A. Connes, "Advise to the beginner"（和訳）

原文：リンク

数学は現代科学の基盤であり，私たちが関わる「現実」を理解するための新しい概念や道具を生み出す非常に効率的な源である．これらの新しい概念自体は，人間の思考という蒸留器の中で長い時間をかけて「蒸留」された結果である．

若い数学者への助言を書くよう頼まれた．まず最初に観察できるのは，数学者は一人ひとりが特別な存在であり，一般的に数学者は「フェルミオン」のように振る舞う傾向がある．つまり，あまり流行している分野で仕事をすることを避ける．一方，物理学者は「ボソン」のように振る舞い，大勢で集まりがちで，自分たちの活動を「過剰に売り込む」ことがよくある．こうした態度を数学者は嫌う．

最初は，数学を幾何学，代数学，解析学，数論などの個別の分野の集合体として捉えがちかもしれない．例えば，幾何学は「空間」という概念の理解が中心であり，代数学は「記号」を操作する技術，解析学は「無限」や「連続体」などが主導的な役割を果たしている，というように．

しかし，これは数学世界の本質的な特徴のひとつを正しく捉えていない．つまり，上記の分野のいずれかを他から切り離してしまうと，本質を失ってしまい，ほとんど独立して存在することができないのである．この意味で，数学という体系は生物のような存在であり，全体としてのみ生き残ることができ，分断されてしまえば滅びてしまう．

数学者の科学的な人生は，「数学的現実」という地理の中を旅するようなものだと描写できる．それは，数学者が自分自身の内なる精神世界の中で徐々にその現実を明らかにしていく旅である．

しばしばこの旅は，既存の教科書に書かれている現実の「教条的な記述」に対する反抗から始まる．若い「数学者の卵」は，自分自身の心の中で，数学的世界の認識が既存の教義とは少し合わない特徴を捉えていることに気づく．この最初の行動は多くの場合「無知」によるものだが，権威への敬意から自分を解放し，実際の証明によって裏付けられた直感に頼ることを可能にする．数学者が本当に独自で「個人的」な方法で数学世界のごく一部を知るようになると，それがどんなに最初は難解に見えても[1]，旅は本格的に始まる．もちろん，旅の途中で常に新鮮な目で物事を見るため，そして時に迷ったときに源に戻るためにも，「アリアドネの糸」を切らないことが重要である．

また，常に前進し続けることも重要である．そうしないと，極めて専門的な狭い領域に自分を閉じ込めてしまい，数学世界の驚くべき多様性や広がりを認識できなくなってしまう危険がある．

この点に関して本当に重要なのは，非常に多くの数学者がその世界を生涯かけて探求してきたにもかかわらず，皆がその輪郭や「連結性」に同意しているということだ．どんな経路から旅を始めても，十分に長く歩けば，必ずよく知られた町，例えば楕円関数，モジュラー形式，ゼータ関数などにたどり着くことになる．「すべての道はローマに通ず」であり，数学の世界は「連結」しているのである．もちろん，これは数学のすべての分野が同じように見えるという意味ではない．Grothendieckが（"Récoltes et semailles"の中で）最初に見た解析学の風景と，その後の数学人生を過ごした代数幾何学の風景を比較して語っていることを引用する価値がある．

私は今でもその鮮烈な印象を覚えている（もちろん，これは全く主観的なものだが），まるで荒涼とした不毛なステップ地帯を離れ，突然「約束の地」にたどり着いたかのようだった．そこには豊かな富が溢れ，手を伸ばせばどこでも摘み取ったり探し出したりできるのだ...

ほとんどの数学者は実用的な態度を取り，この「数学的世界」の探検者として自分自身を位置づけている．その存在を疑うことはなく，その構造を直感（「詩的な欲求」とも無縁ではない[2]）と，強い集中力を要する合理的な思考の組み合わせによって明らかにしていく．

各世代は自分自身のこの世界の理解について「心のイメージ」を築き，これまで隠されていた現実の側面を探求するために，ますます鋭い精神的な道具を構築していく．

本当に興味深いのは，数学世界の異なる部分同士が，以前は非常に遠く離れていると考えられていたにもかかわらず，思いがけない「橋」が現れるときである．その瞬間，まるで突然の風が美しい風景を隠していた霧を吹き飛ばしたような感覚を覚える．私自身の研究では，この種の「大きな驚き」は主に物理学との相互作用から生じた．物理学から直接もたらされる数学的概念の深さについて，Hadamardは次のように述べている．

数学者が独力で生み出すことができる，決して一時的な新規性ではない，物事の本質から湧き出る，無限に豊かな新規性こそが重要である．

最後に，より「実践的な」助言で締めくくろう[3]．

• 散歩

  非常に複雑な問題（多くの場合，計算を伴う）に取り組んでいるときに，とても健全な方法は，長い散歩に出かけることである（紙やペンは持たずに）．そして，その計算を頭の中だけで行ってみることである（最初は「こんな複雑なことは無理だ」と感じるかもしれないが）．たとえうまくいかなくても，「生きた記憶」を鍛え，スキルを磨くことができる．

• 横になること

  数学者は，最も集中して仕事をしている時間が，暗い部屋でソファに横になっている時だとパートナーに説明するのが難しいことが多い．残念ながら，メールやコンピュータ画面が数学研究所に浸透したことで，このように自分を孤立させて集中する方法はますます珍しくなっているが，それだけに非常に貴重なものである．

• 勇気を持つこと

  新しい数学を「発見」する過程にはいくつかの段階があり，「検証」の段階は恐ろしく，純粋な合理性と集中力が求められる．一方で，「創造」の最初の段階は全く異なる性質を持っている．ある意味では，自分の「無知」を守ることが必要である．なぜなら，長年の間，数学者たちが解決できなかった問題には，それに取り組まないための合理的な理由がいくらでもあるからである．

• 挫折について

  数学者の人生では，どの段階（しばしば非常に早い段階）でも，例えば競争相手の「プレプリント」を受け取って動揺する，といったことがよく起こる．そのような時のために私が持っている唯一の助言は，その挫折感を（必ずしも簡単ではないが）より一生懸命取り組むための前向きなエネルギーに変えるよう「努める」ことだ．

• 渋々の称賛

  私の同僚が「私たち[4]は数人の友人からの渋々の称賛のために働いている」と言ったことがある．研究という仕事はかなり孤独な性質を持つため，私たちは何らかの形でその称賛を強く必要とするが，正直なところ，あまり期待しない方がいい...．実際，本当に唯一の審判は自分自身であり，他人の意見を気にしすぎるのは時間の無駄である．これまで投票によって定理が証明されたことはない．Feynmanが言ったように「他人がどう思うかなんて，なぜ気にするのか！」である．