^k_{\mathbb{C}}M$ を型 $(p, q)$ の形式全体の部分集合とする．補題より，$\Lambda^{p,q}M$ は $\Lambda^k_{\mathbb{C}}M$ の滑らかな切断で局所的に張られるので，これは滑らかな部分束となる．さらに，任意の複素 $k$-形式は $p + q = k$ となる型 $(p, q)$ の形式の和として書け，$\Lambda^{p,q}M \cap \Lambda^{p',q'}M$ は $p = p', q = q'$ の場合以外は零形式しか含まないので，次のようなホイットニー和分解が成り立つ： $$ \Lambda_{\mathbb{C}}^{k}M=\bigoplus_{p+q=k}\Lambda^{p,q}M $$ したがって，各 $(p, q)$ に対して座標系によらない射影作用素 $$ \pi^{p,q}:\Lambda_{\mathbb{C}}^{k}M \to \Lambda^{p,q}M $$ が定まる．$\mathcal{E}^k(M)$ は $\Lambda^k_{\mathbb{C}}M$ の滑らかな切断全体の空間，$\mathcal{E}^{p,q}(M)$ は $\Lambda^{p,q}M$ の滑らかな切断全体の空間を表す記号とする．慣習として，複素 $n$ 次元多様体上では $0 \leq p, q \leq n$ 以外では $\mathcal{E}^{p,q}(M) = 0$，また $0 \leq k \leq 2n$ 以外では $\mathcal{E}^k(M) = 0$ である．

型による微分形式の分解が本当に有用となるのは，次の命題によるものである．

この命題のおかげで，次の定義を導入することができる．

より一般に，$\alpha$ が任意の複素微分形式であるとき，$\alpha$ を型 $(p, q)$ の項に分解し，上記の公式を各項に個別に適用することで $\bar{\partial}\alpha$ および $\partial\alpha$ を定義する．これらの作用素は，イギリスの数学者 William V. D. Hodgeによって最初に導入され，後に Pierre Dolbeault がDolbeault定理の証明に用いたことから，Dolbeault作用素と呼ばれるようになった．

演算子 $\partial$ はCauchy-Riemann演算子と呼ばれることもあるが，これは次の結果に由来する．

Dolbeault作用素の重要性は，それらが正則写像によって保存されるという事実に由来する．

これにより，双正則不変量の新しい族を定義することができる．まず，代数的位相幾何学でよく知られているいくつかの定義を挙げておく．

実際には，コチェイン複体の各群はある範囲の $q$ に対してのみ定義されることが多く，それ以外の $q$ については $A^q = 0$ とする．このような複体は $A^*$ と記すことが多く，準同型写像は文脈から明らかである．

$A^*$ がベクトル空間のコチェイン複体である場合，そのコホモロジー群も同じ圏（ベクトル空間の圏）の対象となる．

参考までに，チェイン複体とは，アーベル群（または実・複素ベクトル空間）の列 $A^* = \{A_q : q \in \mathbb{Z}\}$ であり，準同型写像 $\partial_q : A_q \to A_{q-1}$ が添字の減少方向に定義され，$\partial_{q-1} \circ \partial_q = 0$ を満たすものをいう．この場合の商群はホモロジー群と呼ばれ，$H_q(A^*)$ で表される．チェイン複体 $A^*, B^*$ の間のチェイン写像とは，各 $q$ に対して準同型写像 $\varphi_q : A_q \to B_q$ の族であり，$\varphi_{q-1} \circ \partial_q = \partial_q \circ \varphi_q$ を満たすものをいう．これらも誘導ホモロジー写像 $\varphi^* : H_q(A^*) \to H_q(B^*)$ を定める．

これらの空間は，$0 \leq p, q \leq n$ の範囲以外ではゼロである（理論的には，これらの空間は $\bar{\partial}$ ではなく $\partial$ を使って定義することもできるが，$\bar{\partial}$ は正則関数を特徴づけるため，こちらが好まれる）．

これらは滑らかな多様体のBetti数 $b_k(M) = \dim H^k_{\mathrm{dR}}(M)$（ここで $H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ は $k$ 次de Rhamコホモロジー群）と類似している．ただし，Betti数が位相不変量であるのに対し，Hodge数は一般に多様体の正則構造（複素構造）に依存する．

Dolbeaultコホモロジー群は，「どの$\bar{\partial}$閉形式が$\bar{\partial}$完全形式か？」という問いに答えるものであり，de Rhamコホモロジー群が「どの$d$閉形式が$d$完全形式か？」という問いに答えるのと同じ役割を持つ．de Rham群の重要な特徴は，滑らかな多様体上の$d$閉形式が常に局所的に完全であることである（これはPoincaréの補題の直接的な結果であり，$\mathbb{R}^N$の星型開集合上のすべての$d$閉形式は完全であることを述べている）．したがって，de Rham群は多様体の大域的な性質を反映している．次の定理は，$\bar{\partial}$閉形式についても同様の事実が成り立つことを示している．

正則ベクトル束については，「束値微分形式」を用いて構成される一般化されたDolbeault複体が存在する．その仕組みは次の通りである．

滑らかな多様体 $M$ と滑らかな複素ベクトル束 $E \to M$ から始める．$\mathrm{End}(E) \to M$ を $E$ の自己準同型束とすると，これは $E \otimes E^*$ と標準的に同型である（正則束の場合の証明は例3.24参照．滑らかな場合も全く同じ議論で示せる）．

$\Lambda^q_\mathbb{C} M \otimes E$ の滑らかな切断全体の空間を $\mathcal{E}^q(M; E)$ と表す．特に，$\mathcal{E}^0(M; E)$ は $E$ の滑らかな切断全体の空間である．同様に，$\Lambda^q_\mathbb{C} M \otimes \mathrm{End}(E)$ は自己準同型値 $q$-形式の束であり，その滑らかな切断全体の空間を $\mathcal{E}^q(M; \mathrm{End}(E))$ と表す．

束値微分形式や自己準同型値微分形式には，いくつか自然なウェッジ積（外積）演算が定義できる．$E \to M$ が滑らかな複素ベクトル束であるとする． 最も基本的なのは，通常の（スカラー値）微分形式と $E$ 値微分形式のウェッジ積である．$\alpha \in \mathcal{E}^q(M)$，$\beta \otimes \sigma \in \mathcal{E}^{q'}(M; E)$ に対して， $$ \alpha\wedge(\beta\otimes\sigma)=(\alpha\wedge\beta)\otimes\sigma\in\mathcal{E}^{q+q'}(M;E) $$ と定義し，このようなテンソル積の和に線型に拡張する．この式は $\beta$ と $\sigma$ に双線型的に依存するので，テンソル積空間の特徴付け（$\mathbb{C}$ や $\mathbb{R}$ 上でも成り立つ）から，これは良く定義されていることが分かる．$E$ の局所フレーム $(s_j)$ を用いると，$\beta = \beta^j \otimes s_j$（縮約記法）と書けるので， $$ \alpha\wedge(\beta^j\otimes s_j)=(\alpha\wedge\beta^j)\otimes s_j $$ 特に，$\beta$ が $E$ 値 0-形式（すなわち $E$ の滑らかな切断）の場合，$\alpha \wedge \beta$ は単に $\alpha \otimes \beta$ と同じ意味になる．また，$\alpha$ が 0-形式（滑らかな関数）の場合，$\alpha \wedge \beta = \alpha \beta$ となる．

$E$値微分形式と$E^*$値微分形式の間にも，スカラー値微分形式を得るウェッジ積演算が定義できる．すなわち， $$ \wedge:\mathcal{E}^q(M;E^*)\times \mathcal{E}^{q'}(M;E)\to\mathcal{E}^{q+q'}(M) $$ を $$ (\gamma\otimes\varphi)\wedge(\beta\otimes\sigma)=\varphi(\sigma)(\gamma\wedge\beta)\in\mathcal{E}^{q+q'}(M) $$ （$\gamma\otimes\varphi\in\mathcal{E}^q(M;E^*)$，$\beta\otimes\sigma\in\mathcal{E}^{q'}(M;E)$）で定義し，双線型に拡張する．局所フレーム$(s_j)$とその双対フレーム$(\varepsilon^k)$を用いると， $$ (\gamma_k\otimes\varepsilon^k)\wedge(\beta^j\otimes s_j)=\gamma_j\wedge\beta^j $$ となる．

特に重要なのは，自己準同型値微分形式とのウェッジ積である．$\alpha \otimes A \in \mathcal{E}^q(M; \mathrm{End}(E))$，$\beta \otimes B \in \mathcal{E}^{q'}(M; \mathrm{End}(E))$，$\gamma \otimes \sigma \in \mathcal{E}^{q''}(M; E)$ に対して， \begin{align} (\alpha\otimes A)\wedge(\beta\otimes B) =& (\alpha\wedge\beta)\otimes(A\circ B)\in\mathcal{E}^{q+q'}(M; \mathrm{End}(E)) \\ (\alpha\otimes A)\wedge(\gamma\otimes\sigma) =& (\alpha\wedge\gamma)\otimes A(\sigma)\in\mathcal{E}^{q+q''}(M; E) \end{align} と定義し，双線型に拡張する．局所的な計算方法を見るため，$(s_j)$ を $E$ の局所フレーム，$(\varepsilon^k)$ を $E^*$ の双対フレームとする．標準的な同型 $\mathrm{End}(E) \cong E \otimes E^*$ により，$\omega \in \mathcal{E}^q(\mathrm{End}(E))$ の各切断は局所的に $$ \omega = \omega^j_k \otimes s_j \otimes \varepsilon^k $$ の形で一意的に表される（$\omega^j_k$ は通常の $q$-形式の行列）．テンソル積 $s_j \otimes \varepsilon^k$ は，基底要素 $s_i$ への作用が $(s_j \otimes \varepsilon^k)(s_i) = \delta^k_i s_j$ となる $E$ の自己準同型を表す．したがって，上記のウェッジ積は \begin{align} \omega \wedge \eta =& (\omega^j_k \otimes s_j \otimes \varepsilon^k)\wedge(\eta^l_m\otimes s_l \otimes \varepsilon^m) \\ =& (\omega^j_k\wedge\eta^l_m)\otimes(\delta^k_l s_j\otimes\varepsilon^m) \\ =& (\omega^j_k \wedge \eta^k_m)\otimes (s_j \otimes \varepsilon^m) \end{align} となる．つまり，$\omega \wedge \eta$ を表す形式の行列は，$\omega$ と $\eta$ の行列の積（各成分はウェッジ積）で与えられる（$\omega^j_k$ の上付き添字は行番号，下付き添字は列番号と解釈する）．同様に，$\gamma = \gamma^m \otimes s_m$ が $\mathcal{E}^{q''}(M; E)$ の局所表現なら， $$ \omega \wedge \gamma = (\omega^{j}_{k}\wedge \gamma^k)\otimes s_j $$

束 $E$ が正則である場合，特別なことが起こる．

一般に，正則ベクトル束上には自然な $\bar{\partial}$ 演算子は存在しないことに注意．$\bar{\partial}_E$ を定義できる理由は，異なる正則フレームをつなぐ遷移関数が正則であり，したがってスカラーの$\bar{\partial}$ 演算子で消える（ゼロになる）ためである．

この構成の中でも特に重要なのは，束 $\Lambda^{p,0}M$ に対する場合である．$(z^j)$ と $(\tilde{z}^j)$ が $M$ の重なる正則座標チャートであれば，$\Lambda^{p,0}M$ の局所座標フレームは次のように変換される： $$ d\tilde{z}^{j_1}\wedge\cdots\wedge d\tilde{z}^{j_p}=\sum_{i_1,\ldots,i_p=1}^{n}\frac{\partial \tilde{z}^{j_1}}{\partial z^{i_1}}\cdots\frac{\partial \tilde{z}^{j_p}}{\partial z^{i_p}}dz^{i_1}\wedge\cdots\wedge dz^{i_p} $$ したがって，両フレーム間の変換関数は正則関数となる．このため，$\Lambda^{p,0}M$ には正則ベクトル束としての構造が入る．また，この場合の束値$\bar{\partial}$演算子が通常の$\bar{\partial}$と一致する（ただし，$\Lambda^{p,q}M$（$q \neq 0$）には自然な正則構造は入らず，単なる滑らかな束である）．$\Lambda^{p,0}M$ の切断 $\alpha$ が正則であることと，$\bar{\partial}\alpha = 0$ であることは同値である．

より一般的には，$E \to M$ が正則ベクトル束である場合，束 $\Lambda^{p,0} \otimes E$ も正則ベクトル束となる．このとき，その正則切断は，局所的に正則形式と$E$の正則切断のテンソル積の有限和として表せるもの全体である．$\Lambda^{p,0} \otimes E$ の正則切断全体の空間を $\Omega^p(M; E)$ で表す．

エルミート多様体とKähler多様体

この節では，複素多様体上の正則構造と計量構造（接束上の計量）の関係について解説する．まず，接束上のエルミート計量の基本的な性質と，それがRiemann計量とどのように関係するかを述べる．続いて，特に重要な場合であるKähler計量に焦点を当てる．Kähler計量とは，エルミート計量のうち，Riemann構造と正則構造がより密接に結びつく追加条件を満たすものである．Kähler計量を持つ複素多様体は，複素多様体の中でも最も重要なクラスである．

接束上のエルミート計量

$M$を複素多様体とする．概複素構造$J$によって接束$TM$は複素ベクトル束$T_J M$となるので，$T_J M$上のエルミートファイバー計量を考えることができる．$J$は$T_J M$上で $i$の乗法として働くため，この場合のエルミートファイバー計量とは，写像$h : \Gamma(T_J M) \times \Gamma(T_J M) \to C^\infty(M; \mathbb{C})$であり，以下のすべてを満たすものである：

• $h$は$C^\infty(M; \mathbb{R})$上双線型である．
• $h(JX, Y) = i h(X, Y)$である．
• $h(X, JY) = -i h(X, Y)$である．
• $h(Y, X) = \overline{h(X, Y)}$である．
• $X \neq 0$ の点では $h(X, X) > 0$である．

エルミートファイバー計量はRiemann計量ではない．なぜなら，その値が必ずしも実数になるとは限らないからである．しかし，次の補題が示すように，その実部はRiemann計量となる．

虚部について何が言えるかを問うのは自然なことである．次の補題がその問いに答えている．

$\omega$の定義で負符号を選ぶ理由については，以下で明らかになる．

もう一つ自然な疑問は次の通りである：複素多様体$M$上にRiemann計量$g$が与えられたとき，$h = g - i\omega$が$T_J M$上のエルミートファイバー計量となるような2-形式$\omega$を見つけることができるか？まず注意すべきは，そのような$\omega$が存在するとすれば，$\omega$は$g$によって一意的に定まるということである．

さて次の疑問が生じる：Riemann計量$g$が与えられたとき，2-形式$\omega$を上式で定義し，$h = g - i\omega$が$T_J M$上のエルミートファイバー計量となるのはどのような場合か？次の命題がこの問いにいくつかの方法で答えている．

これまでの議論では，Riemann計量から出発し，それが$T_J M$上のエルミートファイバー計量を定めるための条件を考えてきた．一方で，2-形式$\omega$から出発し，$\omega$が基本2-形式となるようなエルミート計量$g$が存在するかどうかを問うこともできる．次の補題は，そのような$g$が存在すれば，$\omega$によって一意的に定まることを示している．

もう一つ自然な疑問は次の通りである：2-形式$\omega$が与えられたとき，$\omega(X, JY)$で$g(X, Y)$を定義すると，$g$がエルミート計量となるのはどのような場合か？補題より，必要条件の一つは$\omega$が型$(1,1)$の形式であることである．もう一つ明らかな必要条件は，$\omega$が正値形式であることである．なぜなら，$g$が正定値でなければならないからである．次の命題は，これら2つの条件が十分条件でもあることを示している．

型(1,1)形式の正値性は，1次元複素部分多様体の向きとの関係から自然な条件であるため，前述の補題は基本2-形式の定義で負符号を選ぶ理由のもう一つの根拠を与えている．

もう一つ自然な疑問がある．自然な同型$T_J M \cong T'M$によって，束$T_J M$には正則ベクトル束としての構造が入る．したがって，エルミートファイバー計量$h = g - i\omega$ は$TM$上にChern接続を定める．このとき，$h$のChern接続が$g$のLevi-Civita接続と一致するかどうかが気になるかもしれない．答えは「常に一致するわけではない」であり，両者が一致する条件については次節で詳しく述べる．

Kähler計量

Kähler計量の計算を効率的に行うために，いくつかの添字の約束を導入する．$M$が$n$次元複素多様体であるとする．$M$の任意の局所正則座標$(z_1,\ldots,z_n)$が与えられたとき，複素化された接束の局所フレーム$(\partial/\partial z_1,\ldots, \partial/\partial z_n, \partial/\partial \bar{z}_1,\ldots, \partial/\partial \bar{z}_n)$を用いる（$1$から$2n$まで番号付け）．各添字$j\in\{1,\ldots,n\}$について，$\bar{j}$は$j+n$を意味し，$z_{\bar{j}}$は$\bar{z}_j$と同義とする．次の略記を用いる： $$ \partial_j=\frac{\partial}{\partial z^j},\quad \partial_{\bar{j}}=\frac{\partial}{\partial\bar{z}^j} $$ このような添字に関する縮約（和）は，$n=\dim_\mathbb{C}M$までの範囲で暗黙的に行う．例えば，式$V^j\partial_j+V^{\bar{j}}\partial_{\bar{j}}$は $$ \sum_{j=1}^{n}V^j\frac{\partial}{\partial z^j}+\sum_{j=1}^{n}V^{\bar{j}}\frac{\partial}{\partial\bar{z}^j} $$ の略記である．

ここで$g$がエルミート計量であると仮定しよう（今はKählerであるとは仮定しない）．前節と同様に，$g$を複素ベクトル場の組に複素双線型性で拡張する．ただし，簡単のため，今後は$g$とその複素双線型拡張を記号上区別せず，どちらも同じ記号$g$を用いることにする．

局所正則座標系で，計量$g$の複素化は次のように書ける： $$ g = g_{jk}dz^j \otimes dz^k + g_{j\bar{k}}dz^j \otimes d\bar{z}^k + g_{\bar{j}k}d\bar{z}^j \otimes dz^k + g_{\bar{j}\bar{k}}d\bar{z}^j \otimes d\bar{z}^k $$ ここで$g_{jk} = g(\partial_j, \partial_k)$，$g_{j\bar{k}} = g(\partial_j, \partial_{\bar{k}})$などである．$g$は実対称テンソルの複素化なので， $$ \overline{g_{jk}} = g_{\bar{j}\bar{k}} = g_{\bar{k}\bar{j}},\quad \overline{g_{j\bar{k}}} = g_{\bar{j}k} = g_{k\bar{j}} $$ が成り立つ．さらに，$g$は$T'M$のベクトル同士に作用するとゼロになるので，$g_{jk} = 0$かつ$g_{\bar{j}\bar{k}} = 0$となる．したがって， \begin{align} g &= g_{j\bar{k}}dz^j \otimes d\bar{z}^k + g_{\bar{j}k}d\bar{z}^j \otimes dz^k \\ &= 2g_{j\bar{k}}\left( \frac{dz^j \otimes d\bar{z}^k + d\bar{z}^j \otimes dz^k}{2} \right) \\ &= 2g_{j\bar{k}}dz^j d\bar{z}^k \end{align} ここで$dz^j d\bar{z}^k$の並置は対称積を表す．Riemann計量$g$はこのテンソルを実ベクトル場の組に制限したものである．例えば，$X, Y$が実ベクトル場で，局所的に$X = X^j \partial_j + X^{\bar{j}} \partial_{\bar{j}}$，$Y = Y^j \partial_j + Y^{\bar{j}} \partial_{\bar{j}}$と書けるとき， $$ g(X, Y) = g_{j\bar{k}}(X^j Y^{\bar{k}} + Y^j X^{\bar{k}}) $$ となり，特に$g(X, X) = 2g_{j\bar{k}}X^j X^{\bar{k}}$となる．

多くの計算では，複素化された接束全体にエルミートファイバー計量が必要となる．複素ベクトル場$X, Y$に対して， $$ \langle X, Y \rangle = g(X, \overline{Y}) $$ と定義し，対応するノルムを$|X| = \langle X, X \rangle^{1/2}$と表す．この計量がエルミート計量であることは容易に確認でき，実ベクトル場に対しては$g$と一致する．さらに，$g(Z, W) = 0$となるのは$Z, W$がともに$T'M$または$T''M$の切断の場合に限るので，このファイバー計量によって$T'M$と$T''M$は直交する．

もちろん，すでに$T_J M$上のエルミートファイバー計量を$h = g - i\omega$で定義している．新しく導入したこの内積が，$\xi : T_J M \to T'M$（$\xi(v) = v - iJv$）という同型写像のもとで$h$と一致することを期待するかもしれないが，実際にはそうならない．実ベクトル場$X, Y$に対して， \begin{align} \langle \xi(X),\xi(Y) \rangle =& \langle X-iJX,Y-iJY \rangle = g(X-iJX,Y+iJY) \\ =& g(X,Y)-ig(JX,Y)+ig(X,JY)+g(JX,JY) \\ =& 2g(X,Y)-2i\omega(X,Y)=2h(X,Y) \end{align} この不一致は，$\xi$の定義に$1/\sqrt{2}$の係数を加えることで回避できたかもしれない．しかし，今後は主に内積$\langle \cdot, \cdot \rangle$を使ってノルムを計算するため，式が煩雑になるだけなのでそのような修正は行わない．

正則座標系で，$T'M$の切断$Z, W$に対して次のようになる： $$ \langle Z, W \rangle = g(Z^j \partial_j, W^{\bar{k}} \partial_{\bar{k}}) = g_{j\bar{k}} Z^j W^{\bar{k}} $$ ここで$W^{\bar{k}}$は$W$の成分である．一方，$X, Y$が実ベクトル場で，$X = Z + \bar{Z}$，$Y = W + \bar{W}$（$Z, W \in \Gamma(T'M)$）と分解できるとき， $$ \langle X, Y \rangle = g(Z + \bar{Z}, \bar{W} + W) = g(Z, \bar{W}) + g(W, \bar{Z}) = g_{j\bar{k}}(Z^j W^{\bar{k}} + W^j Z^{\bar{k}}) $$ 特に$X = Z + \bar{Z}$の場合， $$ |X|^2 = |Z + \bar{Z}|^2 = |Z|^2 + |\bar{Z}|^2 = 2|Z|^2 = 2g_{j\bar{k}} Z^j Z^{\bar{k}} $$

したがって，$\sharp$（シャープ）と$\flat$（フラット）はともに滑らかな（ただし正則ではない）複素線型な束同型写像である．例えば，$Z \in \Gamma(T'M)$と$Y$が任意の複素ベクトル場のとき， $$ Z^{\flat}(Y)=g(Z,Y)=g(Z^j\partial_j,Y^k\partial_k+Y^{\bar{k}}\partial_{\bar{k}})=g_{j\bar{k}}Z^jY^{\bar{k}} $$ となる．したがって，$Z^{\flat}$の座標表示は$Z_k dz^k$（$Z_k = g_{j\bar{k}}Z^j$）と書ける．フラット作用素は$T'M$を$\Lambda^{0,1}M$に，$T''M$を$\Lambda^{1,0}M$に写すことに注意．より一般に，行列$g_{j\bar{k}}$とその逆行列$g^{j\bar{k}}$を用いて，任意の型の複素テンソルの添字を上げ下げすることができる．

次に，基本2-形式$\omega$の座標表示を見てみよう．$\omega$は型$(1,1)$の形式なので，正則座標系では $dz^j \wedge d\bar{z}^k$を含む項だけが非ゼロとなる．反対称性から，添字の名前を適切に付け替えれば，これらの項だけをまとめて書くことができる．したがって，$\omega = \omega_{j\bar{k}} dz^j \wedge d\bar{z}^k$の形で書ける．係数関数$\omega_{j\bar{k}}$を求めるために計算すると， $$ \omega_{j\bar{k}} = \omega(\partial_j, \partial_{\bar{k}}) = g(J\partial_j, \partial_{\bar{k}}) = i g(\partial_j, \partial_{\bar{k}}) = i g_{j\bar{k}} $$ よって， $$ \omega = i g_{j\bar{k}} dz^j \wedge d\bar{z}^k $$ の$g$の公式には係数2が現れるが，この$\omega$の公式には現れない理由は，ウェッジ積の約束によるものである．本書では「行列式の約束」と呼ばれる規約を使っており，1-形式$\omega, \eta$に対して$\omega \wedge \eta = \omega \otimes \eta - \eta \otimes \omega$となる．一方，対称積は$\omega \eta = \frac{1}{2}(\omega \otimes \eta + \eta \otimes \omega)$である．もう一つのよく使われる「Alt規約」を使うと，$\omega$の公式にも係数2が現れることになる．）

特に，$\mathbb{C}^n$上の標準的な計量の場合，基本2-形式は$\omega = \sum_j dx^j \wedge dy^j$で与えられる．これを正則座標に変換すると，$dx^j = (dz^j + d\bar{z}^j)/2$，$dy^j = (dz^j - d\bar{z}^j)/(2i)$となるので， $$ \omega = \frac{i}{2} \sum_j dz^j \wedge d\bar{z}^j,\quad g = \sum_j dz^j d\bar{z}^j $$ となる．したがって，標準計量の係数は $g_{j\bar{k}} = \frac{1}{2} \delta_{j k}$ である．

次の定理は，Kähler計量が特別である理由の多くを示すと同時に，エルミート計量の中からKähler計量を特徴づける多くの別の方法を与えている．定理の主張に入る前に，$T'M$が正則ベクトル束であるため，同型写像$\xi : T_J M \to T'M$によって$T_J M$にも正則ベクトル束構造を入れることができることに注意しておく．

前定理の(2)より，すべてのKähler計量は各点の近傍でKählerポテンシャルを持つことが分かる．しかし，後述する定理で見るように，コンパクトKähler多様体ではKähler形式$\omega$が決して完全形式にならないため，大域的なKählerポテンシャルは存在しない．

Kähler計量の例

Kähler計量の例は多数存在する．

Fubini-Study計量の最も重要な特徴の一つは，その計量が「斉次的」（homogeneous）であることである．ユニタリ群$U(n+1) \subset GL(n+1, \mathbb{C})$は，$\mathbb{C}^{n+1}$の一次元部分空間上に推移的に作用するため，射影変換によって$\mathbb{CP}^n$上にも推移的に作用する．

ここで，Kähler多様体のもう一つの例のクラスを紹介する．

一方で，Kähler計量を持たない複素多様体も存在する．これらの例を示すためには，次の補題が必要となる．

ここで，Kähler計量の存在に対する最初の位相的障害を述べる．

Kähler計量の曲率

もともとは実ベクトル場に対してのみ定義されていた$R$および$Rm$は，同じ公式を用いて複素ベクトル場にも拡張できる．Riemann曲率テンソルは$C^\infty(M; \mathbb{C})$上多重線型であり，すべての複素ベクトル場$W, X, Y, Z$について標準的なRiemann幾何の対称性を満たす： \begin{align} Rm(W,X,Y,Z) =& -Rm(X,W,Y,Z) \\ Rm(W,X,Y,Z) =& -Rm(W,X,Z,Y) \\ Rm(W,X,Y,Z) =& Rm(Y,Z,W,X) \\ Rm(W,X,Y,Z)+Rm(X,Y,W,Z)+Rm(Y,W,X,Z) =& 0 \end{align} （最後の式は代数的Bianchi恒等式と呼ばれる）．複素ベクトル場についても成り立つことは，$T_\mathbb{C}M$の局所フレームを実ベクトル場で選べることから，複素多重線型性により実の場合から従う．さらに，複素ベクトル場への$Rm$の作用は実ベクトル場への作用を複素多重線型性で拡張したものであるため，次の関係が成り立つ： $$ \overline{Rm(W,\bar{X},Y,\bar{Z})}=Rm(\bar{W},X,\bar{Y},Z) $$

Kähler多様体上では，さらに追加の対称性が成り立つ．

正則座標系での接続と曲率の公式を計算してみよう．$g_{lp} = 0$および$\partial_j g_{l\bar{q}} = \partial_l g_{j\bar{q}}$という事実を用いると，次のように計算できる： \begin{align} \Gamma_{jl}^{p} =& \frac{1}{2}g^{p\bar{q}}(\partial_jg_{l\bar{q}}+\partial_{l}g_{j\bar{q}}-\partial_{\bar{q}}g_{lp}) \\ =& g^{p\bar{q}}\partial_jg_{l\bar{q}} \end{align} （これは，定理の(6)により$\nabla$が$T'M$上のChern接続に制限されることの反映でもあり，その接続1-形式が前の式で決まることを意味する）．他に非ゼロとなるChristoffel記号は，これらの複素共役で得られるものだけである．

この公式を用いることで，曲率エンドモルフィズム場およびRiemann曲率テンソルの成分を計算できる． \begin{align} R(\partial_j,\partial_{\bar{k}}) =& \nabla_{\partial_j}\nabla_{\partial_{\bar{k}}}\partial_l-\nabla_{\partial_{\bar{k}}}\nabla_{\partial_j}\partial_l-\nabla_{[\partial_j,\partial_{\bar{k}}]}\partial_l \\ =& -\partial_{\bar{k}}(\Gamma^{p}_{jl})\partial_p-\Gamma^p_{jl}\nabla_{\partial_{\bar{k}}}\partial_{p} \end{align} よって \begin{align} R_{j\bar{k}l}{}^{p} =& -\partial_{\bar{k}}(\Gamma^{p}_{jl}) = -\partial_{\bar{k}}(g^{p\bar{q}}\partial_{j}g_{l\bar{q}}) \\ R_{j\bar{k}l\bar{m}} =& -g_{p\bar{m}}\partial_{\bar{k}}(\Gamma^{p}_{jl})=-g_{p\bar{m}}\partial_{\bar{k}}(g^{p\bar{q}}\partial_jg_{l\bar{q}}) \end{align} これらの公式は後の章でも利用する．

Kähler計量が与えられると，断面曲率と密接に関係する新しい曲率不変量を定義することができる．

この補題は，正則切断曲率が曲率テンソルに含まれる情報の一部（すなわち，正則ベクトルの実部と虚部，あるいは$\{X, JX\}$の形の実ベクトルの組が張る平面の切断曲率）しか反映しないように見えるが，Kähler対称性のおかげで，実際には正則切断曲率だけで曲率テンソル全体が決定されることが分かる．

したがって，すべての次元において，正則切断曲率が正（Fubini-Study計量），ゼロ（Euclid計量），負（複素双曲計量）であるKähler多様体の例が得られる．これらの計量に定数倍を施すことで，任意の実定数の正則切断曲率を持つKähler計量を得ることができる．次の定理は，ある意味でこれらが唯一の可能性であることを示している．この定理は，Riemann計量の等長写像の解析的延長の理論に基づいている．基本的な定義は次の通りである：$(M, g)$と$(\hat{M}, \hat{g})$が同じ次元のRiemann多様体であり，$\varphi : U \to \hat{M}$が連結な開集合$U \subset M$上で定義された局所等長写像（すなわち，$\varphi^*\hat{g} = g$を満たす滑らかな写像）であるとする．$M$上の連続な経路$\gamma : [0, 1] \to M$で$\gamma(0) \in U$となるものに対し，$\varphi$の$\gamma$に沿った解析的延長とは，$\{(U_t, \varphi_t) : t \in [0, 1]\}$という族であり，各$U_t$は$\gamma(t)$の連結な近傍，$\varphi_t : U_t \to \hat{M}$は局所等長写像で，$\varphi_0 = \varphi$が$U_0 \cap U$上で一致し，各$t \in [0, 1]$についてある$\delta > 0$が存在して$|t - t_1| < \delta$なら$\gamma(t_1) \in U_t$かつ$\varphi_t$と$\varphi_{t_1}$が$U_t \cap U_{t_1}$上で一致する，という条件を満たすものである．

Ricci曲率とスカラー曲率

Hodge理論

層コホモロジー群は，層の大域切断のある写像が全射でないことの障害となる場合がある．また，de Rham-Weilの定理のおかげで，層コホモロジー群を大域切断の複体（例えばde Rham複体やDolbeault複体）のコホモロジー群と同一視できる場合が多い．しかし，これらのコホモロジー群は通常，無限次元空間の商として定義されるため，それ自体では計算にはあまり実用的ではない．もちろん，de Rham群は特異コホモロジー群と同型であり，代数的位相幾何学から多くの計算手法が得られる．しかし，Dolbeault群についてはそのような位相的手法は存在しない．

各コホモロジー類ごとに，特別な性質を持つ代表元を一つ選び出すことができれば，計算はより扱いやすくなるだろう．そのような代表元を見つけるためのもっともらしい方法は，何らかの「大きさ」を測る基準に従って「最小」または「最も効率的」な代表元を探すことである．

この節では，コンパクトRiemann多様体上の大域的微分形式の空間に内積とそれに付随するノルムを導入し，閉形式がそのコホモロジー類の中でノルムを最小化するのは，ある微分方程式を満たす場合に限ることを示す．この方程式を満たす形式は調和形式と呼ばれる．調和形式についての主な結果はHodgeの定理であり，コンパクトRiemann多様体上ではすべてのコホモロジー類が一意的な調和代表元を持つことを述べている．この重要な定理の証明は，コンパクト多様体上の楕円型偏微分作用素についての基本的な結果に基づいているが，その証明は偏微分方程式論の領域に踏み込むため，ここでは定理の主張のみを述べ，証明については参考文献を挙げるにとどめる．

次に，エルミート複素多様体の場合に移り，Dolbeault複体に対する類似のHodge定理を証明する．この理論は，コンパクトKähler多様体上で最も強力な形をとり，de Rhamコホモロジー類の調和代表元とDolbeault類の調和代表元の間に密接な関係が現れる．これにより，de Rhamコホモロジーや層コホモロジーに対して深い帰結が導かれる．

調和形式を用いて多様体の位相的・幾何学的・複素解析的性質を導く一般的な戦略は，現在では「Hodge理論」として知られている．これは1930年代にWilliam V. D. Hodgeが一連の論文で発展させた理論であり，現在では微分幾何学と代数幾何学の両方において最も基本的な道具の一つとなっている．